1、第2讲 相交线与平行线动点提高题知识点：1、平行线的判定：同位角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。2、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。3、平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。4、平移：平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。对应点的线段平行且相等。 平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。动点型问题是最近几年中考的一个
2、热点题型，所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。典型例题例1.（1）如图（1），EFGF，垂足为F，AEF=150，DGF=60试判断AB和CD的位置关系，并说明理由（2）如图（2），ABDE，ABC=70，CDE=147，C=_（直接给出答案）（3）如图（3），CDBE，则2+3-1=_（直接给出答案）（4）如图（4），ABCD，ABE=DCF，求证：BECF
3、解（1）：ABCD理由：如答图，过点F作FHAB，则AEF+EFH=180AEF=150，EFH=30，又EFGF，HFG=90-30=60又DGF=60，HFG=DGF，HFCD，则ABCD；（2）延长ED交BC于点FABDE，BFE=ABC=70，则CFE=180-BFD=110，C=CDE-CFE=147-110=37，故答案是：37；（3）延长DC交AB于点F，作ACF的外角4CDBE，DFB=3，又DFB+2+4=360，2+3+4=360，即2+3=360-42+3-1=360-4-1=360-180=180，故答案是：180；（4）延长BE交直线CD于点GABCD，ABE=BGD
4、，又ABE=DCF，BGF=DCF，BECF例2.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图1若ABCD点P在AB、CD外部求证：BPD=B-D；（2）将点P移到AB、CD内部如图2（1）中的结论是否成立若成立说明理由：若不成立则BPD、B、D之间有何数量关系不必说明理由；（3）在图2中将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q如图3则BPD、B、D、BQD之间有何数量关系并证明你的结论；（4）在图4中若A+B+C+D+E+F+G=n90则n=_解（1）ABCD，B=BOD，而BOD=BPD+D，B=BPD+D，即BPD=B-D；（2）（1）中的结论不成立，BPD=B+D作
5、PQAB，如图2，ABCD，ABPQCD，1=B，2=D，BPD=B+D；（3）BPD=B+D+BQD理由如下：连结QP并延长到E，如图3，1=B+BQP，2=D+DQP，1+2=B+BQP+D+DQP，BPD=B+D+BQD；（4）连结AG，如图4，B+F=BGA+FAG，A+B+C+D+E+F+G=A+FAG+C+D+E+BAG+G=（5-2）180=690，n=6故答案为6例3.如图，直线ACBD，连结AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分。当动点P落在某个部分时，连结PA、PB，构成PAC、APB、PBD三个角。(提示：有公共端点的两条重合的射
6、线所组成的角是0)(1)当动点P落在第部分时，求证：APBPACPBD；(2)当动点P落在第部分时，APBPACPBD是否成立(直接回答成立或不成立)？ ABABABP(第5题图)CDCDCD(3)当动点P落在第部分时，全面探究PAC、APB、PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论。选择其中一种结论加以证明。（1）解法一：如图9-1延长BP交直线AC于点E ACBD , PEA = PBD . APB = PAE + PEA , APB = PAC + PBD . 解法二：如图9-2过点P作FPAC , PAC = APF . ACBD , FPBD . FPB =PBD . A
7、PB =APF +FPB =PAC + PBD .解法三：如图9-3， ACBD , CAB +ABD = 180 即 PAC +PAB +PBA +PBD = 180. 又APB +PBA +PAB = 180, APB =PAC +PBD . （2）不成立. （3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是PBD=PAC+APB .(b)当动点P在射线BA上，结论是PBD =PAC +APB .或PAC =PBD +APB 或 APB = 0，PAC =PBD（任写一个即可）.(c) 当动点P在射线BA的左侧时，结论是PAC =APB +PBD . 选择(a) 证明：如图9-4，连接PA，连
8、接PB交AC于M ACBD , PMC =PBD .又PMC =PAM +APM , PBD =PAC +APB . 选择(b) 证明：如图9-5 点P在射线BA上，APB = 0. ACBD , PBD =PAC . PBD =PAC +APB 或PAC =PBD+APB 或APB = 0，PAC =PBD. 选择(c) 证明：如图9-6，连接PA，连接PB交AC于F ACBD , PFA =PBD . PAC =APF +PFA , 考点训练一选择题1将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）1=2；（2）3=4；（3）2+4=90；（4）4+5=180，其中正确的个数是
9、（）A1B2C3D4【分析】根据两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，及直角三角板的特殊性解答解：纸条的两边平行，（1）1=2（同位角）；（2）3=4（内错角）；（4）4+5=180（同旁内角）均正确；又直角三角板与纸条下线相交的角为90，（3）2+4=90，正确故选：D2如图，A0B的两边OA，OB均为平面反光镜，A0B=40在射线OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则QPB的度数是（）A60B80C100D120【分析】根据两直线平行，同位角相等、同旁内角互补以及平角的定义可计算即可解：QROB，AQR=AOB=40，PQR+QPB
10、=180；AQR=PQO，AQR+PQO+RQP=180（平角定义），PQR=1802AQR=100，QPB=180100=80故选：B3如图，直线l1l2，A=125，B=85，则1+2=（） A30B35C36D40【分析】过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得3=1，4=2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出CAB+ABD=180，然后计算即可得解解：如图，过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，3=1，4=2，l1l2，ACBD，CAB+ABD=180，3+4=125+85180=30，1+2=30故选：A4如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若
11、1=20，则2=（） A80B70C40D20【分析】过G点作GHAD，则2=4，根据折叠的性质3+4=B=90，又ADBC，则HGBC，根据平行线性质得1=3=20，所以24=9020=70解：过G点作GHAD，如图，2=4，矩形ABCD沿直线EF折叠，3+4=B=90，ADBC，HGBC，1=3=20，4=9020=70，2=70故选B5如图，已知DE由线段AB平移得到的，且AB=DC=4cm，EC=3cm，则DCE的周长是（）A9cmB10cmC11cmD12cm6如图，将ABC沿BC方向平移2cm得到DEF，若ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（）A16cmB18cmC2
12、0cmD22cm二填空题1.如图，计划把河水引到水池A中，先作ABCD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，沿AB开渠，能使所开的渠道最短故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短2用等腰直角三角板画AOB=45，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22，则三角板的斜边与射线OA的夹角为22度 【分析】由平移的性质知，AOSM，再
13、由平行线的性质可得WMS=OWM，即可得答案解：由平移的性质知，AOSM，故WMS=OWM=22；故答案为：223如图，直线AEBD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，ABD的面积为16，则ACE的面积为8【分析】根据两平行线间的距离相等，可知两个三角形的高相等，所以根据ABD的面积可求出高，然后求ACE的面积即可解：在ABD中，当BD为底时，设高为h，在AEC中，当AE为底时，设高为h，AEBD，h=h，ABD的面积为16，BD=8，h=4则ACE的面积=44=8三解答题1如图，已知，l1l2，C1在l1上，并且C1Al2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上设ABC1的面积
14、为S1，ABC2的面积为S2，ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由【分析】根据两平行线间的距离相等，即可解答解：直线l1l2，ABC1，ABC2，ABC3的底边AB上的高相等，ABC1，ABC2，ABC3这3个三角形同底，等高，ABC1，ABC2，ABC3这些三角形的面积相等即S1=S2=S32如图，已知ABCD，BE平分ABC，DE平分ADC，BAD=80，试求：（1）EDC的度数；（2）若BCD=n，试求BED的度数 【分析】（1）由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由DE为角平分线，即可确定出EDC的度数；（2）过E作EFAB，则EFA
15、BCD，利用两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义求得BEF的度数，根据平行线的性质求得FED的度数，则BED即可求解解：（1）ABCD，ADC=BAD=80，又DE平分ADC，EDC=ADC=40；（2）过E作EFAB，则EFABCDABCD，ABC=BCD=n，又BE平分ABC，ABE=n，EFAB，BEF=ABE=n，EFCD，FED=EDC=40，BED=n+403ABC在如图所示的平面直角中，将其平移后得ABC，若B的对应点B的坐标是（4，1）（1）在图中画出ABC；（2）此次平移可看作将ABC向左平移了2个单位长度，再向下平移了1个单位长度得ABC；（3）ABC的面积为10【分析
16、】（1）根据“B的对应点B的坐标是（4，1）”的规律求出对应点的坐标，顺次连接即可（2）通过作图可直接得到答案是：向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度（3）平移后的面积与原面积相同，可用补全法求面积解：（1）如图（2）向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度（平移的顺序可颠倒）（3）把ABC补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得ABC的面积=ABC的面积为=24446=10作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；确定图形中的关键点；利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；按原图形顺序依次连接对应点，所
17、得到的图形即为平移后的图形4实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射若被b反射出的光线n与光线m平行，且1=38，则2=76，3=90（2）在（1）中，若1=55，则3=90；若1=40，则3=90（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角3=90时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行你能说明理由吗？【分析】（1）根据入射角与反射角相等，可得1=5，7=6，根据邻补角的定义可得4=104，根据mn，所以2=
18、76，5=38，根据三角形内角和为180，即可求出答案；（2）结合题（1）可得3的度数都是90；（3）证明mn，由3=90，证得2与4互补即可解：（1）入射角与反射角相等，即1=5，7=6，又1=38，5=38，4=18015=104，mn，2=1804=76，6=（18076）2=52，3=18065=90；（2）由（1）可得当1=55和1=40时，3的度数都是90；（3）3=90，6+5=90，又由题意知1=5，7=6，2+4=180（7+6）+180（1+5），=3602526，=3602（5+6），=180由同旁内角互补，两直线平行，可知：mn故答案为：76，9090，90905如图，
19、已知直线l1l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合记AEP=1，PFB=2，EPF=3（1）若点P在图（1）位置时，求证：3=1+2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出1、2、3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出1、2、3之间的关系并给予证明【分析】此题三个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和1、2相等的角，然后结合这些等角和3的位置关系，来得出1、2、3的数量关系证明：（1）过P作PQl1l2，由两直线平行，内错角相等，可得：1=QPE、2=QPF；3=QPE+QPF，
20、3=1+2（2）关系：3=21；过P作直线PQl1l2，则：1=QPE、2=QPF；3=QPFQPE，3=21（3）关系：3=36012过P作PQl1l2；同（1）可证得：3=CEP+DFP；CEP+1=180，DFP+2=180，CEP+DFP+1+2=360，即3=360126如图，直线CBOA，C=OAB=100，E、F在CB上，且满足FOB=AOB，OE平分COF（1）求EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么OBC：OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使OEC=OBA？若存在，求出其度数；
21、若不存在，说明理由【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出AOC，然后求出EOB=AOC，计算即可得解；（2）根据两直线平行，内错角相等可得AOB=OBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得OFC=2OBC，从而得解；（3）根据三角形的内角和定理求出COE=AOB，从而得到OB、OE、OF是AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解解：（1）CBOA，AOC=180C=180100=80，OE平分COF，COE=EOF，FOB=AOB，EOB=EOF+FOB=AOC=80=40；（2）CBOA，AOB=OBC，FOB=AOB，FOB=OBC，OFC=F
22、OB+OBC=2OBC，OBC：OFC=1：2，是定值；（3）在COE和AOB中，OEC=OBA，C=OAB，COE=AOB，OB、OE、OF是AOC的四等分线，COE=AOC=80=20，OEC=180CCOE=18010020=60，故存在某种情况，使OEC=OBA，此时OEC=OBA=607.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图1，若ABCD，点P在AB、CD内部，B=50，D=30，求BPD（2）如图2，将点P移到AB、CD外部，则BPD、B、D之间有何数量关系？请证明你的结论（2）如图3，写出BPDBDBQD之间的数量关系？（不需证明）（3）如图4，求出A+B+C+D+
23、E+F的度数解:（1）过点P作PEAB，ABCD，ABEPCD，B=1=50，D=2=30，BPD=80；（2）B=BPD+D理由如下：设BP与CD相交于点O，ABCD，BOD=B，在POD中，BOD=BPD+D，B=BPD+D（3）如图，连接QP并延长，结论：BPD=BQD+B+D（4）如图，由三角形的外角性质，A+E=1，B+F=2，1+2+C+D=360，A+B+C+D+E+F=3608 如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，1与2互补（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，BEF与EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且
24、GHEG，求证：PFGH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使PHK=HPK，作PQ平分EPK，问HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角AEF、CFE互补，所以易证ABCD；（2）利用（1）中平行线的性质推知；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得EPF=90，即EGPF，故结合已知条件GHEG，易证PFGH；（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得4=903=9022；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知QPK=EPK=45+2；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得HPQ的大小
25、不变，是定值45解：（1）如图1，1与2互补，1+2=180又1=AEF，2=CFE，AEF+CFE=180，ABCD；（2）如图2，由（1）知，ABCD，BEF+EFD=180又BEF与EFD的角平分线交于点P，FEP+EFP=（BEF+EFD）=90，EPF=90，即EGPFGHEG，PFGH；（3）HPQ的大小不发生变化，理由如下：如图3，1=2，3=22又GHEG，4=903=9022EPK=1804=90+22PQ平分EPK，QPK=EPK=45+2HPQ=QPK2=45，HPQ的大小不发生变化，一直是4511画图并填空：如图，ABC的顶点都在方格纸的格点上，将ABC向下平移2倍，再向右平移3格（1）请在图中画出平移后的ABC；（2）在图中画出的ABC的高CD（标出点D的位置）；（3）如果每个小正方形边长为1，则ABC的面积=（答案直接填在题中横线上）
