1、函数序列与函数项级数函数序列与函数项级数习题课二习题课二（幂级数）（幂级数）幂级数的收敛域定义：的收敛半径，的收敛半径，称为幂级数称为幂级数 nnxaR,),(称为收敛区间称为收敛区间RR.,可可得得收收敛敛域域考考虑虑端端点点的的收收敛敛性性nnnaR|lim1 定理3：收敛半径公式收敛半径公式1lim nnnaaRCauchy-Hadamard，和函数为，和函数为收敛半径为收敛半径为设设)(0 xSRxannn ,),()(内连续内连续在在则则RRxS 中中有有而而且且在在),(RR,)1()1()()(knknnkxaknnnxS:任意阶导数任意阶导数,2,1 k定理定理6 6：幂级数的
2、分析性质定理定理4 4：.0 0 RRxannn，的收敛半径的收敛半径设设内的任何闭子区间内的任何闭子区间),(RR,ba上上一致收敛一致收敛.则在则在,),()(且可逐项积分且可逐项积分内可积内可积在在RRxS 010001dd)(nnnnxnnxxnattattS定理定理7 7：,),(RRx 即对即对典型例题典型例题(1)(1)0!nnnx解：解：)1(!)!1(limlimlim1nnnaaRnnnnn故收敛域为（故收敛域为（-，+）(2)(2)0)1()2(3nnnnxn解：解：11)2(31)2(3lim nnnnnnnR31 例例1.1.求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域处
3、处中心在中心在10 x故收敛区间为（故收敛区间为（2/32/3，4/34/3）311 311 1;32131)2(3,3411发散发散 nnnnnnnnx;32)1(31)2(3,3211收敛收敛 nnnnnnnnnx故收敛域为故收敛域为2/32/3，4/34/3）302212,11nnnnxxx ：例例 012nnS xnnx 1x 11000222230012222,111nnnnnnnnnnS xnnxnxnxxxxxxx 证明：证明：收敛区间为收敛区间为证明证明例例3.3.()1xef xMaclaurinx 将将展展成成级级数数.),(,!0 xnxennx.)1,1(,110 xx
4、xnn 00!11)(nnnnxxnxxexf 0)11(!1!11!01nnxxn解：解：例例4.4.0ln2xxTaylor 将将在在处处展展成成级级数数解：解：2lnln2(2)ln2(1)2xxx 2ln2ln(1)2x 23ln(1),1,123xxxxx 利利用用2321212ln222232xxx2323111ln2(2)(2)(2)223 2xxx 1(2)(1)(0,42nnnxxn 解：解：0221(1)(21)!2nnnSn 210sin(1)(,)(21)!nnnxxxn 由由220sin(1)(21)!nnnxxxn 知知求导得求导得21022sincos(1)(21
5、)!nnnnxxxxn 0221sin1cos1(1)2(21)!nnnxSn 令令得得：1(cos1sin1)2S例例5.5.01(1)(21)!nnnn 求求级级数数的的和和函函数数。例例6.6.221(1)2nnn 求求级级数数的的和和。解：解：221()1nnS xxn 令令 1221()(1)(1)1nnnnnnxxxxS xxnnnn 1ln(1)(1,1)nnxxxn 由由于于 ()ln(1)xS xxx 知知2001()ln(1)dln(1)d2xxxS xttttt )1ln(2)1ln(2122xxxxx2ln438521ln812121ln21)21(2 SS例例7.7.?321132lim nnnnananaaa解：解：1111)(nnnnnnxxnxxnxxS)11()1(112 xxxxx1 a22)1()11(1)1(aaaaaS原式原式 233414,1.1nnxxxn xxx 31nnS xn x 1x 32211111123414,1.1nnnnnnnnnnnnn xxn xxn xx xn xxx xn xx x xxx x xxxxxxx 例例8 8证明：证明：证明：证明：设设收敛区间收敛区间
