1、第五节第五节 经济学中的常用函数经济学中的常用函数一、需求函数一、需求函数 如果价格是决定需求量的最主要因素，如果价格是决定需求量的最主要因素，可以认为可以认为 Q 是是 P的函数。记作的函数。记作)(PfQ 则则 f 称为称为需求函数需求函数.需需求求的的含含义义：消消费费者者在在某某一一特特定定的的时时期期内内，在在一一定定的的价价格格条条件件下下对对某某种种商商品品具具有有购购买买力力的的需需要要 ,bPaQ 线线性性需需求求函函数数：常见的需求函数：常见的需求函数：2cPbPaQ 二二次次曲曲线线需需求求函函数数：bpAeQ 指指数数需需求求函函数数：(其中其中 a,b,c,Aa,b,
2、c,A 0)0,ba幂函数：幂函数：0,0,kAkPQA其中例例 1设某商品的需求函数为设某商品的需求函数为 )0,(babaPQ.00时的价格时的价格时的需求量和时的需求量和讨论讨论 QP解解,0bQP 时时它表示价格为零时的它表示价格为零时的需求量为需求量为 b，称为称为饱和需求量饱和需求量；,0abPQ 时时它表示价格为它表示价格为,时时ab无人愿意购买此商品无人愿意购买此商品.二、供给函数二、供给函数 如果价格是决定供给量的最主要因素，如果价格是决定供给量的最主要因素，可以认为可以认为 Q 是是 P 的函数。记作的函数。记作)(PGQ 则则 G称为称为供给函数供给函数.供给的含义：供给
3、的含义：在某一时间内，在一定的价格条件在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品下，生产者愿意并且能够售出的商品 一般地，供给函数可以用以下简单一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替：函数近似代替：线性函数：线性函数：0,babaPQ其中幂函数：幂函数：指数函数：指数函数：0,0,kAkPQA其中0,0,bAaeQbP其中 在同一个坐标系中作出需求曲线在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供和供给曲线给曲线 S，两条曲线的交点称为供需平衡点，两条曲线的交点称为供需平衡点，该点的横坐标称为供需平衡价格该点的横坐标称为供需平衡价格.E0P0Q供需平衡点供需平衡点供需平供需平衡价
4、格衡价格三、生产函数三、生产函数 生产函数刻画了一定时期内各生产生产函数刻画了一定时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系间的关系.一般说来，生产要素包括资金一般说来，生产要素包括资金和劳动力等多种要素和劳动力等多种要素.为方便起见，我为方便起见，我们暂时先考虑只有一个投入变量，而其们暂时先考虑只有一个投入变量，而其他投入皆为常量的情况他投入皆为常量的情况.例例 2)(22)2()()(xgcxxgcxxgxgxaaaa 由由于于间间的的函函数数关关系系为为与与产产出出设设投投入入时，时，可见，当可见，当1 a规模报酬规模报酬不变；不变；时，时，
5、当当1 a 如果投入增加一倍，产出增如果投入增加一倍，产出增加不到一倍，即加不到一倍，即规模报酬规模报酬递减；递减；时，时，当当1 a 如果投入增加一倍，产出增如果投入增加一倍，产出增加不止一倍，即加不止一倍，即规模报酬规模报酬递增递增.四、成本函数四、成本函数 成本是生产一定数量产品所需要的成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的价格或费用总额，各种生产要素投入的价格或费用总额，它由固定成本与可变成本两部分组成它由固定成本与可变成本两部分组成.可可变变固固总总CCC 支付固定生产支付固定生产要素的费用要素的费用支付可变生产支付可变生产要素的费用要素的费用产产量量可可变变成成本本固固定
6、定成成本本产产量量总总成成本本平平均均成成本本 QQCQCQQCACC)()(21 即即例例 3 3 已已知知某某种种产产品品的的总总成成本本函函数数为为 求求当当生生产产 100 个个该该产产品品时时的的总总成成本本和和平平均均成成本本.81000)(2QQC 解解由题意，求产量为由题意，求产量为100时的总成本时的总成本,225081001000)100(2 C5.221002250)100(AC平平均均成成本本为为五、收益函数五、收益函数 总收益是生产者出售一定数量产品所得到总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入的全部收入.用用 Q 表示出售的产品数量表示出售的产品数量，R 表表
7、示总收益示总收益,表示平均收益，则表示平均收益，则RQQRRQRR)(,)(如果产品价格如果产品价格 P 保持不变，则保持不变，则PRPQQR ,)(例例 4 4 设设某某商商品品的的需需求求关关系系是是 3Q+4P=100,求求总总收收益益和和平平均均收收益益 解解,43100QP 价价格格函函数数为为,43100)(2QQQPQR 所所以以总总收收益益为为1003()().4QAP QP Q 平均收益为平均收益为六、利润函数六、利润函数 利润是生产中获得的总收益与投入的总成利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差。即本之差。即)()()(QCQRQL 例例 5 5 设某种商品的总成本为设
8、某种商品的总成本为 若每售出一件该商品的收入是若每售出一件该商品的收入是 20 万元，求生产万元，求生产 10件的总利润件的总利润 解解,20（万万元元）由由题题意意知知 P).(110)105.0101820()10(2万万元元 LQQPQR20)(总总收收益益为为,5.0220)(2QQQC )()()(QCQRQL 所所以以)5.0220(202QQQ 25.01820QQ 七、库存函数七、库存函数 设某企业在计划期设某企业在计划期 T 内，对某种物品总需求内，对某种物品总需求量为量为 Q，由于库存费用及资金占用等因素，显然，由于库存费用及资金占用等因素，显然一次进货是不划算的，考虑均匀
9、的分一次进货是不划算的，考虑均匀的分 n 次进货，次进货，每次进货批量为每次进货批量为 ，进货周期为，进货周期为 .假定假定每件物品的贮存单位时间费用为每件物品的贮存单位时间费用为 ，每次进货费，每次进货费用为用为 ，每次进货量相同，进货间隔时间不变，每次进货量相同，进货间隔时间不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为以匀速消耗贮存物品，则平均库存为 ，nQq nTt 1C2C2q在时间在时间 T 内的总费用内的总费用 E 为为qQCTqCE2121 .2121为进货费用为进货费用为贮存费，为贮存费，其中其中qQCTqC八、戈珀兹八、戈珀兹(Gompertz)曲线曲线戈珀兹戈珀兹 曲线是指数函数
10、曲线是指数函数tbkay 在经济预测中，经常使用该曲线在经济预测中，经常使用该曲线.初始期 发展期饱和期k.100lg时，图形如上页所示时，图形如上页所示，当当 ba且无限增大时，且无限增大时，曲线当，曲线当由图可见由图可见0 t，接近接近其无限与直线其无限与直线ky 且始终位于该直且始终位于该直线线 下方下方.在产品销售预测中，当预测销售量充在产品销售预测中，当预测销售量充分接近到分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中将值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱和达到市场饱和.1 1.设需求函数由设需求函数由 P+Q=1P+Q=1 给出，（给出，（1 1）求总收益）求总收益函数函数 P;(
11、2)P;(2)若售出若售出 1/31/3 单位，求其总收益。单位，求其总收益。2 2.某工厂对棉花的需求函数由某工厂对棉花的需求函数由4.1PQ=0.11=0.11 给给出出,（1 1）求其总收益函数）求其总收益函数 R;R;（2 2）P(12),R(10),R(12),R(15),P(15),P(20)P(12),R(10),R(12),R(15),P(15),P(20)。3 3.若工厂生产某种商品，固定成本若工厂生产某种商品，固定成本 200,000200,000元，每生产一单位产品，成本增加元，每生产一单位产品，成本增加 10001000 元，元，求总成本函数。求总成本函数。练习题4 4
12、.某厂生产一批元器件，设计能力为日产某厂生产一批元器件，设计能力为日产 100100件，每日的固定成本为件，每日的固定成本为 150150 元，每件的平均可变元，每件的平均可变成本为成本为 1010 元元,(1),(1)试求该厂此元器件的日总成本试求该厂此元器件的日总成本函数及平均成本函数函数及平均成本函数;（2 2）若每件售价）若每件售价 1414 元，元，试写出总收入函数试写出总收入函数;（3 3）试写出利润函数。）试写出利润函数。5.某产品之需求函数为某产品之需求函数为dQ=20-3P,供给函数为供给函数为 sQ=5P-1,求该商品的静态均衡价格。求该商品的静态均衡价格。;1000200000)(.3;037.0)15(,041.0)12(,044.0)10(,0017.0)20(,0034.0)12(,0025.0)15(,11.0.2;92)21(,.14.02QQCCRRRPPPQRRQQR 练习题答案；元元）（元元元元)1000)(4150)()3(;1000)(14)()2();1000(10150)();1000)(10150)()1.(4 XXXLXXXRXXXCXXXC;821.6800,200230600250800600),600)(20250(6002506000,250.5 ePxxxxxR
