1、向量基础知识梳理1向量：既有_，又有_的量叫向量2向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作_3向量的有关概念：（1）零向量：长度为_的向量叫做零向量，记作_（2）单位向量：长度为_的向量叫做单位向量（3）相等向量：_且_的向量叫做相等向量（4）平行向量（共线向量）：方向_的_向量叫做平行向量，也叫共线向量记法：向量a平行于b，记作_规定：零向量与_平行1向量的加法法则（1）三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作a，b，则向量_叫做a与b的和（或和向量），记作_，即ab_上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则对于零向量与任一向量a的和有a0_（2）平行
2、四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作a，b，则O、A、B三点不共线，以_，_为邻边作_，则对角线上的向量_ab，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则2向量加法的运算律（1）交换律：ab_（2）结合律：（ab）c_3向量的减法（1）定义：aba（b），即减去一个向量相当于加上这个向量的_（2）作法：在平面内任取一点O，作a，b，则向量ab_如图所示（3）几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为_，被减向量的终点为_的向量例如：_1向量数乘运算实数与向量a的积是一个_，这种运算叫做向量的_，记作_，其长度与方向规定如下：（1）|a|_（2）a （a
3、0）的方向；特别地，当0或a0时，0a_或0_2向量数乘的运算律（1）（a）_（2）（）a_（3）（ab）_特别地，有（）a_；（ab）_3共线向量定理向量a （a0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使_4向量的线性运算向量的_、_、_运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数、1、2，恒有（1a2b）_1平面向量基本定理（1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的_向量a，_实数1，2，使a_（2）基底：把_的向量e1，e2叫做表示这一平面内_向量的一组基底2. 两向量的夹角与垂直（1）夹角：已知两个_a和b，作a，b，则_ （0180），叫做向
4、量a与b的夹角范围：向量a与b的夹角的范围是_当0时，a与b_.当180时，a与b_.（2）垂直：如果a与b的夹角是_，则称a与b垂直，记作_3平面向量的坐标表示（1）向量的正交分解：把一个向量分解为两个_的向量，叫作把向量正交分解（2）向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a_，则_叫作向量a的坐标，_叫作向量的坐标表示（3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A（x，y），则_，若A（x1，y1），B（x2，y2），则_1平面向量的坐标运算（1）若a（x1，y1），b（x2，y2），则ab_
5、，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和（2）若a（x1，y1），b（x2，y2），则ab_，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差（3）若a（x，y），R，则a_，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标2两向量共线的坐标表示设a（x1，y1），b（x2，y2）（1）当ab时，有_（2）当ab且x2y20时，有_即两向量的相应坐标成比例3若，则P与P1、P2三点共线当_时，P位于线段P1P2的内部，特别地1时，P为线段P1P2的中点；当_时，P位于线段P1P2的延长线上；当_时，P位于线段P1P2的反向延长线上1平面向量数量积（1）定义：已知两个非零向量a与b，我
6、们把数量_叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角（2）规定：零向量与任一向量的数量积为_（3）投影：设两个非零向量a、b的夹角为，则向量a在b方向的投影是_，向量b在a方向上的投影是_2数量积的几何意义ab的几何意义是数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积3向量数量积的运算律（1）ab_（交换律）；（2）（a）b_（结合律）；（3）（ab）c_（分配律）1平面向量数量积的坐标表示若a（x1，y1），b（x2，y2），则ab_即两个向量的数量积等于_2两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a（x1，y1），b（x2，y2），则ab_3平面向量的模（1）向量模公式：设a（x1，y1），则|a|_（2）两点间距离公式：若A（x1，y1），B（x2，y2），则|_4向量的夹角公式设两非零向量a（x1，y1），b（x2，y2），a与b的夹角为，则cos _向量方法在几何中的应用（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的等价条件：ab（b0）_（2）证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，ab_（3）求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos _（4）求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|_
