1、 树树 立立 信信 心心 积积 极极 准准 备备 沉沉 着着 应应 战战 九数专题训练（开放探索型） 第 1 页（共 8 页） 第 2 页 （共 8 页） 九年级数学中考复习开放探究开放探究型专题训练 班级：班级： 姓名：姓名： 郑宗平 编排 1、在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，M、N 分别为 AD、BC 的中点，E、F 分别是 BM、CM 的中点. .求证： ABMCDM； .四边形 MENF 是什么图形？请证明你的结论； .若四边形 MENF 是正方形，则梯形的高与底边 BC 有何数量关系？并请说明理由. 2、三个全等的菱形 ABGH、BCFG、CDEF 拼成平行四边形 ADEH，连
2、接 AE 与 BG、CF 分别交于 P、 Q. .若 AB=6，求线段 BP 的长； .观察图形，是否有三角形与ACQ 全等？并证明你的结论. 3、如图，AB 是O 的直径，CB、CE 分别切O 于点 B、D，CE 与 BA 的延长线交于点 E，连结 OC、OD .求证：OBCODC； .已知 DE=a，AE=b，BC=c，请你思考后，选用以上适当的数，设计出计算O 半径 r 的一种方案： .你选用的已知数是 ； .写出求解过程（结果用字母表示） 4、如图OAB 为直角三角形，OAB=90，O=60，OB=10，一动点 P 沿射线 OA 运动（不与 O 重合） ，连接 BP， 设 AP= x，
3、OPB 的面积为 y. .当 P 运动到使 PBOB 时，求此时 AP 的值； .设中 P 点的位置为 P点，当 P 点在点 O 与点 P之间运动时（不与 O、P重合）请你判断OPB 的形状 （按角分类）变化的情况，并说明理由； .写出当OPB 为锐角三角形时，y 与 x 的函数关系式，并确定自变量 x 的取值范围. 5、已知ABC，分别以 AB、BC、 CA 为边向形外作等边三角形 ABD、等边三角形 BCE、等边三角形 ACF. .如图 1，当ABC 是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论； .如图 2，当ABC 中只有ACB=60时，请你证明SABC与SABD的和等于SBC
4、E与SACF的和. 6、如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BDCD，ABCD 且ABC 为锐角，若 AD4，BC12，E 为 BC 上一点. 问：当 CE 分别为何值时，四边形 ABED 是等腰梯形？直角梯形？请分别说明理由. FE M D N B C A b a c A D OE B C Q P E D F C GH B A 60 A P(P) OB AD B C E 图 2 图 1 C B E E D F A D F BC A 树树 立立 信信 心心 积积 极极 准准 备备 沉沉 着着 应应 战战 九数专题训练（开放探索型） 第 3 页（共 8 页） 第 4 页 （共 8 页） 7、A
5、B 是O 的直径，AC 是弦，直线 EF 和O 相切于点 C，ADEF，垂足为 D. .求证：DAC=BAC； .若把直线 EF 向上平行移动，如图 2，EF 交O 于 G、C 两点，若题中的其他条件不变，这时与DAC 相等的 角是哪一个?为什么? 8、 O1与O2都经过 A、B 两点，经过点 A 的直线 CD 与O1交于点 C，与O2交于点 D，经过点 B 的直线 EF 与O1交于点 E，与O2交于点 F. .求证：CEDF； .在图 1 中，若 CD 和 EF 可以分别绕点 A 和点 B 转动，当点 C 与点 E 重合时(如图 2)，过点 E 作直线 MNDF， 试判断直线 MN 与O1的
6、位置关系，并证明你的结论. 9、已知O 的弦 AB 垂直于直径 CD，垂足为 F，点 E 在 AB 上，且 EA = EC. 求证：AC 2= AEAB； 延长 EC 到点 P，连结 PB，若 PB = PE，试判断 PB 与O 的位置关系，并说明理由. 10、如图，在锐角ABC 中，BA=BC，点 O 是边 AB 上的一个动点( 不与点 A、B 重合)，以 O 为圆心，OA 为半径 的圆交边 AC 于点 M，过点 M 作O 的切线 MN 交 BC 于点 N. .当 OA=OB 时，求证：MNBC； .分别判断 OAOB、OAOB 时，上述结论是否成立。请选择一种情况，说明理由. 11、边长为
7、2 3的等边三角形 ABC 内接于O，点 D 在弧 AC 上运动，但与 A、C 两点不重合，连结 AD 并延长交 BC 的延长线于 P .求O 的半径； .设 AD 为 x，AP 为 y，写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； .D 点在运动过程中是否存在这样的位置，使得BDP 成为以 DB、DP 为腰的等腰三角形，若存在，请你求出此 时 AD 的值，若不存在，请说明理由 12、如图,AB 为圆 O 的直径,C 为圆 O 上一点,AD 和过 C 点的直线互相垂直,垂足为 D,且 AC 平分DAB, 延长 AB 交 DC 于点 E。 .判定直线 DE 与圆 O 的位置关系，并说
8、明你的理由； .求证： 2 ACAD AB; .以下两个问题任选一题做答： . 若 CFAB 于点 F,试讨论线段 CF、CE 和 DE 三者的数量关系; .若 EC=5 3,EB=5,求图中阴影部分的面积. 图 2 图 1 F D E(C) B A F E B A O1 O2 O2 O1 C E M N P E A B O C D F N C B M O A BF D EA O C 图 2 图 1 D B CG B D OO F E F C E A A P O A B C D 树树 立立 信信 心心 积积 极极 准准 备备 沉沉 着着 应应 战战 九数专题训练（开放探索型） 第 5 页（共
9、8 页） 第 6 页 （共 8 页） 13、分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个半圆、三个正方形、正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示。 .请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明； .若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3 之间仍具有与(1)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论； . 类比(1)、(2)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 . 14、取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：先把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN，如图（1）； 第二步：再把 B 点叠在折痕线 MN
10、 上，折痕为 AE，点 B 在 MN 上的对应点为，得 RtAE，如图（2）； 第三步：沿 EB线折叠得折痕 EF，如图（3）. 利用展开图（4）探究：（1）AEF 是什么三角形？（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角 形？请说明理由。 15、如图在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的面积为 15，边 OA 比 OC 大 2E 为 BC 的中点，以 OE 为直径的O 交轴于 D 点，过点 D 作 DFAE 于点 F .求 OA、OC 的长； .求证：DF 为O的切线； .小明在解答本题时，发现AOE 是等腰三角形由此，他断定：“直 线 BC 上一定存在除点 E 以外的点 P，使A
11、OP 也是等腰三角形，且点 P 一定在O外”你同意他的看法吗？请充分 说明理由 16、 已知， 如图， RtABC 中， ACB=90 0， AB=5， 两直角边 AC、 BC 的长是关于 x 的方程 2 560xmxm 的两个实数根. .求 m 的值及 AC、BC 的长（BCAC）; .在线段 BC 的延长线上是否存在点 D，使得以 D、A、C 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出 CD 的长； 若不存在，请说明理由. 17、如图，有长为 24 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 a 为 10 米） ，围成中间隔有一道篱笆的长方形 花圃。设花圃的宽 AB 为 x 米，面积为 S 米
12、 2， .求 S 与 x 的函数关系式 .如果要围成面积为 45 米 2的花圃，AB 的长是多少米？ .能围成面积比 45 米 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由. 18、如图所示，在ABC 中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点运动； 同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，设运动时间为 x. .当 x 为何值时，PQBC？ .当 3 1 ABC BCQ S S ，求 ABC BPQ S S 的值； .APQ 能否与CQB 相似？若能， 求出 AP
13、 的长； 若不能， 请说明理由. x y F D O E B A C O a CB AD B C A 树树 立立 信信 心心 积积 极极 准准 备备 沉沉 着着 应应 战战 九数专题训练（开放探索型） 第 7 页（共 8 页） 第 8 页 （共 8 页） 19、已知：二次函数mxmxy1) 1(2 2 的图像与 x 轴交于 A（ 1 x，0） 、B（ 2 x，0） ， 1 x0 2 x， 与 y 轴交于点 C，且满足 COBOAO 211 . 求这个二次函数的解析式； .是否存在着直线 ykxb 与抛物线交于点 P、Q，使 y 轴平分CPQ 的面积？若存在，求出 k、b 应满足的 条件；若不存
14、在，请说明理由 20、已知ABC 为正三角形，点 M 是射线 BC 上任意一点，点 N 是射线 CA 上任意一点，且 BMCN，直线 BN 与 AM 相交于 Q 点就下面给出的三种情况（如图、） ，先用量角器分别测量BQM 的大小，然后猜测BQM 等于多少度？并利用图证明你的结论 21、在直角坐标系中，以点 A（3，0）为圆心，以2 3为半径的圆与 x 轴交于 B、C. . 求 D 点的坐标； .若 B、C、D 三点在抛物线cbxaxy 2 上，求这个抛物线的解析式； . 若A 的切线交 x 轴正半轴于点 M，交 y 轴负半轴于点 N，切点为 P 且OMN30，试判断直线 MN 是否经 过所求抛物线顶点？说明理由. 22、已知ABC 中，AC5，BC12，ACB90，P 是 AB 边上的动点（与点 A、B 不重合）Q 是 BC 边上的动点 （与点 B、C 不重合） .如图 10，当 PQAC，且 Q 为 BC 的中点时，求线段 CP 的长； .当 PQ 与 AC 不平行时，CPQ 可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段 CQ 的长的取值范围；若不可能， 请说明理由
