1、第三章地震作用和结构抗震验算3.1 3.1 概述概述3.2 3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析单自由度体系的弹性地震反应分析3.3 3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱单自由度体系的水平地震作用与反应谱3.4 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析多自由度弹性体系的地震反应分析3.5 3.5 多自由度弹性体系最大地震反应与水平地震作用多自由度弹性体系最大地震反应与水平地震作用3.6 3.6 竖向地震作用竖向地震作用3.7 3.7 结构非弹性地震反应分析结构非弹性地震反应分析3.8 3.8 结构抗震验算结构抗震验算主要内容3.1 3.1 概述概述：能引起结构内力、变形等反应的各种因素能
2、引起结构内力、变形等反应的各种因素1.地震作用地震作用 作用分作用分类类各种荷载：如重力、风载、土压力等各种荷载：如重力、风载、土压力等各种非荷载作用：如温度、基础沉降、地震等各种非荷载作用：如温度、基础沉降、地震等 等效地震荷载等效地震荷载：工程上，可将地震作用等效为某种形式的荷载作用：工程上，可将地震作用等效为某种形式的荷载作用作用作用直接作用直接作用间接作用间接作用一、结构地震反应一、结构地震反应：地震时由于地面加速度在结构上产生的惯性力地震时由于地面加速度在结构上产生的惯性力地震作用地震作用由地震动引起的结构内力、变形、由地震动引起的结构内力、变形、位移及结构运动速度与加速度等位移及结
3、构运动速度与加速度等：由地震动引起的结构位移由地震动引起的结构位移地面运动地面运动结构动力特性：自振周期，振型和阻尼结构动力特性：自振周期，振型和阻尼2.结构地震反应结构地震反应3.结构地震位移反应结构地震位移反应：结构地震反应结构地震反应 影响因素影响因素 1.1.连续化描述（分布质量）连续化描述（分布质量）二、二、结构动力计算简图及体系自由度结构动力计算简图及体系自由度描述结构质量的两种方法描述结构质量的两种方法采用集中质量方法确定结构计算简图采用集中质量方法确定结构计算简图 （步骤）：（步骤）：2.2.集中化描述（集中质量）集中化描述（集中质量）工程上常用工程上常用 定出结构质量集中定出
4、结构质量集中 位置（质心）位置（质心）将区域主要质量集中在质心；将区域主要质量集中在质心；将次要质量合并到相邻主要质量的质点上去将次要质量合并到相邻主要质量的质点上去 集中化描述举例集中化描述举例a、水塔建筑、水塔建筑(a)水塔hh(b)厂房(c)多、高层建筑(d)烟囱主要质量：水箱部分主要质量：水箱部分次要质量：塔柱部分次要质量：塔柱部分水箱全部质量水箱全部质量部分塔柱质量部分塔柱质量集中到水箱质心集中到水箱质心单质点体系单质点体系b、厂房（大型钢筋混凝土屋面板）、厂房（大型钢筋混凝土屋面板）(a)水塔hh(b)厂房(c)多、高层建筑(d)烟囱主要质量：屋面部分主要质量：屋面部分厂房各跨质量
5、厂房各跨质量集中到各跨屋盖标高处集中到各跨屋盖标高处 集中化描述举例集中化描述举例c、多、高层建筑、多、高层建筑主要质量：楼盖部分主要质量：楼盖部分多质点体系多质点体系d、烟囱、烟囱结构无主要质量部分结构无主要质量部分结构分成若干区域结构分成若干区域集中到各区域质心集中到各区域质心(a)水塔hh(b)厂房(c)多、高层建筑(d)烟囱(a)水塔hh(b)厂房(c)多、高层建筑(d)烟囱多质点体系多质点体系三、与各类型结构相应的地震作用分析方法三、与各类型结构相应的地震作用分析方法不超过不超过40m的规则结构：底部剪力法的规则结构：底部剪力法一般的规则结构：两个主轴的振型分解反应谱法一般的规则结构
6、：两个主轴的振型分解反应谱法 质量和刚度分布明显不对称结构：考虑扭转或双向质量和刚度分布明显不对称结构：考虑扭转或双向地震作用的振型分解反应谱法地震作用的振型分解反应谱法 8、9度时的大跨、长悬臂结构和度时的大跨、长悬臂结构和9度的高层建筑：考度的高层建筑：考虑竖向地震作用虑竖向地震作用 特别不规则、甲类和超过规定范围的高层建筑：特别不规则、甲类和超过规定范围的高层建筑：一维或二维时程分析法的补充计算一维或二维时程分析法的补充计算惯性力惯性力 、阻尼力、阻尼力 、弹性恢复力、弹性恢复力3.2 3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析单自由度体系的弹性地震反应分析一、运动方程一、运动方程作用在质点
7、上的三种力：作用在质点上的三种力：Ifcfrf惯性力惯性力)(xxmfgI 阻尼力阻尼力 xcfc由结构内摩擦及结构周围介质（如空气由结构内摩擦及结构周围介质（如空气水等）对结构运动的阻碍造成水等）对结构运动的阻碍造成 弹性恢复力弹性恢复力 由结构弹性变形产生由结构弹性变形产生 kxfr c 阻尼系数阻尼系数 k 体系刚度体系刚度 力的平衡条件：力的平衡条件：0rcIfffgxmkxxcxm 令令kmmc2gxxxx 22二、运动方程的解二、运动方程的解1.1.方程的齐次解方程的齐次解自由振动自由振动 齐次方程齐次方程：022xxx 自由振动：在没有外界激励的自由振动：在没有外界激励的情况下结
8、构体系的运动情况下结构体系的运动方程的解：方程的解：特征方程特征方程0222rr特征根特征根121r122rgxxxx 2201为共轭复数为共轭复数，（2 2）若）若（4 4）若）若 ，、为负实数为负实数11r2rtrtrecectx2121)(121rrtetcctx)()(21（3 3）若）若，1r2r、)sincos()(21tctcetxDDt体系不振动体系不振动超阻尼状态超阻尼状态体系不振动体系不振动临界阻尼状态临界阻尼状态体系产生振动体系产生振动低阻尼状态低阻尼状态21D其中其中图图 各种阻尼下单自由度体系的自由振动各种阻尼下单自由度体系的自由振动当当1临界阻尼系数：临界阻尼系数：
9、mcr2临界阻尼比（简称阻尼比）临界阻尼比（简称阻尼比）rcc（1 1）若）若tx(t)x(t)0=10112()cossinx tctct10体系自由振动体系自由振动无阻尼状态无阻尼状态初始条件初始条件:)0(0 xx)0(0 xx,初始速度初始速度01xc Dxxc002则则体系自由振动位移时程体系自由振动位移时程 sincos)(000txxtxetxDDDt初始位移初始位移当当 （无阻尼）（无阻尼）000()cossinxx txttkm固有频率固有频率kmT22固有周期固有周期无阻尼单自由度体系无阻尼单自由度体系自由振动为简谐振动自由振动为简谐振动自振的振幅将不断衰减，直至消失自振的
10、振幅将不断衰减，直至消失 有阻尼体系有阻尼体系01)sincos()(21tctcetxDDt21D例题例题3-13-1kg10000mkN/cm1k已知一水塔结构，可简化为单自由度体系（见图）。已知一水塔结构，可简化为单自由度体系（见图）。，求该结构的自振周期。求该结构的自振周期。解解：(a)水塔hh(b)厂房(c)多、高层建筑(d)烟囱kmT22并采用国际单位可得并采用国际单位可得:skmT99.110/1011000022232.方程的特解方程的特解I I简谐强迫振动简谐强迫振动 地面简谐运动地面简谐运动 使体系产生简谐强迫振动使体系产生简谐强迫振动 tAtxggsin)(设设，代入运动
11、方程，代入运动方程222singgxxxAt 方程的特解方程的特解（零初始条件（零初始条件22222)(2)(1cos2sin)(1)()(gggggggttAtx)sin()(tBtxg化简为化简为振幅放大系数振幅放大系数 2222)(2)(1)/(gggABA 地面运动振幅地面运动振幅 B 体系质点的振幅体系质点的振幅 0)0(x0)0(x ）：）：0.20.5125/g12图图 单自由度体系简谐地面强迫振动振幅放大系数单自由度体系简谐地面强迫振动振幅放大系数1/g达到最大值达到最大值 共振共振21|maxg2222)(2)(1)/(gggAB3.方程的特解方程的特解II II冲击强迫振动
12、冲击强迫振动 图图 地面冲击运动地面冲击运动地面冲击运动：地面冲击运动：dtdtxxgg00)(质点加速度（质点加速度（0 0dtdt）：）：gxmPa dtdt时刻的速度：时刻的速度：dtxdtmPVg dtdt时刻的位移：时刻的位移：0)(212dtmPd地面冲击作用后，体系不再受外界任何作用，将做自由振动地面冲击作用后，体系不再受外界任何作用，将做自由振动 dtxVg 根据自由振动位移方程，可得根据自由振动位移方程，可得tdtextxDDtgsin)(自由振动初速度为自由振动初速度为图图 体系自由振动体系自由振动地震地面运动一般为不规则往复运动地震地面运动一般为不规则往复运动 求解方法：
13、求解方法：将地面运动分解为很多个脉冲运动将地面运动分解为很多个脉冲运动tdxg)(时刻的地面运动脉冲时刻的地面运动脉冲 4.4.方程的特解方程的特解III III 一般强迫振动一般强迫振动 地面运动加速度时程曲线地面运动加速度时程曲线引起的体系反应为：引起的体系反应为：ttdxettdxDDgt)(sin)(0)()(叠加：体系在叠加：体系在t t时刻的地震反应为：时刻的地震反应为：()001()()()sin()tttgDDx tdx txetd地面运动脉冲引起的单自由度体系反应地面运动脉冲引起的单自由度体系反应杜哈密积分杜哈密积分方程通解（单自由度体系）：方程通解（单自由度体系）：体系地震
14、反应（全解）体系地震反应（全解）=自由振动（齐次解）自由振动（齐次解）+强迫振动（特解）强迫振动（特解）()1201()(cossin)()sin()tttDDgDDx tectctxetd三、单自由度体系地震作用分析三、单自由度体系地震作用分析运动方程运动方程或或其中其中由由Duhamel积分可得零初始条件下质点相对于地面的位移为积分可得零初始条件下质点相对于地面的位移为最大位最大位移反应移反应gxmkxxcxm mtFxxxe/)(22 gexmtFmcmk)(,2,2max0)(gmax0d)(gdd)(sin)(1)(d)(sin)(1)(ttdtttextxStextx 由由Duha
15、mel积分可得零初始条件下质点相对于地面的位移为积分可得零初始条件下质点相对于地面的位移为最大位最大位移反应移反应max0)(gmax0d)(gdd)(sin)(1)(d)(sin)(1)(ttdtttextxStextx 质点相对于地面的速度为质点相对于地面的速度为质点相对于地面的最大速度反应为质点相对于地面的最大速度反应为tdtgdttdtextexdtdxtx0)(0d)(g)(sin)(d)(cos)()(max0)(gmaxd)(sin)()(ttvtextxS 质点的绝对加速度为质点的绝对加速度为质点最大加速度反应为质点最大加速度反应为xxxxg22 tttdtgdtttexdte
16、xtex0d)(gd20)(220d)(gd)(sin)()(sin)(2d)(cos)(2 max0)(gmaxd)(sin)()(ttgatexxtxS gxxxx 22四、地震反应谱四、地震反应谱最大相对速度最大相对速度最大加速度最大加速度最大反应之间的关系最大反应之间的关系在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数。在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数。单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系自振周期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。自振周期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。最大相对位移最大相对位移max
17、0)(gmaxd)(sin)(1)(ttdtextxS max0)(gmaxd)(sin)()(ttvtextxS max0)(gmaxd)(sin)()(ttgatexxtxS dvaSSS2相对位移反应谱相对位移反应谱绝对加速度反应谱绝对加速度反应谱相对速度反应谱相对速度反应谱地震反应谱的特点地震反应谱的特点1.1.阻尼比对反应谱影响很大阻尼比对反应谱影响很大2.2.对于加速度反应谱，当结构周期小对于加速度反应谱，当结构周期小 于某个值时幅值随周期急剧增大，于某个值时幅值随周期急剧增大，大于某个值时，快速下降。大于某个值时，快速下降。3.3.对于速度反应谱，当结构周期小于某对于速度反应谱，
18、当结构周期小于某 个值时幅值随周期增大，随后趋于常数。个值时幅值随周期增大，随后趋于常数。4.4.对于位移反应谱，幅值随周期增大。对于位移反应谱，幅值随周期增大。相对位移反应谱相对位移反应谱相对速度反应谱相对速度反应谱3.33.3单自由度体系的水平地震作用与反应谱单自由度体系的水平地震作用与反应谱一、水平地震作用的定义一、水平地震作用的定义单自由度体系的地震作用单自由度体系的地震作用maxmax)(xxmxxmFgg 单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程()()gm xxcxkx 位移最大位移最大0 x maxmax)(xkxxmg F=地震作用地震作用求得地震作用后，即可按求得地震作用后
19、，即可按静力分析方法静力分析方法计算结构的最大位移反应计算结构的最大位移反应 质点所受最大惯性力，即质点所受最大惯性力，即maxmax()gm xxcxkx单自由度体系的地震最大绝对加速度反应与其自振周期单自由度体系的地震最大绝对加速度反应与其自振周期T 的关系，记为的关系，记为 二、地震反应谱二、地震反应谱地震加速度反应谱（地震反应谱）：地震加速度反应谱（地震反应谱）：)(TSa()001()()()sin()tttgDDx tdx txetd 杜哈密积分杜哈密积分tDDtgDtextx02)()(sin)(1)()(求导求导)()(cos2txdtgDD D2T一般结构阻尼比较小一般结构阻
20、尼比较小；得到地震反应谱得到地震反应谱max0)(2)(2sin)(2ttTgdtTexT max)()()(txtxTSga max0)()(sin)(ttgdtex D2TmaxFkxmmmaxmax()gFm xxk x地震加速度反应谱的意义地震加速度反应谱的意义 地震（加速度）反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组地震（加速度）反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组阻尼比阻尼比相同但相同但自振周期自振周期各不相同的单自由度体系，所引起的各体系各不相同的单自由度体系，所引起的各体系最大加速度最大加速度反应反应与相应体系自振周期间的关系曲线与相应体系自振周期间的关系曲线 T1T1s
21、a(T)TT2T2T3T3T4T4T5T5=0()gx t影响地震反应谱的因素：影响地震反应谱的因素：两个影响因素：两个影响因素：1.1.体系阻尼比体系阻尼比 2.2.地震动地震动1.体系阻尼比体系阻尼比体系阻尼比越大体系阻尼比越大体系地震加速度反应越小体系地震加速度反应越小地震反应谱值越小地震反应谱值越小 图图 阻尼比对地震反应谱的影响阻尼比对地震反应谱的影响Sa/xg maxT(s)4.02.01.01.03.04.02.03.0=0.010.030.050.102.地震动地震动不同的地震动将有不同的地震反应谱不同的地震动将有不同的地震反应谱 地震动特性三要素地震动特性三要素 :振幅振幅
22、、频谱频谱 、持时持时 地震动振幅地震动振幅 仅对仅对 地震反应谱值地震反应谱值 大小大小 有影响有影响振幅振幅振幅越大振幅越大地震反应谱值越大地震反应谱值越大呈线性比例关系呈线性比例关系频谱：地面运动各种频率（周期）成分的加速度幅值的对应关系频谱：地面运动各种频率（周期）成分的加速度幅值的对应关系不同场地条件下的平均反应谱不同场地条件下的平均反应谱 不同震中距条件下的平均反应谱不同震中距条件下的平均反应谱 地震反应谱峰值地震反应谱峰值对应的周期也越长对应的周期也越长 场地越软场地越软震中距越大震中距越大地震动主要频率成份越小地震动主要频率成份越小（或主要周期成份越长）（或主要周期成份越长）地
23、震动频谱对地震反应谱的地震动频谱对地震反应谱的 形状形状 有影响有影响 持时持时对最大反应或地震反应谱影响不大对最大反应或地震反应谱影响不大 G G 体系的重量；体系的重量；地震系数；地震系数；动力系数动力系数二、设计反应谱二、设计反应谱设计反应谱：设计反应谱：地震反应谱直接用于结构的抗震设计有一定的困难，地震反应谱直接用于结构的抗震设计有一定的困难，而需专门研究可供结构抗震设计用的反应谱，称之为设计反应谱而需专门研究可供结构抗震设计用的反应谱，称之为设计反应谱 maxmax()G()gagxS TFmgkTgxk)(T)(TmSFa地震系数地震系数定义：定义：gxkgmax 可将地震动振幅对
24、地震反应谱的影响分离出来可将地震动振幅对地震反应谱的影响分离出来 基本烈度基本烈度6789地震系数地震系数k0.050.10（0.15）0.20（0.30）0.40烈度每增加一度地震烈度每增加一度地震系数大致增加一倍系数大致增加一倍 动力系数动力系数定义定义意义：体系最大加速度的放大系数意义：体系最大加速度的放大系数max)()(gaxTST 体系最大加速度体系最大加速度地面最大加速度地面最大加速度是规则化的地震反应谱是规则化的地震反应谱为使动力系数能用于结构抗震设计，采取以下措施：为使动力系数能用于结构抗震设计，采取以下措施：05.01.取确定的阻尼比取确定的阻尼比，因大多数实际建筑结构的阻
25、尼比在，因大多数实际建筑结构的阻尼比在0.050.05左右左右考虑阻尼比对地震反应谱的影响考虑阻尼比对地震反应谱的影响 nTTnii105.0)()(2.按场地、震中距将地震动记录分类按场地、震中距将地震动记录分类3.计算每一类地震动记录动力系数的平均值计算每一类地震动记录动力系数的平均值考虑地震动频谱的影响因素考虑地震动频谱的影响因素 考虑类别相同的考虑类别相同的 不同地震动记录不同地震动记录 地震反应谱的变异性地震反应谱的变异性地震影响系数地震影响系数定义定义)()(TkT图图 地震影响系数谱曲线地震影响系数谱曲线 maxmaxk图中图中gT 特征周期，特征周期，与场地条件和设计地震分组有
26、关与场地条件和设计地震分组有关 结构自振周期结构自振周期衰减指数，取衰减指数，取0.91直线下降段斜率调整系数，直线下降段斜率调整系数，取取0.022阻尼调整系数，取阻尼调整系数，取1.0T值：值：我国建筑抗震采用两阶段设计，各设计阶段的我国建筑抗震采用两阶段设计，各设计阶段的max地震影响地震影响设防烈度设防烈度6789多遇地震多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震罕遇地震-0.50（0.72）0.90（1.20）1.40g15.0g30.0注：括号中数值分别用于设计基本地震加速度取注：括号中数值分别用于设计基本地震加速度取和和的地区的地区 3.2 3.2
27、单自由度体系的弹性地震反应分析单自由度体系的弹性地震反应分析一、运动方程一、运动方程二、运动方程的解二、运动方程的解1.1.方程的齐次解方程的齐次解自由振动自由振动 2.2.方程的特解方程的特解I I简谐强迫振动简谐强迫振动 3.3.方程的特解方程的特解II II冲击强迫振动冲击强迫振动 4.4.方程的特解方程的特解III III 一般强迫振动一般强迫振动 三、单自由度体系地震作用分析三、单自由度体系地震作用分析四、地震反应谱四、地震反应谱3.33.3单自由度体系的水平地震作用与反应谱单自由度体系的水平地震作用与反应谱maxmax)(xxmxxmFgg maxk x水平地震作用：水平地震作用：
28、2()0max22()()sin()ttTagSTxetdTT地震加速度反应谱（地震反应谱）：地震加速度反应谱（地震反应谱）：二、设计反应谱二、设计反应谱设计反应谱：设计反应谱：地震反应谱直接用于结构的抗震设计有一定的困难，地震反应谱直接用于结构的抗震设计有一定的困难，而需专门研究可供结构抗震设计用的反应谱，称之为设计反应谱而需专门研究可供结构抗震设计用的反应谱，称之为设计反应谱 maxmax()G()gagxS TFmgkTgx)(TmSFa地震系数地震系数定义：定义：gxkgmax 可将地震动振幅对地震反应谱的影响分离出来可将地震动振幅对地震反应谱的影响分离出来 基本烈度基本烈度6789地
29、震系数地震系数k0.050.10（0.15）0.20（0.30）0.40烈度每增加一度地震烈度每增加一度地震系数大致增加一倍系数大致增加一倍 动力系数动力系数定义定义意义：体系最大加速度的放大系数意义：体系最大加速度的放大系数max)()(gaxTST 体系最大加速度体系最大加速度地面最大加速度地面最大加速度是规则化的地震反应谱是规则化的地震反应谱为了便于动力系数用于结构抗震设计，采取以下措施：为了便于动力系数用于结构抗震设计，采取以下措施：05.01.取确定的阻尼比取确定的阻尼比，因大多数实际建筑结构的阻尼比在，因大多数实际建筑结构的阻尼比在0.050.05左右左右nTTnii105.0)(
30、)(2.按场地、震中距将地震动记录分类按场地、震中距将地震动记录分类3.计算每一类地震动记录动力系数的平均值计算每一类地震动记录动力系数的平均值地震影响系数地震影响系数定义定义)()(TkT图图 地震影响系数谱曲线地震影响系数谱曲线 maxmax2.25kkgT 特征周期，特征周期，与场地条件和设计地震分组有关与场地条件和设计地震分组有关 结构自振周期结构自振周期衰减指数，取衰减指数，取0.91直线下降段斜率调整系数，直线下降段斜率调整系数，取取0.02阻尼调整系数，取阻尼调整系数，取1.0T20.05max2.25)(sT01.0gTgT50.6max2max45.0max2)(TTgmax
31、12)5(2.0gTT 值：值：我国建筑抗震采用两阶段设计，各设计阶段的我国建筑抗震采用两阶段设计，各设计阶段的max地震影响地震影响设防烈度设防烈度6789多遇地震多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震罕遇地震-0.50（0.72）0.90（1.20）1.40g15.0g30.0注：括号中数值分别用于设计基本地震加速度取注：括号中数值分别用于设计基本地震加速度取和和的地区的地区 阻尼对地震影响系数的影响阻尼对地震影响系数的影响当结构阻尼比不等于当结构阻尼比不等于0.050.05时，其时，其形状参数作如下调整形状参数作如下调整：1.曲线下降段衰减指数的调整曲线
32、下降段衰减指数的调整 55.005.09.02.直线下降段斜率的调整直线下降段斜率的调整 8/)05.0(02.012的调整：的调整：3.7.106.005.01255.0255.02当当取取地震作用计算地震作用计算由由()FGT)(TmSFa()()aS TTgmaxmax()G()gagxS TFmgkTgx)(TmSFa解：解：（1 1）求结构体系的自振周期）求结构体系的自振周期单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为已知设防烈度为8 8度，设计地震分组为二组，度，设计地震分组为二组，类场地；类场地；屋盖处的重力荷
33、载代表值屋盖处的重力荷载代表值G=700kNG=700kN，框架柱线刚，框架柱线刚度度 ,阻尼比为阻尼比为0.050.05。试求该结构多。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。遇地震时的水平地震作用。h=5mh=5m4/2.6 10 kN/mcciEIhkN/m249601248021222hiKct4.71s/m8.9/kN700/2gGms336.024960/4.712/2KmT例题例题3-23-2()FGT地震特征周期分组的特征周期值（地震特征周期分组的特征周期值（s s）0.90 0.65 0.450.35第三组第三组0.75 0.55 0.400.30第二组第二组0.65 0.45
34、0.35 0.25第一组第一组 场地类别场地类别3.0gTggTTT5查表确定查表确定gT)(sT01.0gTgT50.6max2max45.0max2)(TTgmax12)5(2.0gTT)(sT01.0gTgT50.6max2max45.0max2)(TTgmax12)5(2.0gTT（3）计算结构水平地震作用）计算结构水平地震作用max2)(TTg0.921144.016.0)336.0/3.0(9.0kN8.100700144.0GF（2 2）求水平地震影响系数）求水平地震影响系数查表确定查表确定地震影响系数最大值（阻尼比为地震影响系数最大值（阻尼比为0.05）1.400.90(1.2
35、0)0.50(0.72)-罕遇地震罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震多遇地震 9 8 7 6地震影响地震影响烈度烈度16.0maxmax例题例题3-33-3kg10000mkN/cm1k，(a)水塔hh(b)厂房(c)多、高层建筑(d)烟囱 位于位于IIII类场地第二组，基本烈度为类场地第二组，基本烈度为7 7度度（地震加速度为（地震加速度为0.10g),0.10g),阻尼比阻尼比03.0求该结构多遇地震下的水平地震作用求该结构多遇地震下的水平地震作用 08.0maxsTg4.0查表，查表，查表，查表，skmT99.110/101100002223ggTT
36、T5解解:已知一水塔结构，可简化为单自由度体系（见图）。已知一水塔结构，可简化为单自由度体系（见图）。max2)(TTg18.103.07.106.003.005.017.106.005.012931.003.055.003.005.09.055.005.09.00.9312max0.4()()(0.08 1.18)1.99gTT 由图由图3-12（地震影响系数谱曲线）（地震影响系数谱曲线）N207981.9100000212.0GF0.0212此时应考虑阻尼比对地震影响系数形状的调整。此时应考虑阻尼比对地震影响系数形状的调整。3.4 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析多自由度弹性体系的地
37、震反应分析一、多自由度弹性体系的运动方程图图 多自由度体系的变形多自由度体系的变形在单向水平地面运动作用下，多自由度体系在单向水平地面运动作用下，多自由度体系的变形如图所示。的变形如图所示。设该体系各质点的相对水平位移为设该体系各质点的相对水平位移为x xi i(i=1,2,n),(i=1,2,n),其中其中n n为体系自由度数，为体系自由度数，则各质点所受的水平惯性力为则各质点所受的水平惯性力为)(111xxmfgI )(222xxmfgI )(ngnInxxmf 体系水平惯性力体系水平惯性力 )1(gxxMF 其中其中 TInIIfffF,21 Tnxxxx ,21T1,1,11nmmmM
38、21刚度方程：刚度方程：FxK多自由度体系多自由度体系无阻尼无阻尼运动方程运动方程 gxMxKxM 1多自由度多自由度有阻尼有阻尼体系运动方程体系运动方程 gxMxKxCxM 1图图 多自由度体系的变形多自由度体系的变形 12,Tnxx xx Tnxxxx,21(各质点振幅）各质点振幅）二、多自由度体系的自由振动自由振动方程自由振动方程不考虑阻尼的影响，体系不受外界作用，令不考虑阻尼的影响，体系不受外界作用，令多自由度自由振动方程多自由度自由振动方程 0gx 0 xKxM 动力特征方程动力特征方程 0)(2MK设方程的解为设方程的解为 )sin(tx Tn,21 )sin(2tx 关于时间关于
39、时间t t微分两次得微分两次得 0)sin()(2tMK代入振动方程得：代入振动方程得：0)sin(t由于由于则须有：则须有：自振频率自振频率体系发生振动，体系发生振动，有非零解有非零解，则必有：，则必有：02MK多自由度体系的动力特征值方程多自由度体系的动力特征值方程 ),2,1(nii其解由小到大排列为其解由小到大排列为222212,.,in为体系第为体系第i阶自由振动圆频率阶自由振动圆频率 一个一个n n自由度体系，有自由度体系，有n n个自振圆频率，即有个自振圆频率，即有n n种自由振动方式或状态种自由振动方式或状态动力特征方程动力特征方程 0)(2MK例题例题3-43-4计算仅有两个
40、自由度体系的自由振动频率计算仅有两个自由度体系的自由振动频率 22211211kkkkK2100mmM解：由式解：由式 21222211211200|mmkkkkMK)()()(2112221121222112221kkkkmkmkmm 02MK0解上方程得：解上方程得：212112221122221112221112221)(21)(21mmkkkkmkmkmkmk可得：可得：多自由度体系以某一阶圆频率多自由度体系以某一阶圆频率振型振型i自由振动时，自由振动时，将有一特定的振幅将有一特定的振幅i与之相应与之相应 它们之间应满足动力特征方程它们之间应满足动力特征方程 0)(2iiMK T121
41、,ininiii设设T121 1,/,/,/inininiiniin 11niini与与相应，用分块矩阵表达相应，用分块矩阵表达 112T1()i niniiniABKMBC则动力特征方程则动力特征方程 111T1 0 1i nininininiABBC展开得展开得 0111nininiBA 01T1ininiCB 1111nininiBA解得解得（*）（*）将（将（*）代入（）代入（*），可用以复验），可用以复验求解结果的正确性求解结果的正确性 1ni由此可得体系以由此可得体系以i频率自由振动的解为频率自由振动的解为 )sin(taxiii体系在自由振动过程中的形状保持不变体系在自由振动过程
42、中的形状保持不变 定义：振型定义：振型 iiiai把反映体系自由振动形状的向量把反映体系自由振动形状的向量称为称为振型振型称为规则化的振型，也可简称为振型称为规则化的振型，也可简称为振型 把把i也称为第也称为第i i 阶振型阶振型 令令iina iiia例题例题3-53-5三层剪切型结构如图所示，三层剪切型结构如图所示，求该结构的自振圆频率和振型求该结构的自振圆频率和振型 解：该结构为解：该结构为3 3自由度体系，自由度体系，质量矩阵和刚度矩阵分别为质量矩阵和刚度矩阵分别为kg1010005.100023Mm/N106.06.006.08.12.102.136K先由特征值方程求自振圆频率，令先
43、由特征值方程求自振圆频率，令600B2 0)(2iiMK得得0B11-01B5.13202-B25|2MK或或02-B5.7B5.5B23由上式可解得由上式可解得351.0B161.1B254.3B3从而由从而由 B600得得 rad/s5.141rad/s3.312rad/s1.463由自振周期与自振频率的关系由自振周期与自振频率的关系/2T，可得结构的各阶自振，可得结构的各阶自振s433.0T1s202.0T2s136.0T3周期分别为周期分别为 8.38960006006.14841200012005.2579)(21MK 1111nininiBA由由得得648.0301.060006.
44、1484120012005.257911211代入代入 01T1ininiCB校核校核08.389648.0301.0600,0则第一阶振型为则第一阶振型为 1648.0301.01同样可求得第二阶和第三阶振型为同样可求得第二阶和第三阶振型为 1601.0676.02 157.247.23为求第一阶振型，将为求第一阶振型，将 rad/s5.141代入代入 将各阶振型用图形表示将各阶振型用图形表示:1110.6480.301-0.601-0.676-2.57-2.47第一阶振型第一阶振型第二阶振型第二阶振型第三阶振型第三阶振型振型具有如下特征振型具有如下特征:对于串联多质点多自由度体系，其第几阶
45、振型，在振型图对于串联多质点多自由度体系，其第几阶振型，在振型图上就有几个节点（振型曲线与体系平衡位置的交点上就有几个节点（振型曲线与体系平衡位置的交点 )利用振型图的这一特征，可以定性判别所得振型正确与否利用振型图的这一特征，可以定性判别所得振型正确与否 振型的正交性振型的正交性体系动力特征方程改写体系动力特征方程改写 MK2上式对体系任意第上式对体系任意第i i 阶和第阶和第j j 阶频率和振型均应成立阶频率和振型均应成立 iiiMK2 jjjMK2两边左乘两边左乘 Tj Ti jijjiMKT2T式(2)两边转置两边左乘两边左乘 刚度矩阵和质量矩阵的对称性 ijjijMKT2T ijii
46、jMKT2T(1)(2)(3)(1)、(3)两式相减得：0)(T22ijjiMji ij如如则则 0TijMji(4)(4)式代入(1)式，得：0TijKji(5)0)(2iiMK三、地震反应分析的振型分解法三、地震反应分析的振型分解法运动方程的求解运动方程的求解由振型的正交性，体系地震位移反应向量由振型的正交性，体系地震位移反应向量 jnjjqx1),2,1(njqj称为称为 振型正则坐标振型正则坐标 jq唯一对应，是时间的函数唯一对应，是时间的函数 x与与把把x代入多自由度体系一般有阻尼运动方程代入多自由度体系一般有阻尼运动方程 可得：可得：gjjjjnjjjxMqKqCqM 1)(1 g
47、ijjijjinjjjixMqKqCqM 1)(TTT1T将上式两边左乘将上式两边左乘 Ti得得（1）（2）gxMxKxCxM 1注意到振型关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性，并设振型关于注意到振型关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性，并设振型关于阻尼矩阵也正交，即阻尼矩阵也正交，即 0TjiCji 则式则式（2）成为：成为：giiiiiiiiiixMqKqCqM 1TTTT TT2iiiiiKM由由可得：可得：iiiiiMKTT2 iiiiiiMCTT2 iiiiMMTT1令令（3）gijjijjinjjjixMqKqCqM 1)(TTT1T（2）0TijM 0TijK 22iiiiiiigqqqx
48、计算可得：计算可得：分解分解n n自由度体系的自由度体系的n n 维联立运动微分方维联立运动微分方程程n n个独立的关于正则坐标的单自由度体系运动微分方个独立的关于正则坐标的单自由度体系运动微分方程程与一单自由度体系的运动方程相同与一单自由度体系的运动方程相同 gxxxx 22则将式则将式（3）两边同除以两边同除以 iiMT由杜哈密积分，可得式由杜哈密积分，可得式（4 4）的解为的解为（4）tiDtgiiDidtextqii0)()(sin)(1)()(tii其中其中21iiiD相当于阻尼比为相当于阻尼比为 i、自振频率为、自振频率为 i的单自由度体系的地震位移反应的单自由度体系的地震位移反应
49、（5）多自由度体系地震位移反应的解多自由度体系地震位移反应的解 111()()()nnnjjjjjjjjjx tqtx t)(txj多自由度体系的地震反应可通过分解为各阶振型地震反应求解，多自由度体系的地震反应可通过分解为各阶振型地震反应求解，故称故称振型分解法振型分解法 体系的第体系的第j 阶振型阶振型 地震反应地震反应（6）阻尼矩阵的处理阻尼矩阵的处理M KC振型关于下列矩阵正交：振型关于下列矩阵正交：刚度矩阵刚度矩阵阻尼矩阵阻尼矩阵振型分解法的前提：振型分解法的前提：质量矩阵质量矩阵无条件满足无条件满足采用瑞雷阻尼矩阵采用瑞雷阻尼矩阵KbMaC（7）iiiiiMKTT2 iiiiiiMC
50、TT2由于由于22iiiba22jjjba得得22)(2ijijjijia22)(2ijiijjb实际计算时，实际计算时，可取对结构地震反应可取对结构地震反应影响最大的两个振型的频率，影响最大的两个振型的频率，并取并取 ji确定瑞雷阻尼矩阵中待定系数确定瑞雷阻尼矩阵中待定系数a a、b b：任取体系两阶振型任取体系两阶振型 i j、iiiiiiKbMaCTTT jjjjjjKbMaCTTTKbMaC（8）（9）单自由度体系地震作用计算：单自由度体系地震作用计算：由由()FGT)(TmSFa()()aS TTg回顾：回顾：多自由度体系地震反应分析的振型分解法：多自由度体系地震反应分析的振型分解法
