1、LOGORobert C.MertonTheory of rational option pricingThe Bell Journal of Economics and Management Science,Volume 4,Issue 1(spring,1973)Company Logov期权定价理论始于期权定价理论始于19001900年，法国数学家年，法国数学家Louis BachelierLouis Bachelier假设股票价格服从零漂移假设股票价格服从零漂移布朗运动，从而导出了期权定价公式。布朗运动，从而导出了期权定价公式。v本论文在假设投资者偏好更多财富的基础本论文在假设投资者偏
2、好更多财富的基础上，推导出期权定价的一组约束条件，它上，推导出期权定价的一组约束条件，它是保证期权定价公式和理性定价理论相一是保证期权定价公式和理性定价理论相一致的致的必要条件必要条件。Company Logo重点研究了两类问题：重点研究了两类问题：v1.1.标的股票支付股息时的期权定价问题；标的股票支付股息时的期权定价问题；v2.2.执行价格的变化引起期权合约条件的明显改变执行价格的变化引起期权合约条件的明显改变时的期权定价问题；或者公司投资（或资本结构时的期权定价问题；或者公司投资（或资本结构政策）的变化引起期权合约条件的潜在改变时的政策）的变化引起期权合约条件的潜在改变时的期权定价问题。
3、期权定价问题。v引入其他假设进一步研究和推广引入其他假设进一步研究和推广Black-ScholesBlack-Scholes期期权定价理论。权定价理论。Company Logo1.1.引言引言v期权是一类特别简单的未定权益，期权定价理论期权是一类特别简单的未定权益，期权定价理论导致了一般未定权益定价理论的产生；导致了一般未定权益定价理论的产生；v所有未定权益都可以表示成基础期权合约的组合，所有未定权益都可以表示成基础期权合约的组合，所以期权定价理论是未定权益定价理论的组成部所以期权定价理论是未定权益定价理论的组成部分。分。Company Logo2.2.理性期权定价的约束理性期权定价的约束v“
4、美式美式”认股权证认股权证v“美式美式”看涨期权看涨期权v“欧式欧式”期权合约期权合约v“投机商号投机商号”或或“初始初始”零投资假设零投资假设v符号表示：符号表示：v美式认股权证价值美式认股权证价值F(SF(S，；E)E)vE E执行价格执行价格v到期前期限到期前期限vS S每股普通股票价格每股普通股票价格Company Logov欧式认股权证价值欧式认股权证价值f(Sf(S，；E)E)v美式看跌期权价值美式看跌期权价值G(SG(S，；E)E)v欧式看跌期权价值欧式看跌期权价值g(Sg(S，；E)E)v由认股权证和有限责任的定义：由认股权证和有限责任的定义：vF(SF(S，；E)E)0 0；
5、f(Sf(S，；E)E)0 (1)0 (1)v到期时，到期时，=0=0，两个合约满足：，两个合约满足：vF(SF(S，；E)=f(SE)=f(S，；E)=Max(0E)=Max(0，S-E)(2)S-E)(2)v根据套利条件：根据套利条件：v F(SF(S，；E)E)Max(0Max(0，S-E)S-E)（3 3）Company Logov 定义：定义：我们称证券（投资组合）我们称证券（投资组合）A A占有于证券（投资组合）占有于证券（投资组合）B B，如果在未来某个已知日期，对于某些状态，证券，如果在未来某个已知日期，对于某些状态，证券A A的收的收益超过证券益超过证券B B的收益，对于所有
6、状态证券的收益，对于所有状态证券A A的收益至少等于的收益至少等于证券证券B B的收益。的收益。v 假设假设1 1：理性期权定价的一个必要条件是，定价该期权使：理性期权定价的一个必要条件是，定价该期权使得它既不是占优证券也不是被占优证券。得它既不是占优证券也不是被占优证券。v F(SF(S，1 1 ；E)E)F(SF(S，2 2 ；E)E)1 1 2 2 (4)(4)v F(SF(S，；E)E)f(Sf(S，；E)E)(5)(5)Company Logov F(SF(S，；E E1 1)F(SF(S，；E E2 2)v f(Sf(S，；E E1 1)f(Sf(S，；E E2 2)E)E1 1
7、E E2 2 (6)(6)v S=F(SS=F(S，；0)F(S0)F(S，；E)E)v F(S F(S，；E)E)（7 7）v F(0F(0，；E)=f(0E)=f(0，；E)=0 (8)E)=0 (8)v 令令P(P()为从现在起为从现在起年后到期支付年后到期支付1 1美元无风险（在违约美元无风险（在违约意义上）贴现贷款（或债券）的价格。意义上）贴现贷款（或债券）的价格。v 1=P(0)1=P(0)P(P(1 1)P(P(n n)v 0 01 1 n n （9 9）Company Logov定理定理1 1：如果欧式认股权证的执行价格为：如果欧式认股权证的执行价格为E E，认股，认股权证有效
8、期内普通股没有任何支付（例如：股息）权证有效期内普通股没有任何支付（例如：股息）（或者不允许有这样的支付以保护认股权证），（或者不允许有这样的支付以保护认股权证），那么，那么，f(Sf(S，；E)E)Max0Max0，S-E P(S-E P()v证明：构造投资组合：证明：构造投资组合：vA:A:支付支付f(Sf(S，；E)E)购买认股权证；购买认股权证；v以每份债券以每份债券P(P()的价格购买的价格购买E E份。份。v总投资为：总投资为：f(Sf(S，；E)+E P(E)+E P()v B:B:支出支出S S购买普通股。购买普通股。v总投资为：总投资为：S SCompany Logo年末，普
9、通股的价值为年末，普通股的价值为S SS SE ES SE EA A组合组合0+E=E0+E=E(S(SE)+E=SE)+E=SB B组合组合S SS S比较比较A A价值价值B B价值价值A A价值价值=B=B价值价值Company Logov除非除非A A组合现在的价值至少等于组合现在的价值至少等于B B组合的价值，否组合的价值，否则则A A将占优将占优B.B.因此，根据假设因此，根据假设1 1，vf(Sf(S，；E)+E P(E)+E P()S S，结合（，结合（1 1）有）有vf(Sf(S，；E)E)max0max0，S-E P(S-E P()v由（由（5 5），），F(SF(S，；E
10、)E)f(Sf(S，；E)E)v F(SF(S，；E)E)Max0Max0，S-E P(S-E P()Company Logov定理定理2：如果定理如果定理1 1的假设条件成立，美式认股权的假设条件成立，美式认股权证在到期前永不执行，因此，其价值与欧式认股证在到期前永不执行，因此，其价值与欧式认股权证相同。权证相同。v证明：如果认股权证被执行，其价值为证明：如果认股权证被执行，其价值为vMax0Max0，S-E S-E v由定理由定理1 1，F(SF(S，；E)E)Max0Max0，S-E P(S-E P()Max0Max0，S-ES-Ev因此，这个认股权证因此，这个认股权证“活着活着”比比“
11、死去死去”有价值。有价值。Company Logov定理定理3：如果定理如果定理1 1的条件成立，永续（的条件成立，永续（=）认股权证的价值等于普通股票的价值。）认股权证的价值等于普通股票的价值。vF(SF(S，；E)F(SE)F(S，；E)Max0E)Max0，S-E S-E P(P()S)Sv（7 7）S=F(SS=F(S，；0)F(S0)F(S，；E)E)v因此，因此，F(SF(S，；E)=SE)=SvS S F(SF(S，；E)E)Max0Max0，S-E P(S-E P()v所以所以F(SF(S，；E)E)为为P(P()的函数，否则，的函数，否则，P(P()（大利率）充分小，不等式关
12、系不能成立。（大利率）充分小，不等式关系不能成立。Company Logov利率增大，相当于利率增大，相当于E E变小，所以，认股权证价值是变小，所以，认股权证价值是利率的增函数。同样，适用于有限责任公司的股利率的增函数。同样，适用于有限责任公司的股票分析。票分析。E E被看成是债务。被看成是债务。v定理定理4 4：如果：如果F(SF(S，；E)E)是理性决定的股权价是理性决定的股权价格，那么，它是执行价格格，那么，它是执行价格E E的凸函数。的凸函数。v证明：任取证明：任取0 0 1 1，E E2 2E E1 1，v令令E3=E3=E E1 1+(1-+(1-)E)E2 2Company L
13、ogov构造投资组合：构造投资组合：vA:A:份执行价格为份执行价格为E E1 1的认股权证，的认股权证，(1-(1-)份执行份执行价格为价格为E E2 2的认股权证的认股权证.vB:1B:1份执行价格为份执行价格为E E3 3的认股权证的认股权证.v令到期的股票价格为令到期的股票价格为S Sv到期时，到期时，A A组合的价值为组合的价值为vMax(0,SMax(0,S-E-E1 1)+(1-)+(1-)Max(0,S)Max(0,S-E-E2 2)v组合组合B B的价值为的价值为vMax(0,SMax(0,S-E-E3 3)=Max(0,S)=Max(0,S-E E1 1-(1-(1-)E
14、E2 2)Max(0,Max(0,(S(S-E-E1 1)+Max(0,(1-)+Max(0,(1-)(S(S-E-E2 2)v故为了避免占优，故为了避免占优，F(SF(S，；E E3 3)F(S F(S，；E E1 1)+(1-)+(1-）F(SF(S，；E E2 2)Company Logov定理定理5 5：如果：如果f(Sf(S，；E)E)是理性确定的欧式认是理性确定的欧式认股权证价格，那么，对于股权证价格，那么，对于E E1 1 E E2 2，-P(-P()（E E2 2-E E1 1）f(Sf(S，；E E2 2)-)-f(Sf(S，；E E1 1)0 0。进而，如果进而，如果f f
15、是执行价格的可微函数，是执行价格的可微函数，v证明：由证明：由（6 6）直接得到不等式右边成立。）直接得到不等式右边成立。v左边不等式根据占优理论：左边不等式根据占优理论：vA:A:以以E E2 2购买股票的认股权证，以每份购买股票的认股权证，以每份P(P()的价格的价格购买（购买（E E2 2-E-E1 1）份债券。）份债券。()(,;)/0pf SEE Company LogovB:B:以以E E1 1购买股票的认股权证购买股票的认股权证.v如果到期时，股票的价格为为如果到期时，股票的价格为为S S，那么，那么，v组合组合A A的价值为：的价值为：Max(0,SMax(0,S-E-E2 2
16、)+)+（E E2 2 EE1 1）v组合组合B B的价值为：的价值为：Max(0,SMax(0,S-E-E1 1)v如果如果S S E E2 2 vMax(0,SMax(0,S-E-E2 2)+)+（E E2 2 EE1 1）Max(0,SMax(0,S-E-E1 1)v如果如果S S E E2 2vMax(0,SMax(0,S-E-E2 2)+)+（E E2 2 EE1 1）=Max(0,S=Max(0,S-E-E1 1)Company Logov 故为防止占优，有故为防止占优，有v f(Sf(S，；E E1 1)f(Sf(S，；E E2 2)+P()+P()(E)(E2 2-E-E1 1
17、)v 如果定理如果定理1 1的条件成立，定理的条件成立，定理5 5 的不等式对于美式认股的不等式对于美式认股权证成立。否则，弱不等式成立权证成立。否则，弱不等式成立2121221(,;)(,;)(,;)()limEEf SEf SEf SEpEEE21212()(,;)(,;)0(,;)10EEF SEF SEf SEECompany Logov定理定理6 6：如果：如果k k是正常数，是正常数，Q(t)=kS(t);EQ(t)=kS(t);EQ Q=kE,=kE,那么，那么，F FQ Q(Q(Q，；E EQ Q)kF(SkF(S，；E),E),对于所有对于所有S,S,;E;E和每一个和每一个
18、k kv证明：设为认股权证被执行时或到期的普通股票证明：设为认股权证被执行时或到期的普通股票价格，则价格，则Q QkSkS,且且E EQ Q=kE=kE，对，对Q Q的认股权证价值的认股权证价值为为Max0,QMax0,Q-E-EQ Q=kMax0,S=kMax0,S-E,-E,为了避免占为了避免占优，卖出时必有优，卖出时必有F FQ Q(Q(Q，；E EQ Q)kF(SkF(S，；E)E)v说明认股权证定价函数是说明认股权证定价函数是S S和和E E的一次齐次函数，的一次齐次函数，反映了正常竞争中的规模收益不变的结论。反映了正常竞争中的规模收益不变的结论。Company Logov 股票价格
19、和认股权证价格可以进行单位执行价格报价。股票价格和认股权证价格可以进行单位执行价格报价。v 设设 为公司为公司i i的普通股票认股权证的价的普通股票认股权证的价值，值，v 假设假设2 2：如果：如果 1 1美元股票美元股票i i和和j j的收益分布相同，则的收益分布相同，则v 定义定义 为在时间为在时间t,t,投资于公司投资于公司i i的的1 1美元的单期收美元的单期收益，它是随机变量益，它是随机变量 。v 为为1 1美元的美元的期收益。期收益。(,;)iiiiF SE,ijijijSSSEEE(,;)(,;)ijF SEF SE()iz t1()()itiZz t Company Logov
20、 定理定理7 7：如果：如果 当当 且且 时，则时，则v 证明：从结构上看，第证明：从结构上看，第n+1n+1个约束证券的每份股票包括公个约束证券的每份股票包括公司司i i的普通股的普通股 份，根据假设，每股的价格为份，根据假设，每股的价格为v 由占优理论可以得出定理的证明。由占优理论可以得出定理的证明。v 投资组合投资组合A:A:包括公司包括公司i i的普通股认股权证的普通股认股权证 份，份，v 投资组合投资组合B:B:包括一份第包括一份第N+1N+1个约束证券。个约束证券。(,1,2,),ijSSS i jn0,1i11nii11()()nniiiZZ11(,;)(,;)nniiiFSEF
21、 SEi111nnniiiiiSSSSi(1,2,)inCompany Logo(1,2,)iSinv 到期日为公司到期日为公司i i的普通股票价的普通股票价格。格。v 根据定义：根据定义：v 则由则由 的凸性得：的凸性得：v 为避免占优，所以为避免占优，所以v 投资组合的认股权证小于认股权证的投资组合，从认投资组合的认股权证小于认股权证的投资组合，从认股权证的价值来看，分散化是股权证的价值来看，分散化是”有害的有害的”。11niniiSS(0,)MaxSE11(0,)(0,)inniiiiiMaxSEMaxSE11(,;)(,;)nniiiFSEF SECompany Logov 推论：如果
22、定理推论：如果定理7 7的假设条件成立，且的假设条件成立，且 是同是同分布的，则分布的，则v 证明：证明：v 普通股的风险越大，认股权证就越有价值。普通股的风险越大，认股权证就越有价值。v 定义定义v 如果如果 是随机变量，且是随机变量，且 v 则称证券则称证券1 1比证券比证券2 2的风险大。的风险大。v 定理定理8 8：理性确定的认股权证价格是与它相关的普通股票：理性确定的认股权证价格是与它相关的普通股票风险的非减函数。风险的非减函数。()iz t1(,;)(,;)niFSEF SE11(,;)(,;)(,;)nniiiiFSEF SEF SE12()()ZZ2()0EZCompany L
23、ogo()Zv 证明：令证明：令 普通股的收益，普通股的收益，为认股权为认股权证的价格。证的价格。v 设设 ，。独立同分布，独立同分布，v 且且v 根据定义，证券根据定义，证券i i比证券比证券Z Z风险大。我们定义随机变量收益风险大。我们定义随机变量收益v 根据结构，根据结构，的分布相同，由定理的分布相同，由定理7 7的推论，的推论，v 根据大数定律，当根据大数定律，当 时，时，依概率收敛于依概率收敛于(,;)ZFSE()()iiZZ(1,2,)ini2()0iEZ11111()()()nnniiiZZZnn()iZ1in1(,;)(,;)niFSEF SEn 1()nZ()ZCompany
24、 Logo1(,;)(,;)limnZnFSEFSEv 所以所以v 因此，普通股的不确定性越大，认股权证就越有价值。因此，普通股的不确定性越大，认股权证就越有价值。v 定理定理9 9：如果对普通股投资：如果对普通股投资1 1美元的收益分布和股票价格无美元的收益分布和股票价格无关，则关，则 v 是股票价格和执行价格的一次齐次函数。是股票价格和执行价格的一次齐次函数。v 证明：证明：v 令令 是初始股票价格为是初始股票价格为 的的1 1美元投美元投资收益。定义：资收益。定义：(,;)(,;),(1,2,)ZiFSEF SEin(,;)F SE()iz t(1,2)iS i 2211,SkEkESC
25、ompany Logo222111111211(,;)(,;)(,;)(,;)F SEF kSkEkF SEkF SEv 根据定理根据定理6 6，v 定理得证。定理得证。v 定理定理9 9比定理比定理6 6更强，如果收益依赖于股票价格水平时，这更强，如果收益依赖于股票价格水平时，这个结论不成立。个结论不成立。v 定理定理1010：投资于普通股票：投资于普通股票1 1美元的收益分布与价格水平无美元的收益分布与价格水平无关，那么，关，那么，是股票价格的凸函数。是股票价格的凸函数。v 证明：证明：(,;)F SECompany Logo01v 要证凸性，必须证明当要证凸性，必须证明当 ，v 时，有时
26、，有v 根据定理根据定理4 4v 有有v 令令v 312(1)SSS312(,;)(,;)(1)(,;)F SEF SEF SE01312(1)EEE312(1,;)(1,;)(1)(1,;)FEFEFE112312,SEEEESSS331122(1,;)(1,;)(1)(1,;)S FES FES FE333111222(,;)(,;)(1)(,;)F SS EF SS EF SS E312(,;)(,;)(1)(,;)F SEF SEF SECompany Logo3.3.股息和执行价格变化的影响股息和执行价格变化的影响v最普通的两类支付是股票股息（拆股）和现金股最普通的两类支付是股票股息
27、（拆股）和现金股息。息。v一般来说，期权价格受到未预期到的投资政策一般来说，期权价格受到未预期到的投资政策（存量增加）、资本结构（如：债务（存量增加）、资本结构（如：债务-权益比率）权益比率）（存量不变）和支付政策（存量减少）的影响。（存量不变）和支付政策（存量减少）的影响。v定义：期权是支付保护的，对于给定的投资政策定义：期权是支付保护的，对于给定的投资政策和给定的资本结构，期权的价值不会因支付政策和给定的资本结构，期权的价值不会因支付政策的选择而变化。的选择而变化。Company Logo定理定理1111v 如果不管支付所表示的收益（用支付分数表示）如何变化，如果不管支付所表示的收益（用支
28、付分数表示）如何变化，投资于普通股票投资于普通股票1 1美元的收益保持不变，且在认股权证有美元的收益保持不变，且在认股权证有效期内的每一支付后，如果可以调整合约从而能够让用效期内的每一支付后，如果可以调整合约从而能够让用E E美元购买到的股份增加美元购买到的股份增加 ，这里的，这里的d d为支付的货币量。为支付的货币量。为支付后每股股票价格，则认股权证有保护。为支付后每股股票价格，则认股权证有保护。v 考虑两个公司。假设投资于普通股票考虑两个公司。假设投资于普通股票1 1美元的总收益美元的总收益v 分布相同，且两个公司的初始价格相同，分布相同，且两个公司的初始价格相同，。对于。对于公司公司i
29、i，为为t t期从支付中每美元的收益，期从支付中每美元的收益，为为t t期从资本利得中每美元的收益，从而有期从资本利得中每美元的收益，从而有v 为时期为时期t t公司公司i i的认股权证可以以总价格的认股权证可以以总价格E E购买公司购买公司i i的股票数量，这里的股票数量，这里v 根据定义，根据定义，v 这里这里 为进行支付后为进行支付后t t时刻的每股股票价格。时刻的每股股票价格。/xd SxS()(1,2)iZ t i 12SSS()(1)it t()ix t()()()iiiZ tt x t()iN t12(0)(0)1NN()1/()xitd St 1()()xtkiStx t S
30、Company Logov 根据假设条件，有根据假设条件，有v 当认股权证被执行或到期那一天，公司当认股权证被执行或到期那一天，公司i i认股权证的价值为认股权证的价值为v 但是但是v 根据假设，根据假设，同分布，根据假设同分布，根据假设2 2，v 和和 的特定形式选择无关。的特定形式选择无关。v 推论：如果不管支付所表示的收益（用支付分数表示）如推论：如果不管支付所表示的收益（用支付分数表示）如何变化，投资于普通股票何变化，投资于普通股票1 1美元的收益保持不变，如果不存美元的收益保持不变，如果不存在规模经济，且在认股权证有效期内的每一支付后，以执在规模经济，且在认股权证有效期内的每一支付后
31、，以执行价格行价格E E购买一股股票的认股权证都能够与以执行价格购买一股股票的认股权证都能够与以执行价格E/E/购买购买()()(1)iiiN tt N t0,()()xiMaxN t StE111()()()()()xtttikikikiN t Stkx k Sz k S ()iz t12(,;)(,;)F SEF SE()itCompany Logo(1/)xd S 一股股票的一股股票的 份认股权证相交换，则认股权证是份认股权证相交换，则认股权证是支付保护的。支付保护的。v 证明：第证明：第i i个支付日后，个支付日后，v 为股票分割前的一股股票所分成的股份数。为股票分割前的一股股票所分成
32、的股份数。v 在没有税收和交易成本情形下，在没有税收和交易成本情形下，Miller-ModiglianiMiller-Modigliani证明，证明，如果投资政策和资本结构不变，股息政策不会影响公司的如果投资政策和资本结构不变，股息政策不会影响公司的价值。在这种假设下，对普通股票投资价值。在这种假设下，对普通股票投资1 1美元的总收益和支美元的总收益和支付政策无关。付政策无关。v Black-ScholesBlack-Scholes特例：公司清算所有资产并以现金方式支付。特例：公司清算所有资产并以现金方式支付。v 考虑投资政策、资本结构和支付三方面情况。考虑投资政策、资本结构和支付三方面情况。
33、v 认股权证初始形式，到期全部卖掉所有资产，买入无风险认股权证初始形式，到期全部卖掉所有资产，买入无风险(,;)(,;)iiEFSEF SCompany Logov 资产，认股权证下降为资产，认股权证下降为v 如果如果 即使认股权证是保护的也没有价值。即使认股权证是保护的也没有价值。v 支付无限制：公司将价值的支付无限制：公司将价值的 部分支付给股东。部分支付给股东。v 且且 支付后，认股权证的价值支付后，认股权证的价值为为v 当当 成立成立v 当当 极限状态也应成立。极限状态也应成立。v 在非初始形态下，当投资政策和资本结构发生变化时，为在非初始形态下，当投资政策和资本结构发生变化时，为不用
34、发行新股票就能保持资本结构不发生变化，不用发行新股票就能保持资本结构不发生变化，(0,)MaxSEPSEP(1)xSS1111(0,)(0,)xEPMaxSMaxSEP11Company Logov 公司不得不买入公司不得不买入 比例的已发行的认股权证，在比例的已发行的认股权证，在B-SB-S情形情形下，买入全部已发行的认股权证。下，买入全部已发行的认股权证。v 现金股息保护条款：导致认股权证持有者的损失，当现金股息保护条款：导致认股权证持有者的损失，当v 时，损失其价值的时，损失其价值的d/S,SEd/S,SE，损失变小，损失变小，SESE，损失变大。，损失变大。v 执行价格一般是距执行日的
35、时间函数，接近执行日，执行执行价格一般是距执行日的时间函数，接近执行日，执行价格会上升。容易证明，如果是这样，执行时间刚好在执价格会上升。容易证明，如果是这样，执行时间刚好在执行价格变化之前的那一时刻。用递归方法去找解。行价格变化之前的那一时刻。用递归方法去找解。v 不提前执行的充分条件：不提前执行的充分条件：v （1010）v （1111）SE11(,;)jjjjF SESE0;1,1Sjn11(,;)0,()jjjjjjF SEMaxSPE11()jjjjEPECompany Logov 推论：如果受保护的永久认股权证的执行价格有有限个变化，推论：如果受保护的永久认股权证的执行价格有有限个
36、变化，则认股权证不被执行，其价格等于普通股票的价格。则认股权证不被执行，其价格等于普通股票的价格。v 证明：证明：v 最后执行的认股权证的价值为：最后执行的认股权证的价值为：v 最后一个执行日之前的认股权证价值为：最后一个执行日之前的认股权证价值为：v 故用递推法，认股权证永不执行。故用递推法，认股权证永不执行。00(,;)F SES111001(,;)0,(,;)0,FSEM axSEFSEM axSESSCompany Logov 已知未来股息和股息政策对未受保护认股权证的影响：已知未来股息和股息政策对未受保护认股权证的影响：v 修正的欧式认股权证的边界条件：修正的欧式认股权证的边界条件：
37、v 等于距到期日前的等于距到期日前的 年支付的每股股息。年支付的每股股息。v 已知未来股息不提前执行的充分条件：已知未来股息不提前执行的充分条件：v （1212）v 连续情况，连续情况，d d，r r不变：不变：（1313）11(,;)0,(,;)jjjjjF SEMaxSE FSdEjdj1,jn0()()1()td t PtEPdErCompany Logo4.4.理性看跌期权定价的约束理性看跌期权定价的约束v 在到期日：在到期日：（1414）v 投资组合投资组合A:A:普通股多头普通股多头S S美元，美元，年后欧式看跌期权多年后欧式看跌期权多头头 美元，借款美元，借款 v 投资组合投资组
38、合B:B:看涨期权多头看涨期权多头 美元美元v 从现在起，从现在起，年后，股票价格为年后，股票价格为(,0;)(,0;)0,G SEg SEMaxES(,0;)g SE()EP(,0;)f SES组合组合A A价值价值组合组合B B价值价值 0 0比较比较B B价值等于价值等于A A价值价值B B价值等于价值等于A A价值价值SESE0SESE0SESESECompany Logov 为避免看涨期权占优：为避免看涨期权占优：（15）v 投资组合投资组合A:A:普通股空头价格普通股空头价格S S美元，美元，年后欧式看涨期权多年后欧式看涨期权多头头 美元，贷款美元，贷款 v 投资组合投资组合B:B
39、:看跌期权多头看跌期权多头 美元美元v 从现在起，从现在起，年后，股票价格为年后，股票价格为(,0;)()(,0;)gSE S EPf SE EP(,0;)f SE(,0;)g SE组合组合A A价值价值组合组合B B价值价值 0 0比较比较B B价值等于价值等于A A价值价值B B价值等于价值等于A A价值价值SESE0SEESES0SESECompany Logov 为避免看跌期权占优：为避免看跌期权占优：（1616）v 定理定理1212：如果假设：如果假设1 1成立，且借款利率与贷款利率相等，即成立，且借款利率与贷款利率相等，即 则则v 证明：由（证明：由（1515）和（）和（1616）
40、直接得出。）直接得出。v 推论推论1 1：v 证明：因为证明：因为 由（由（1616）推出。）推出。v 推论推论2 2：永久欧式看跌期权的价值为：永久欧式看跌期权的价值为0 0。v 证明：证明：v 由推论由推论1 1得：得：(,0;)()(,0;)f SES EPg SE()()PP(,;)(,;)()g SEf SESEP()(,;)EPg SE(,;)0fSES(,;)0g SE()0P 0(,;)g SECompany Logov f f为为S S、E E的一次函数或凸函数时，的一次函数或凸函数时，g g也如此。股票和现金股也如此。股票和现金股息的调整方法类似。息的调整方法类似。v （1
41、717）v （1818）v 美式期权的价值总是到期日的非减函数美式期权的价值总是到期日的非减函数v 考虑两个投资组合：考虑两个投资组合：v A:A:价格为价格为S S普通股多头，价格为普通股多头，价格为 美式看跌期美式看跌期权多头，借款权多头，借款 v 分析同前，分析同前，v 为避免认股权证占优为避免认股权证占优 （1919）(,;)0,G SEMaxES(,;)(,;)G SEg SE(,;)G SE()EP(,;)()(,;)()(1()SG S T EEP TG S T ESEEP TSE(,;)()(,;)G SESEPF SE Company Logov B:B:投资组合包括价格为投
42、资组合包括价格为 的美式看涨期权多头，价的美式看涨期权多头，价格为格为S S的普通股票空头，贷款的普通股票空头，贷款 美元。美元。v 当当 足够小，足够小，成立成立v 由（由（1717）v 这时，可以卖出美式看跌期权，持有投资组合。这时，可以卖出美式看跌期权，持有投资组合。v 当当 时，（时，（1616）不成立。）不成立。v 第二个投资组合分析得：第二个投资组合分析得：（2020）(,;)F SE()EP(,;)()()(,;)1()()F S T ESEP TESF S T EEP TESS(,;)G S T EE S(,;)()(,;)F S T ESEP TG S T E(,;)1()F
43、 SEEP T1()SEP T(,;)(,;)G SEESF SECompany Logov 定理定理1313v 对于某个对于某个 ，如果，如果 的概率为正，则的概率为正，则提前执行提前执行 年美式看跌期权的概率为正，且美式看跌期年美式看跌期权的概率为正，且美式看跌期权的价值将严格大于相应的欧式期权的价值。权的价值将严格大于相应的欧式期权的价值。v 证明：证明：v 假设在假设在 ，对某些，对某些 ，有，有v 则则v 由定理由定理1212，v 由（由（1717）得：）得：v 如果如果v 则则T(,;)1()f S T EEPTTS(,;)(,;)g S T EG S T E(,;)(,;)g S
44、EG SE(,;)(,;)()g S T Ef S T ESEP T(,;)(0,)G S T EMaxES(,;)1()f S T EEP T(,;)(,;)G S T EESg S T ECompany Logo5.5.按照按照Black-ScholesBlack-Scholes方法的理性期权定价方法的理性期权定价v 假设：跨期连续交易，假设：跨期连续交易，CAPMCAPM成立；利率成立；利率r r已知且不变；合约已知且不变；合约有效期内没有股息，执行价格不变。有效期内没有股息，执行价格不变。v 方法：在短期内构造套期保值组合，包括普通股票、期权、方法：在短期内构造套期保值组合，包括普通股
45、票、期权、短期无风险证券。选择投资组合权重消除所有的短期无风险证券。选择投资组合权重消除所有的“市场风市场风险险”，建立均衡条件。，建立均衡条件。v 欧式看涨期权公式：欧式看涨期权公式：v （2121）12211/21/211(,;)()exp()()log(/)(1/2)f SESdErdS ErdddCompany Logov Samuelson-MertonSamuelson-Merton公式：一般均衡公式公式：一般均衡公式v 三个资产和一个投资者三个资产和一个投资者v （2222）v 这里这里 是概率密度函数，按是概率密度函数，按 的分布，的分布，Z Z的期望值等的期望值等于于 。只有
46、在。只有在 为对数正态密度，为对数正态密度，的的分差为分差为 的特殊情况下，方程（的特殊情况下，方程（2222）才和（）才和（2121）相同。）相同。/(,;)exp()()(;)E Sf SErZSE dQ ZdQexp()rdQdQdQ2 Company Logo6.Black-Scholes6.Black-Scholes模型的另一种推导模型的另一种推导v 进一步假设：进一步假设：v（1 1）“无摩擦无摩擦”市场市场v（2 2）股票价格动态）股票价格动态v （2323）v 其中：其中：为普通股票的期望收益；为普通股票的期望收益；为收益的瞬时方差，为收益的瞬时方差，为标准高斯为标准高斯-维纳
47、过程，独立增量过程。并不假设维纳过程，独立增量过程。并不假设 常常参数的独立增量过程。限制参数的独立增量过程。限制 为非随机，至多为非随机，至多v 是时间的已知函数。是时间的已知函数。v（3 3）债券价格动态）债券价格动态 （2424）dSdtdzS2dzdSS()()(;)dPt dtdq tP Company Logov 不假设不同到期日的不假设不同到期日的 完全相关。完全相关。v （24a24a）v 任何资产的收益（未预期到的）之间不存在序列相关任何资产的收益（未预期到的）之间不存在序列相关 v (24b)(24b)v 是非随机变量且与是非随机变量且与P P的水平无关。的水平无关。v 对
48、于利率非随机且不随时间变化的特殊情形：对于利率非随机且不随时间变化的特殊情形：v（4 4）投资者的偏好和期望）投资者的偏好和期望dq(;)(;)Tdq tdq t Tdt,1TT(;)(;)0(;)()0d qsd qt Td qsd ztst(0)1,(0)0P0,()exp()r PrCompany Logov 所有的投资者对所有的投资者对 的看法一致，但不假设的看法一致，但不假设v 对对 的看法一致。的看法一致。v 为期权价格函数，则给定为期权价格函数，则给定S,PS,P的分布，的分布，由伊藤引理：由伊藤引理：v 令令 是是t t的二阶可微非随机变量函数，两个随机过的二阶可微非随机变量函
49、数，两个随机过程程 和和v 这里这里 v 那么那么,dz dq,(,;)H S PE12(,)F x x t1()x t2()x t1212()(,)(,)()jjjjdx tx x t dtx x t dz t22222112122122211221211()()22FFFFFFdFdtdx tdx ttxx xxxx Company Logo（2525）221231112222222221()2()()2()()()dHHdS H dP H dH dSH dSdPHdPdSS dtdPP dtddtdSdPSPdtCompany Logov 将（将（2323）和（）和（2424）代入（）代
50、入（2525）得：）得：（2626）2222111222123121122dHHdtHdzHdqS HSPHP HSHPHHHSHHPHHCompany Logov 用普通股票、期权、无风险债券构造投资组合，使总投资用普通股票、期权、无风险债券构造投资组合，使总投资为为0 0v W W1 1:投资组合中对普通股票投资的货币（瞬时）量投资组合中对普通股票投资的货币（瞬时）量v W W2 2:对期权投资的货币量对期权投资的货币量v W W3 3:对债券投资的货币量对债券投资的货币量v dY:dY:为投资组合的瞬时收益为投资组合的瞬时收益v （2727）1230WWW1231212212()()()
