1、1.导数的概念导数的概念2.初等函数的导数初等函数的导数3.高阶导数高阶导数4.函数的微分函数的微分例例1.瞬时速度问题瞬时速度问题 0t求求:质点在质点在 0tv时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度 tSS 设有一质点作变速直线运动设有一质点作变速直线运动,其运动方程为其运动方程为 导数的概念导数的概念一一.导数问题举例导数问题举例 ttsttsvtv000 ttsttsvtv0000t时时 刻瞬时速度刻瞬时速度变化不大变化不大,所以质点在所以质点在在在t 时间内速度时间内速度2.若质点作变速直线运动若质点作变速直线运动 1.若质点作匀速直线运动若质点作匀速直线运动s 0tstts00由于速度是连续
2、变化的由于速度是连续变化的,v可以近似地用平均速度可以近似地用平均速度 0tv代替代替瞬时速度瞬时速度分析：分析：vtstt00limlim于是当于是当时时,0t的极限即为的极限即为ts 0tvt越小越小,近似的程度越好近似的程度越好 ttsttstvt0000lim称为曲线称为曲线 L 上点上点 P 处的切线处的切线例2:曲线的切线斜率曲线的切线斜率切线的一般定义切线的一般定义:设设 P 是曲线是曲线 L 上的一个定点上的一个定点,Q 是曲线是曲线 L 上的另一个点上的另一个点,过点过点 P 与点与点 Q 作一条直线作一条直线 PQ,称称 PQ 为曲线为曲线 L 的的 割线割线,当点当点 Q
3、 沿着曲线沿着曲线 L 趋向定点趋向定点 P 时时,割线割线 PQ 的极限位置的极限位置 PTLPQxTxx00 xy设曲线设曲线 L 的方程为的方程为 y=f(x),xxfxxfxy)()(tan00tan越接近于越接近于 k,x 越小越小,Q 越接近于越接近于 P,PQ 越接近于越接近于 PT,切线的倾角为切线的倾角为 ,则有则有:分析分析:如图如图,割线的倾角为割线的倾角为,求此曲线上点求此曲线上点 P 处的切线斜率处的切线斜率 k.LPQxTxx00 xy曲线在曲线在 P 处的切线斜率为处的切线斜率为:当自变量的增量趋于当自变量的增量趋于 0 时的极限时的极限.xxfxxfx)()(l
4、im000即即:xykx0limtan 函数的增量与自变量增量之比函数的增量与自变量增量之比,二二.导数的定义导数的定义相应地函数相应地函数 y取得增量取得增量 y=f(x0+x)-f(x0)。xxfxxfxyxx)()(limlim0000(1)xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000并称这个极限为并称这个极限为 f(x)在点在点 x0 处的导数处的导数如果如果1.导数定义导数定义:设函数设函数 f(x)在在 x0 的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义,在在 x0处取得增处取得增 量量x 时时,当自变量当自变量 x存在存在,则称函数则称函数 y=f(x)在在 x0 处可导处
5、可导,)(0 xf0 xxy0 xxdxdy0 xxdxdf特别的特别的,若若xyx0lim则称则称 y=f(x)在在 x0 处的导数为无穷大。处的导数为无穷大。若极限若极限(1)不存在不存在,记为记为:则称则称 y=f(x)在在 x0 处不可导。处不可导。000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx若设若设 x=x0+x,当当 x0时时,x x0.可得导数的另一种定义形式可得导数的另一种定义形式2.左右导数定义左右导数定义设函数设函数 f(x)在点在点 x0 左侧左侧(x0 ,x0 00)()(lim0 xxxfxfxx若若:00)()(lim0 xxxfxfxx 或或存在存在,则称函数
6、则称函数 f(x)在点在点 x0 左左(右右)方可导方可导,x0 左左(右右)导数导数.记为记为:并称此极限值为函数并称此极限值为函数 f(x)在点在点 )(0 xf)(0 xf或或)(0 xf)(0 xf都存在且相等都存在且相等和和f(x)在点在点 x0 可导的充要条件是可导的充要条件是:或右侧或右侧x0,x0 )有定义有定义,3.f(x)在区间上可导的定义在区间上可导的定义 4.导函数定义导函数定义 a,b 上可导。上可导。则称则称 f(x)在在 若若 f(x)在（在（a,b)内可导内可导,若若 f(x)在区间（在区间（a,b)内每一点都可导内每一点都可导,称它为称它为 f(x)的导函数。
7、的导函数。若若 f(x)在区间在区间 上可导上可导,Ix都有一个导数值都有一个导数值)(xf与之对应与之对应,即在即在 上定上定 义了一个新的函数义了一个新的函数,则称则称 f(x)在（在（a,b)内可导。内可导。)(bf)(af和和且且都存在都存在,)(xf ydxdydxdf记为：记为：注注:00.2tstv0|)()(.10 xxxfxf00)()(xfxf分三步骤分三步骤:求增量求增量;算比值算比值;取极限。取极限。三三.求导数举例求导数举例0)()(ccxfxxfy00 xxy例例1.求求 f(x)=c (c 为常数为常数)的导数的导数.解解:例2.求 函数 f(x)=x n (n
8、为正整数)1)()(nnnxxxf1)(xxy一般地幂函数一般地幂函数 y=xu(u 为常数为常数)的导数为的导数为同理同理解：解：（以后给出证明）（以后给出证明）axaxnnaxlim00limlim)(00 xxyxfxx0)(c在 x=a 处的导数。11221)(limnnnnnaxnaaxaaxxaxnxaf)()(xxx212121)(2111111xxxx)()()(如：如：例例3：求函数：求函数 y=sin x 的导数的导数解：解：hxfhxfxfh)()(lim)(0hxhxhsin)sin(lim0 xxxhhhhcos1cossin)cos(lim2220hxhhh220s
9、in)cos(2limxxcos)(sinxxsin)(cos例例4：求函数：求函数f(x)=ax(a0,a1)的导数的导数xaaxxx1lim0aaeaxaxlnlog1aaaxxln)(xxxeeeeln)(tax1则则令令解：解：xxfxxfyx)()(lim0 xaaxxxx0limtatxtay1011)(loglim)(logtxa1四四.曲线的切线与法线曲线的切线与法线1.导数的几何意义导数的几何意义)(xfy)(0 xf0 x在点在点处的导数处的导数在几何上表示曲线在几何上表示曲线)(xfyxyM0 x)(,(00 xfxM在点在点 处的切线的斜率处的切线的斜率,tan)(0
10、xf即即2.切线与法线方程切线与法线方程如果函数如果函数)(xfy在点在点0 x处可导处可导,)()(000 xxxfxfy则曲线则曲线)(xfy在点在点)(,(00 xfxP 的切线方程为的切线方程为)()(1)(000 xxxfxfy0)(0 xf如果如果)(0 xf为无穷大为无穷大,切线方程为切线方程为0 xx曲线曲线)(xfy在点在点)(,(00 xfxP 的法线方程为的法线方程为特殊情况特殊情况00)(xf若若)(0 xfy则切线方程为则切线方程为0 xx法线方程为法线方程为)(0 xf若若法线方程为法线方程为)(0 xfy则切线方程为则切线方程为0 xx例例1.过点过点(3,0)作
11、曲线作曲线 求法线方程求法线方程241xy 的法线的法线,解解:设切点为设切点为2xy 200 xyxx|),(00yx则则 法线斜率为法线斜率为02x法线方程为法线方程为)(2000 xxxyy因因(3,0)在法线上在法线上,又因又因 切点在曲线上切点在曲线上,由由(1)(2)得得:0248030 xx0)122)(2(0200 xxx因为因为0122020 xx所以所以20 x10yxy3法线方程法线方程)3(2000 xxy(1)所以所以4200 xy(2)所以所以五五.函数的可导性与连续的关系函数的可导性与连续的关系定理：函数定理：函数 y=f(x)在在 x0 处可处可导，导，由极限与
12、无穷小的关系定理由极限与无穷小的关系定理xyxfx0lim)()(xfxy0lim0 xxxxfy)(00)(limlim000 xxxfyxx 所以所以 f(x)在在 x0 处连续处连续 注：反之不一定成立注：反之不一定成立证证:则则 f(x)在在 x0 处必连处必连续；续；反之不一定成立。反之不一定成立。例例1.证明证明:f(x)=|x|在在 x=0 处连续但不可导处连续但不可导.证明证明:显然显然 f(x)=|x|在在 x=0 处连续处连续.1lim)0(0 xxfx1lim)0(0 xxfx)0()0(fff(x)在在 x=0 处不可导处不可导xxxxyxf000limlim)(xyy
13、=|x|在在 x=0 处连续，但不可导。处连续，但不可导。证明：显然证明：显然 f（x）在）在 x=0 处连续。处连续。323100limlimxxxxxxyx0limxxx00lim30切线存在为切线存在为 y 轴轴称称f（x）在）在 x=0 处的导数为处的导数为 3)(xxf例例2：证明：证明:但不可导。但不可导。xy0例例3:试确定常数试确定常数 a,b 之值之值,使函数使函数 01021xexaxbxfax)sin()(在在 x=0 处可导。处可导。解：解：f(x)在在 x=0 处可导的必要条件是处可导的必要条件是 f(x)在在 x=0 处连续处连续 即即)0()0()0(fff2210abaxbx)sin(lim)(lim)(xffx000)1(lim)(lim)0(00axxxexff2)0(abf故故 当当 a+b+2=0 时时,f(x)在在 x=0 处处连续连续又因又因bxxbxsinlim0 xabefaxx)2(1lim)0(0令令 teax1attfat)1ln(lim)0(10故故当当 b=a 时时,)0()0(ff即即)0(f存在存在解方程组解方程组abba02得a=-1b=-1 故故 当当 a=-1,b=-1 时时,f(x)在在 x=0 处可导处可导xabaxbfx)2(2)sin1(lim)0(0 xeaxx1lim0
