1、高二 5 月联考 数学 第1页（共4页）2023 年广西三新联盟高二年级 5 月联考 数 学（考试时间：120 分钟 总分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1已知集合1,01,2A=，12,NBxxx=的最小正周期为 T若2
2、23T，则不等式2202320234(2)0()()xxff+的焦点与双曲线 C 的一个焦点重合，点 P 是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（）A4p=B12FPF的周长为16 C12FPF的面积为2 6 D126cos7FPF=高二5月联考 数学 第3页（共4页）12牛顿在流数法一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法牛顿法具体做法如下：如图，设 r 是()0f x=的根，首先选取0 x作为 r 的初始近似值，在0 xx=处作()f x图象的切线，切线与 x 轴的交点横坐标记作1x，称1x是 r 的一次近似值，然后用1x替代0 x重复上面的过程可得2x，称2x是 r 的二次近似值；
3、一直继续下去，可得到一系列的数0 x，1x，2x，nx，在一定精确度下，用四舍五入法取值，当1nx，()*nxnN近似值相等时，该值即作为函数()f x的一个零点 r，若使用牛顿法求方程23x=的近似解，可构造函数2()3f xx=，则下列说法正确的是（）A若初始近似值为1，则一次近似值为3 B()()()()()()()()0312400123f xf xf xf xxxfxfxfxfx=C对任意*nN，1nnxx+，过右焦点()1,0的直线交椭圆于,A B，若原点 O 在以AB为直径的圆上，则a的取值范围为_ 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（
4、本小题满分10分）已知数列na的前 n 项和为nS，11a=，给出以下三个条件：22nnaa+=；na是等差数列；222nnaan+=+（1）从三个条件中选取两个，证明另外一个成立；（2）利用（1）中的条件，求数列12nna a+的前 n 项和nT 18（本 小 题 满 分12分）在ABC中，内 角,A B C的 对 边 分别 为 a，b，c，且3 sin()coscosbCacBbA=+（1）求角B的大小；（2）若3AC=，D是边AC上的一点，且2CDAD=，求线段BD的最大值高二5月联考 数学 第4页（共4页）19（本 小 题 满 分12分）在 棱 长 为2的 正 方 体1111ABCDA
5、BC D中，点 P 满 足1APACAA=+，其中0,1，0,1。（1）当1=时，求三棱锥1BDD P的体积；（2）当2221+=时，直线BP与平面11ACC A 所成角的正切值的取值范围；（3）当1+=时，是否存在唯一个点P，使得BP 平面ADP，若存在，求出P点的位置；若不存在，请说明理由。20（本小题满分12分）某中学羽毛球社团为了了解本校学生对羽毛球运动是否有兴趣，从该校学生中随机抽取了300人进行调查，男女人数之比是21，其中女生对羽毛球运动有兴趣的占80%，而男生有30人表示对羽毛球运动没有兴趣（1）完成22列联表，根据小概率值0.1=的独立性检验，能否认为“对羽毛球运动是否有兴趣
6、与性别有关”？有兴趣 没兴趣合计 男 女 合计（2）为了提高同学们对羽毛球运动的参与度，该校举行一次羽毛球比赛比赛分两个阶段进行，第一阶段的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分排名选出进入第二阶段比赛的同学，每场积分规则如下：比赛中以20取胜的同学积3分，负的同学积0分；以21取胜的同学积2分，负的同学积1分已知甲同学每局取胜的概率为35p=，记甲同学所得积分为 X，求 X 的分布列和期望 附表：()()()()()22n adbcabcdacbd=+，其中nabcd=+a 0.500.400.250.1500.1000.050 xa 0.4550.7801.3232.0
7、722.7063.841 21（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10 xyCabab+=的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆 C 经过点2 32,3（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 O 为坐标原点，过右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点求使OAB面积最大时直线 l 的方程 22（本小题满分12分）已知()exf xax=（e为自然对数的底数）（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个不同零点12,x x，求证：122xx+2023 年广西三新联盟 5 月高二联考 数学试题参考答案 1.B【解析】:由题设1B=，所以1,0,1,2AB=，故其中元素共
8、有 4 个.故选：B 2.D【解析】:z的虚部为15，A错误；25iz=，则25iz+=，B错误；215z zz=，C错误；25345izi+=+，D 正确。3.C【解析】:()1,1a=，2a=，22242229aabba bba+=+=+=，32a b=。故选：C.4.B【解析】:解法 1：过P作底面垂线，垂足为H，设内切圆与面PAD的切点为E，2,1PHMH=，则3PM=，OEOHr=，则POPMOEMH=，231rr=，则622r=，其内切圆表面积为24(84 3)r=。解法 2：1133P ABCDABCDVSPHSr=表面积，则622r=，其内切圆表面积为24(84 3)r=,故选
9、B。5.A【解析】:设取到男性为事件B，抽到摄影社团为事件1A，抽到天文社为事件2A，则()()()()1212P BP ABA BP ABP A B=+=+，所以()()()()()1122P BP A P B AP AP B A=+，故()1514132 122624P B=+=.故选：A.6.B【解析】:由函数的最小正周期 T 满足223T，得2223，解得13，又因为函数图象关于点,12对称，所以,262kkZ=+，且1b=，所以42,3k kZ=+，所以43=，4()cos136f xx=+，所以33cos1832f=+=.故选：B 7.D【解析】:由()()()20,0fxxfxx
10、+，得()()2 20 xf xx fx+，即()20 x f x，令()()2g xx fx=，则当0 x 时，得()0gx，即()g x在(,0)上是减函数，()()()2202320232023fg xxx+=+，()()242gf=，即不等式等价为()()202320g xg+，()()20232g xg+，得20232x+，即2025x，又20230 x+，解得2023x，故 20252023x.8.B解答：在正四面体ABCD中，若边长为a，O为正四面体外接球球心也是正四面体的中心，则33BHa=，63AHa=，612OHa=。将顶点处的四个球心连线得到边长为 48的正四面体，中心O
11、到三球心连线的底面距离为4 6，则中心到外接正四面体的距离为4 6+12，则外接正四面体容器边长为124 6+12=48+24 66（），故选 B。9.ABC【解析】:易证面1/ABD面11BDC，111ACB DC面，111ABDB DC面与面将体对角线1AC三等分，A、B、C 选项正确，异面直线BD与1CB的夹角为3，D 错误。10.ACD【解析】:1()2xfxe=，当 x0 时，f(x)0，故 A 正确；令 f(x)=0，解得 x=-ln2，当 x-ln2 时，f(x)-ln2 时，f(x)0，故()f x无极大值点，()f x有极小值点0ln2x=，又122ee，所以11ln22 ，
12、故 B 错误，C 正确；当 x-ln2 时，f(x)单调递增，故min11()(ln2)ln2022f xf=+，D 正确 11.AB【解析】:由已知，双曲线右焦点()22,0F，即4p=，故 A 项正确.且抛物线方程为28yx=.对于 B 项，联立双曲线与抛物线的方程222138yxyx=，整理可得，23830 xx=，解得3x=或13x（舍去负值），所以3x=，代入28yx=可得，2 6y=.设()3,2 6P，又()12,0F，所以()()2212302 67PF=+=，2725PF=，124FF=，则12FPF的周长为16，故 B 项正确；对于 C 项，易知1222112 64 2 6
13、4 622F PFSF F=，故 C 项错误；对于 D 项，由余弦定理可得，22212121212cos2PFPFFFF FPPPFF+=2227542962 7 5357+=，故 D 项错误.12.BD【解析】:设2()3f xx=，()f x的零点就是23x=的解，()2fxx=，当01x=时，0()2f x=，切线为22(1)yx+=，切线与 x 轴交点横坐标为12x=，A 错误；()(,()nnf xxf x在处的切线为()()()nnnyf xfxxx=，所以切线与 x 轴交点横坐标为1()()nnnnf xxxfx+=，所以()()0100f xxxfx=，()()1211f xx
14、xfx=，()()2322fxxxfx=，()()3433fxxxfx=，()()()()()()()()0123400123fxfxfxfxxxfxfxfxfx=，B 正确；若01x=，12x=，由 B 得21(2)72(2)4fxxf=，C 错误；12()31322)2(nnnnnnnnnf xxxxfxxxxx+=+，D 正确13.90【解析】:5(3)x的展开式的通项公式为()515C3rrrrTx+=，令53r=得2r=，故()223335C390Txx=，故5(3)x+的二项展开式中2x项的系数为 90.14.16【解析】:圆1C圆心为(0,0)，半径为 1，圆()()222:34
15、Cxym+=，圆心为(3,4)，且0m，半径为m，所以圆心距22345d=+=，因为两圆外切，所以15m+=,所以16m=.15.a4【解析】:2()31fxxax=+，等价于()0fx 在1,3有解，即2310 xax+在1,3有解，即13axx+在1,3有解，所以min1(3)4axx+=16.151,2+【解析】:已知椭圆 C：22221(0)xyabab+=，则其右焦点坐标为()1,0，则221ba=，且1a，过右焦点的直线交椭圆于,A B，满足原点 O 在以AB为直径的圆上，所以0OA OB=，则设直线AB方程为1xny=+，()()1122,A x yB xy则2222111xya
16、axny+=+，所以()()()222222212110naayn aya+=，显然0 恒成立，所以()()()()212222221222221111n ayynaaay ynaa+=+=+，则()()()()21212121212121111OA OBx xy ynynyy yny yn yy=+=+=+()()()()()222222222212111011an annnaanaa=+=+整理得()()()22222111aaaanaa+=，所以()()()22221101aaaaaa+，又1a，所以2101aaa，解得1512+a.17.【详解】:（1）将作为条件，作为结论；设等差数列
17、 na的公差为d，则由 22nnaa+=得，22d=，解得 1d=，2 分 因为 11a=，所以等差数列 na的通项公式为 nan=.4 分 所以，所以222+=+nnaan成立；6 分 将作为条件，作为结论；联立 22222nnnnaaaan+=+=+解得 nan=，2 分 所以 11nan+=+，所以111(nnaann+=+=常数)，4 分 所以数列 na是以首项为 1，公差为 1 的等差数列.所以成立；6 分 将作为条件，作为结论；设等差数列na的公差为d，则()11nand=+，22nan+=+()211nand+=+2 分 由222+=+nnaan，得 222n2nd+=+，解得
18、1d=，4 分 所以等差数列na的通项公式为,nan=22nan+=+所以 222nnaann+=+=，即得 22nnaa+=，所以成立；6 分（2）由（1）知，nan=，11nan+=+7 分 所以()12112211nnaan nnn+=+，8 分 因为数列 12nnaa+的前 n 项和为 nT,所以 1111122 122311nnTnnn=+=+10 分 18.【详解】:（1）因为coscoscbAaB=+，则3 sincosbCcBc=+，1 分 由正弦定理得3sin sinsin cossinBCCBC=+，2 分 又()0,C，所以sin0C，所以3sincos1BB=+，即3s
19、incos1BB=，1sin62B=，3 分 又()0,B，所以 5,666B，所以66B=，所以3B=；4 分（2）在ABC中，由正弦定理得32 3sinsinsin3ABACCABC=，5 分 所以2 3sin2 3sin3ABCA=+.6 分 因为2CDAD=，所以2,1ADCD=，在ABD中，由余弦定理得2222cosBDABADAB ADA=+22 3sin42 2 2 3sincos33AAA=+7 分 1 cos21331248 3sincoscos222AAAA+=+13131 cos2106cos2sin28 3sin222422AAAA+=+8 分 43sin23cos24
20、2 3sin(2)3AAA=+=+，10 分 所以()2max42 3BD=+，当且仅当sin(2)13A=，即512A=时，等号成立，11 分 所以max42 313BD=+=+，即线段BD的最大值为13+.12 分 19.【解析】：（1）当1=时，1AAACAP+=，1AACP=此时1CCP线段，1 分 PDDDDCCBPDDBSdV111131=到平面，2 分 11/DDCC,P点到线段1DD距离为定值 2，又因为点B到平面DDCC11的距离为定值 2，所以其体积为定值43。3 分（2）当1222=+时，()22221844APACAA=+=+=，即点P的轨迹为以A为圆心，2 为半径的4
21、1圆弧上，4 分 因为ACBE，1AABE，AAAAC=1,所以BE平面11AACC，直线BP与平面11AACC所成角为BPE，5 分 PEBEBPE=tan，2=BE，622PE，6 分12tan33+BPE。7 分（3）如图建立空间直角坐标系如图，()0,0,2A，()0,2,2B，()0,2,0C，()2,0,21A，()2,2,01C，8 分 当1=+时，PAC，1三点共线，即点P线段CA1，9 分设()aaaP2,2，由BP平面ADP得，DPBP，APBP，10 分()aaaBP=2,2,，()aaaDP=2,2，()aaaAP=2,，()()()02222=+=aaaaaDPBP，
22、解得232或=a，11 分 分别代入检验0=APBP，无解。故不存在P点满足题意。12 分20(1)列联表见解析，不能；(2)分布列见解析，231125【详解】（1）2 分 零假设0H对羽毛球运动感兴趣与性别无关.()220.1300170 2080 301.22.706200 100 250 50 x=，4 分 故根据小概率值0.1=的独立性检验，假设成立，我们认为“对羽毛球运动是否有兴趣与性别无关”.5 分（2）由题意可知随机变量 X 的取值为 0，1，2，3，6 分()22405525P X=；()121233241C155125P X=；()21233362C155125P X=；()
23、2393525P X=；10 分 故 X 的分布列为：X 0 1 2 3 P 425241253612592511 分 有兴趣 没兴趣 合计 男 170 30 200 女 80 20 100 合计 250 50 300()42436923101232512512525125E X=+=.12 分 21.解析：（1）因为长轴长是短轴长的3倍，则223ab，1 分 所以椭圆 C 的方程为222213xybb+=，2 分 把点2 32,3的坐标代入上式，得2224133bb+=，可得22b=，3 分 所以26a=，故椭圆 C 的方程为22162xy+=.4 分（2）易知右焦点 F 的坐标为()2,0
24、，若直线 l 的斜率为 0，则 O，A，B 三点不能构成三角形，所以直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为2xmy=+，5 分 联立方程组222162xmyxy=+=，消去 x，得()223420mymy+=，6 分 方程()223420mymy+=的判别式()()22216832410mmm=+=+，设()11,A x y，()22,B xy，则12243myym+=+，12223y ym=+，7 分()212121212142AOBSOFyyyyyyy y=+8 分 22222422 614333mmmmm+=+=+.9 分 令()211mt t+=，则22 62 62 63222
25、 2ABtSttt=+O，10 分 当且仅当2t=时，等号成立，即212m+=，解得1m=，11 分 所以此时直线 l 的方程为20 xy=或20 xy+=.12 分 22.【解析】（1）()e1xfxa=，1 分 当0a 时，()0fx，()fx在 R 上是减函数；2 分 当 a0 时，令()0fx=，得1lnxa=，()fx在1(,ln)a上是减函数，在1(ln,)a+上是增函数；4 分 综上所述，当0a 时，()0fx，()fx在 R 上是减函数；当 a0 时，()fx递减区间为1(,ln)a，单调递增区间为1(ln,)a+（2）()exf xax=有两个不同零点1x，2x，则11exx
26、a=，22exxa=，故()1212eexxxxa=，即1212eexxxxa=，5 分 要证122xx+，只要证明()12ee2xxa+，即证()121212eee2exxxxxx+，6 分 不妨设12xx，记12txx=，则0t，e1t，因此只要证明e12e1ttt+，即()2 e20ttt+，7 分 记()(2)e2tm ttt=+，则()()1 e1tm tt=+，8 分令()()()1 e10tttt=+，则()e0ttt=，所以函数()()1 e1ttt=+在()0,+上递增，9 分 则()()00t=，即()()00m tm=，()m t在()0,+上单调递增，11 分()()00m tm=，即()2 e20ttt+成立，122xx+.12 分
