1、如何开展数学课外活动一、开展数学课外活动的意义和作用 数学教育的目标主要表现为使学生掌握知识和提高能力两方面。但是，要想高质量地实现教育目标，仅靠通常为完成教学进度而设置的课堂教学是不够的。这是因为传统的课堂教学本身有局限性： (1)为在确定的时间内完成教学计划，传统的课堂教学内容常常安排得过满，不利于充分发挥教与学双方的积极性和主动性。 (2)传统教材虽然经过了反复推敲，形成了比较完整的理论体系，有利于实施循序渐进的完整的教学过程，但是传统教材不大容易改动，不能经常反映出数学的新思想、新进展，因而限制了学生思维水准的发展。 (3)任何一个地区，任何一个教学班，对数学的学习兴趣、学习能力、学习
2、效果，学生之间存在着明显的差异。而传统的课堂教学必须面对大多数学生的实际水准，结果会有部分学生“吃不饱”，如果不注意对这部分学有余力的学生的培养，很可能挫伤他们求知的积极性，甚至可能埋没人材。 (4)现阶段，传统的课堂教学还没能从根本上摆脱高考“指挥棒”的控制，因此从一定意义上来说，传统的课堂教学教给学生的是如何应付考试，这是与全面实现数学教育的目标背道而驰的。 (5)长期以来，不少中学数学教师习惯于教授传统的内容，适应传统的课堂教学环境，教学方式也是几十年一贯制，缺少创新精神，缺少时代气息。这样，当然很难培养出具有创造力的优秀学生。 为弥补传统的课堂教学的上述局限性，在有条件的学校，应提倡积
3、极开展数学课外活动。 实践表明：教学基础越好、教学质量越高的学校，一般说来，那里的数学课外活动开展得也好，反过来，生动而又丰富的数学课外活动又促进了传统课堂教学质量的提高，这项活动有助于形成教学相长的局面。 应当看到，传统的课堂教学正在不断改革，从教材、教法到质量评估等各方面正时刻向旧有的传统、保守思想挑战。因此在实现数学教育总目标的过程中，课堂教学总是“主渠道”，而课外教学则起辅助作用。但是也应当看到，随着教育制度特别是高考制度的不断改革，随着数学课外活动的广泛开展，数学课外活动在培养人材上所起的作用将越来越大。 数学课外活动，应当充分调动学生的积极性，激发他们的求知欲和创造性。从教学对象、
4、教材教法上要与正规的课堂教学有明显区别，决不能成为变相的加课时，也不能成为“补课”活动。因此，对数学教师的要求更高了，他们不仅要能胜任课堂教学，而且要能独立地、有创造力地开展形形色色的数学课外活动，1988年国家教委颁布的中学教师职称评定标准及说明意见中明确把“独立开展数学课外活动，并取得显著成绩”作为申报高级职称的必要条件。由此也可以看出，指导学生开展数学课外活动是中学数学教师的重要职责。二、数学课外活动的形式和内容 中学数学课外活动主要有三个形式：开展课外数学选修课，建立课外数学兴趣小组，创办学生的数学刊物、数学园地。 (1)数学选修课的主要活动方式和内容是：教师系统地讲授中学课本之外的某
5、一个数学分支和某一个专题，以开阔学生眼界，也可以介绍数学新进展，介绍新学科及新的数学思想。例如，高一结合函数教学可开设函数方程初步；结合集合基本知识的教学可开设逻辑学和初等集合论；结合立体几何可开设拓扑学初步等。高二可结合数列知识开设循环数列课，可介绍母函数的研究方法以及常微分方程与线性递推关系；结合解析几何课可开设三维解析几何学，开设向量理论等；结合方程组可开设矩阵论初步及线性代数等；还可在适当时机开设微积分课。选修课的参加人数可适当多些，除去在学习中确有困难、急需补课或个别辅导的学生外，都可报名参加选修课。选修课的主讲教师应当熟悉该选修课的知识，应当有系统的教案。一门选修课的学时应不少于2
6、0学时，在选修课期间以及结束阶段，要对学生进行选修课业务考试。合格者发给选修课(单科)结业证书。 (2)数学课外兴趣小组应由较少学生组成，他们一般应对数学有较浓厚兴趣，并且其他各门功课都要比较好。这个小组的成员应由自己报名与数学教师推荐相结合。 课外兴趣小组的活动方式和内容主要有：听专题报告(学术报告)会、访问著名数学家或著名数学研究机构(或大学)、开展数学竞赛、撰写数学小论文以及开展内部小型的学术研讨会等。小组成员在各级数学竞赛中取得较好成绩，要及时予以鼓励。小组成员完成了一篇较好的数学论文，应推荐给有关适于中学生的数学刊物。 (3)创办学生的数学刊物，包括班内的数学墙报，“数学之角”，“数
7、学信箱”等，刊物的编辑、作者全由学生担任。学生自己创办的数学刊物应当坚持长期性和延续性，要充分表现学生们的“研究成果”。为吸引更多同学，可设立“点将台”、“有奖征解”等。为确保一个班的数学刊物的质量，为保证其长期性和延续性，最好组成以班内的学习委员、数学课代表及数学拔尖学生为核心的编写队伍。如果条件较好，还可采取“轮流坐庄”的方式。班内数学墙报的内容除了部分地在公开发行的数学书刊中摘录之外，还应有相当部分针对性很强，并且直接来自同学自己的文章。例如：“谈谈记笔记”，“如何解决计算中容易出错的问题”，“我是怎样掌握概念的”，“第章数学课学习札记”，“读(数学课外书)的体会”等。数学教师充当班内数
8、学园地的参谋或顾问。帮助同学出主意，想办法，给他们介绍好的资料，推荐好的参考书。 应当指出，开办数学课外选修课，建立数学课外兴趣小组，创办学生的数学刊物这三种课外活动形式，教师所处的位置是不同的。选修课，以教师讲述为主；兴趣小组，以教师激发学生，引导学生为主；创办学生的数学刊物，教师则主要是处于幕后策划的地位。 这三种活动方式的参加人员也不同。选修课的参加者以数学学习的中上等学生为主，人数可多些。数学兴趣小组则以在数学学习中有兴趣、有特长的少数拔尖学为主。在有条件的地区，教师还应当帮助他们利用课余时间到省、市级的数学集训队或数学奥林匹克学校中学习，形成校内外的交叉培训过程。学生自己创办的数学刊
9、物的主要负责人应当是工作热心，有负责精神，而且数学成绩较好的学生。 还应指出，为减轻学生负担，数学课外活动的密度不宜过大，每次活动要讲求质量，要贯彻少而精的原则。一般说来，每周进行一次活动，每次活动一至两个小时为宜。每个学生，一般不要参加两种或两种以上的课外活动。三、开展数学课外活动应注意的问题 (1)开展活动的指导思想是激发学生的求知欲，帮助他们读书、整理资料、做学问，从长远的观点看，这是改善学生的思维品质，提高学生的治学能力的根本大事。因此，必须以学生为主体。 (2)各种活动都应有长计划、短安排、要讲求实效，要有知识性、趣味性，要适合青少年心理上或知识水平上的实际情况。还要注意尽量与当前学
10、生的数学课内的教学内容有一定联系。 (3)对参加各种课外活动的学生要逐一审查他们是否具备参加该项课外活动的条件。对于那些赶时髦，图热闹，但学习比较吃力的学生，则要以适当方式劝阻他们不参加课外活动，以保证他们的课内学习能达到基本要求，这就是说，对参加不参加课外活动的每个学生都要负责任。 (4)除对学生进行数学培训外，还要注意参加课外活动的学生其他各方面的成长。有少数数学尖子，有一种优越感。他们有时组织纪律性不强，还有的人可能会出现偏科现象。要针对这些情况多做思想教育工作，防止他们的骄傲情绪，克服他们的自由主义，鼓励他们多参加班集体活动，促进他们全面发展。 (5)课外兴趣小组活动或选修课的内容应充
11、实，有系统性，便于学生掌握，同时便于教师检查学习质量；还要有一定的针对数学竞赛的专项训练内容，不应当简单地把中学课本中以后将学的内容提前来讲，也不要讲成高等数学课。要在中学生的实际知识基础和实际接受能力的基础上，以提高能力这个总目标作为选材的依据。附 录 下面是1990年北大附中推荐去北京市参评的学生数学小论文的题目及要点。其中张昱的论文一个数学难题的物理模型证法获北京市论文一等奖，王哲的利用小型计算机计算无理数的改进程序设计获二等奖。 (1)一个数学难题的物理模型证法(张昱) 该文成功地用物理模型的方法，借助电学定律解决了一个著名的数学难题，并对原题结论做了推广。这个问题是：在一个无限大的方
12、格表中，每格内填入一个区间0，1上的实数，使得每格所填的数都恰好是该格四周邻格内四个数的算术平均值，求证各格内所填之数相等。 张昱不仅证明了这个题目，并且推广如下： 二元数组aij 0 (i,jz), a0,0 = 1,且对任何i,jz,有 aij =1/4(ai+1,f+aj,j+1+ai-1,f+ai,f-1)，那么ai,f与1应当任意接近。 (2)利用小型计算机计算无理数的改进程序设计(王哲) 该文利用自己设计的算式 = 16arctg(1/5) - 4arctg(1/239)，使计算的速度得以提高，作者选用的c语言，并在小型计算机vax-8550上通过了程序。只用4分30秒的cpu时间
13、，成功地印出了的小数点后1000位的精确值。后来，又改进了程序，使完成同样任务只用8秒钟。 (3)空间n边形的边中，互相垂直的边有多少对?(施前) 这是组合几何中尚未得到的研究成果。设m表示互相垂直的边对的数目。n,kn,n为空间多边形的边数。论文得出了 n=3时，m=1； n=4时，m=4； n=5时，m=7； n=3k(k2,kn)时，m=3k2； n=3k+1(k2,kn)时，m=k(3k+2)； n=3k+2(k2,kn)时，m=3k2+4k+1 (4)多项式最高公因式的新算法(夏煜) 本文对辗转相除法进行了推广，使之易于编程序。作者首选定义了“多项式数阵”的概念，并且规定了对多项式数
14、阵的五种运算；提出了两个对“标准数阵”的变形定理，进而将某些多项式提出了只用六步规范程序，便可求出其最高公因式的方法。 (5)桥牌中的概率问题(朱志明) 一手牌(13张)都是同花色的概率容易计算。但是一手牌最大可能的结果是什么形式?这一个问题连最优秀的桥牌选手都未必能回答出。另一个问题是：如果知道了两个人手中某一指定的花色的牌的数目，如何推算出其余牌在对方的两个人手中的分布?再一个问题是：如果知道了自己手中某花色的牌数，如何推算出自己同伴手中该花色最大可能的数目。本文给出了上述问题的准确回答。 (6)抛物线内隐含图形的探讨(孙伟栋) 给定的抛物线，当旋转坐标轴时，抛物线中的某些基本线段(如过焦
15、点的正焦弦)会形成“隐图形”、该文运用微积分知识，结合解析几何的方法得出了类似星形线的隐含图形，指出了该“隐图形”的较一般的规律。 (7)三角形中边不等式证明方法的改进(王志宏) 本文以熟知的结论：“a+bc,b+ca,c+ab”为基础，通过拼、接、组合，推出了许多三角形边的不等式，成功地解决了某些数学竞赛中的问题。是几何不等式中的一个贡献。 仅通过这七篇论文，可以看出北大附中的课外兴趣小组的活动内容广泛，学生的思路开阔，且有一定创见。正是在这种兴趣小组中，涌现出了不少在竞赛中的胜利者。这些学生一级又一级从北大附中毕业了。在各高等院校或者在国外的大学中，也都是成绩优秀的学生。 应该说明，数学课外活动、数学兴趣小组不仅仅是为了参加竞赛。像北大附中这样的中学，在全国毕竟为数不多，虽然所取得的成绩说明课外活动对提高数学教学质量、培养优秀人才是有重要作用的，但就全国的数学教育而言，还是应该把打好基础、大面积提高数学教学水平放在重要地位，数学课外活动应该着重为这一目标而开展。 同时，应该明确，开展数学课外活动也要作长期打算。面对当前的新问题、新内容，配合课内基础知识教学和能力培养，应当取得教育行政与社会各界的支持，采取有效措施，积极探索、实践、研究、总结数学课外活动，把全国的数学教育水平进一步提高。
