1、数字图像处理数字图像处理第第4 4章章 图像增强（图像增强（2）信息科学研究所信息科学研究所阮秋琦教授阮秋琦教授3.1.1 3.1.1 直方图直方图 3.1.2 3.1.2 直方图修改技术的基础直方图修改技术的基础 3.1.3 3.1.3 直方图均衡化处理直方图均衡化处理 3.1.4 3.1.4 直方图规定化处理直方图规定化处理 3.1.5 3.1.5 图像对比度处理图像对比度处理 直方图均衡化处理方法是行之有效的增强方直方图均衡化处理方法是行之有效的增强方法之一，但是由于它的变换函数采用的是累积分法之一，但是由于它的变换函数采用的是累积分布函数，它只能产生近似均匀的直方图这样一种布函数，它只
2、能产生近似均匀的直方图这样一种结果。这样就必须会限制它的效能。结果。这样就必须会限制它的效能。有时需要具有特定的直方图的图像，以便能够对图有时需要具有特定的直方图的图像，以便能够对图像中的某些灰度级加以增强。直方图规定化方法就像中的某些灰度级加以增强。直方图规定化方法就是针对上述思想提出来的一种直方图修正增强方法。是针对上述思想提出来的一种直方图修正增强方法。下面讨论直方图规定化的基本思想。下面讨论直方图规定化的基本思想。假设假设 pr(r )是原始图像灰度分布的概率是原始图像灰度分布的概率密度函数，密度函数，pz(z )是希望得到的图像的概率是希望得到的图像的概率密度函数。如何建立密度函数。
3、如何建立 pr(r )和和 pz(z )之间之间的联系是直方图规定化处理的关键。的联系是直方图规定化处理的关键。pzz()prr()所以，直方图规定化处理的关键思路是寻找一所以，直方图规定化处理的关键思路是寻找一个个 pr(r)和和 pz(z)间的中介，在间的中介，在 pr(r)，pz(z)间搭建一座桥梁，建立间搭建一座桥梁，建立 r 与与 z 的关系。的关系。首先对原始图像进行直方图均衡化处理，即：首先对原始图像进行直方图均衡化处理，即：dprTsrr)()(0(3(320)20)假定已经得到了所希望的图像，并且它的概率假定已经得到了所希望的图像，并且它的概率密度函数是密度函数是 Pz(z)
4、。对这幅图像也作均衡化处。对这幅图像也作均衡化处理，即：理，即：dpzGuzz)()(0(3(321)21)因为对于两幅图同样做了均衡化处理，所以因为对于两幅图同样做了均衡化处理，所以 ps(s)和和 pu(u)具有同样的均匀密度。其中式具有同样的均匀密度。其中式(321)的逆过程为的逆过程为)(1uGz(3(322)22)这样，如果用从原始图像中得到的均匀灰这样，如果用从原始图像中得到的均匀灰度级度级 s 来代替逆过程中的来代替逆过程中的 u ，其结果灰度级将，其结果灰度级将是所要求的概率密度函数是所要求的概率密度函数 Pz(z)的灰度级。的灰度级。)()()(111rTGsGuGz 根据以
5、上思路，可以总结出直接直方图规定化根据以上思路，可以总结出直接直方图规定化增强处理的步骤如下：增强处理的步骤如下：(1)(1)、用直方图均衡化方法将原始图像作均衡化用直方图均衡化方法将原始图像作均衡化 处理；处理；(2)(2)、规定希望的灰度概率密度函数规定希望的灰度概率密度函数 pz(z)，并，并 用式用式(321)求得变换函数求得变换函数 G(u)；(3)、将逆变换函数将逆变换函数 zG-1(s)用到步骤用到步骤(1)中中 所得到的灰度级。所得到的灰度级。（4）、）、z G-1T(r)以上三步得到了原始图像的另一种处理方法。以上三步得到了原始图像的另一种处理方法。在这种处理方法中得到的新图
6、像的灰度级具有事先在这种处理方法中得到的新图像的灰度级具有事先规定的概率密度函数。规定的概率密度函数。下面通过例子来说明处理过程。下面通过例子来说明处理过程。例如，这里仍用例如，这里仍用64646464像素的图像，其灰度像素的图像，其灰度级仍然是级仍然是8 8级。其直方图如图级。其直方图如图3 37(a)7(a)所示，所示，(b)(b)是是规定的直方图，规定的直方图，(c)(c)为变换函数，为变换函数，(d)(d)为处理后的为处理后的结果直方图。原始直方图和规定的直方图之数值结果直方图。原始直方图和规定的直方图之数值分别列于表分别列于表3 32 2和表和表3 33 3中，经过直方图均衡化中，经
7、过直方图均衡化处理后的直方图数值列于表处理后的直方图数值列于表3 34 4。表表3 32 2 原始直方图数据原始直方图数据 表表3 33 3 规定的直方图数据规定的直方图数据 表表3 34 4 均衡化处理后的直方图数据均衡化处理后的直方图数据 （1 1）对原始图像进行直方图均衡化映射处理的数）对原始图像进行直方图均衡化映射处理的数 值列于表值列于表3434的栏目内。的栏目内。（2 2）利用式）利用式(321)(321)计算变换函数。计算变换函数。计算步骤如下：计算步骤如下：uG zpzkkjkzj()()0uG zp zp zjzjz00000000()()().uG zpzpzpzjzjzz
8、110101000()()()().uG zpzpzpzpzjzjzzz22020120 00()()()()().15.0)()()()()()(32103033zpzpzpzpzpzGuzzzzjzj以此类推求得以此类推求得 uG zuG zuG zuG z445566770350650851().().().()（3 3）用直方图均衡化中的）用直方图均衡化中的 sk 进行进行 G 的反变换的反变换求求 z。zGskk 1()这一步实际上是近似过程。也就是找出这一步实际上是近似过程。也就是找出 Sk 与与G(zk)的最接近的值。的最接近的值。例如：例如：与它最接近的是与它最接近的是 ，所以
9、可写成，所以可写成 用这样方法可得到下列用这样方法可得到下列变换值。变换值。s0170 1 4.G z().3015Gz13015(.)790737130zs 1023747341zs 850757552zs 985767663zs 4481174zs （4 4）用）用 z=G-1T(r)找出找出 r 与与 z 的映射关系的映射关系 rz03037 rz141747 rz252757 rz363767 rz464767 rz57571 rz67671 rz7711 表表35 35 结果直方图数据结果直方图数据 （5 5）根据这样的映射重新分配像素，）根据这样的映射重新分配像素，并用并用n=40
10、96=4096去除，可得到最后的直方图。去除，可得到最后的直方图。图图4 47 7 直方图规定化处理方法直方图规定化处理方法 由图由图3737可见，结果直方图并不很接近希望的形可见，结果直方图并不很接近希望的形状，与直方图均衡化的情况一样，这种误差是多状，与直方图均衡化的情况一样，这种误差是多次近似造成的。只有在连续的情况下，求得准确次近似造成的。只有在连续的情况下，求得准确的反变换函数才能得到准确的结果。的反变换函数才能得到准确的结果。在灰度级减少时，规定的和最后得到的直在灰度级减少时，规定的和最后得到的直方图之间的误差趋向于增加。但是实际处方图之间的误差趋向于增加。但是实际处理效果表明，尽
11、管是一种近似的直方图也理效果表明，尽管是一种近似的直方图也可以得到较明显的增强效果。可以得到较明显的增强效果。利用直方图规定化方法进行图像增强的主利用直方图规定化方法进行图像增强的主要困难在于如何构成有意义的直方图。要困难在于如何构成有意义的直方图。一般有两种方法，一种是给定一个规定的一般有两种方法，一种是给定一个规定的概率密度函数，如高斯，瑞利等函数。一概率密度函数，如高斯，瑞利等函数。一些常用的直方图修正转换函数列于表些常用的直方图修正转换函数列于表3636中。中。表表36 36 直方图修正转换函数直方图修正转换函数 另一种方法是规定一个任意可控制的直方图，另一种方法是规定一个任意可控制的
12、直方图，其形状可由一些直线所组成，得到希望的形状后，其形状可由一些直线所组成，得到希望的形状后，将这个函数数字化。这种方法如图将这个函数数字化。这种方法如图3939所示。所示。图图39 39 直方图参量规定化法直方图参量规定化法 3.2 3.2 图像平滑化处理图像平滑化处理 一幅图像可能存在着各种寄生效应。这一幅图像可能存在着各种寄生效应。这些寄生效应可能在传输中产生，也可能在量些寄生效应可能在传输中产生，也可能在量化等处理过程中产生。一个较好的平滑方法化等处理过程中产生。一个较好的平滑方法应该是既能消掉这些寄生效应又不使图像的应该是既能消掉这些寄生效应又不使图像的边缘轮廓和线条变模糊。这就是
13、研究图像平边缘轮廓和线条变模糊。这就是研究图像平滑化处理要追求的主要目标。滑化处理要追求的主要目标。图像平滑化处理方法有空域法和频域法两大类。图像平滑化处理方法有空域法和频域法两大类。主要有主要有:邻域平均法，邻域平均法，低通滤波法，低通滤波法，多图像平均法等等。多图像平均法等等。3.2.1 3.2.1 邻域平均法邻域平均法 3.2.2 低通滤波法 3.2.3 多图像平均法 邻域平均法是简单的空域处理方法。这种方法的基邻域平均法是简单的空域处理方法。这种方法的基本思想是用几个像素灰度的平均值来代替每个像素本思想是用几个像素灰度的平均值来代替每个像素的灰度。假定有一幅的灰度。假定有一幅NN个像素
14、的图像个像素的图像 f(x,y)，平滑处理后得到一幅图像平滑处理后得到一幅图像 g(x,y)。g(x,y)由下式决定由下式决定 式中，式中，S 是是 (x,y)点邻域中点的坐标的集合，点邻域中点的坐标的集合，但其中不包括但其中不包括 (x,y)点，点，是集合内坐标点的总是集合内坐标点的总数。数。g x yMf m nm ns(,)(,)(,)1x yN,0 1 21(3(32 23)3)式式(323)说明，平滑化的图像说明，平滑化的图像 g(x,y)中的每个中的每个像素的灰度值均由包含在像素的灰度值均由包含在(x,y)的预定邻域中的的预定邻域中的f(x,y)的几个像素的灰度值的平均值来决定。的
15、几个像素的灰度值的平均值来决定。例如，可以以点例如，可以以点(x,y)为中心，取单位距离为中心，取单位距离构成一个邻域，其中点的坐标集合为：构成一个邻域，其中点的坐标集合为：Sx yx yxyxy(,),),),)(1111图图(a)(a)的方法是一个点的邻域，定义为以该点为中的方法是一个点的邻域，定义为以该点为中心的一个圆的内部或边界上的点的集合。图中像心的一个圆的内部或边界上的点的集合。图中像素间的距离为素间的距离为x x ，选取选取x x 为半径作圆，那为半径作圆，那么，点么，点 R 的灰度值就是圆周上四个像素灰度值的灰度值就是圆周上四个像素灰度值的平均值。的平均值。图图(b)是选是选
16、为半径的情况下构成的为半径的情况下构成的点点 R 的邻域，选择在圆的边界上的点和的邻域，选择在圆的边界上的点和在圆内的点为在圆内的点为S的集合。的集合。2x图图319 在数字图像中选取邻域的方法在数字图像中选取邻域的方法 四邻域：四邻域：Sx yx yxyxy(,),),),)(1111)1Y,1x(),1y,1x(),1y,1x(),1y,1x(),y,1x(),y,1x(),1y,x(),1y,x(S 八邻域：八邻域：处理结果表明，上述选择邻域的方法对抑制噪处理结果表明，上述选择邻域的方法对抑制噪声是有效的，但是随着邻域的加大，图像的模声是有效的，但是随着邻域的加大，图像的模糊程度也愈加严
17、重。为克服这一缺点，可以采糊程度也愈加严重。为克服这一缺点，可以采用阈值法减少由于邻域平均所产生的模糊效应。用阈值法减少由于邻域平均所产生的模糊效应。其基本方法由下式决定：其基本方法由下式决定：),(),(1),(),(1),(),(),(其他若yxfTnmfMyxfnmfMyxgsnmsnm（3 32424）式中式中 T 就是规定的非负的阈值。这个表达式的就是规定的非负的阈值。这个表达式的物理概念是：物理概念是：当一些点和它的邻域内的点的灰度当一些点和它的邻域内的点的灰度的平均值的差不超过规定的阈值的平均值的差不超过规定的阈值 T 时，就仍然时，就仍然保留其原灰度值不变，如果大于阈值保留其原
18、灰度值不变，如果大于阈值 T 时就用它时就用它们的平均值来代替该点的灰度值。们的平均值来代替该点的灰度值。这样就可以大这样就可以大大减少模糊的程度。大减少模糊的程度。实现方法：实现方法：以（以（a)和和(b)作模板，扫过全部图像，即可完成作模板，扫过全部图像，即可完成平滑处理。平滑处理。边缘处理：边缘处理：1）、在原图像上补上行和列，在处理；）、在原图像上补上行和列，在处理；2）、处理后重复一下边缘行或列的结果。）、处理后重复一下边缘行或列的结果。3.2.1 邻域平均法 3.2.2 3.2.2 低通滤波法低通滤波法 3.2.3 多图像平均法 这种方法是一种这种方法是一种频域处理法频域处理法。在
19、分析图像信号在分析图像信号的频率特性时，一幅图像的边缘、跳跃部分以及颗的频率特性时，一幅图像的边缘、跳跃部分以及颗粒噪声代表图像信号的高频分量，而大面积的背景粒噪声代表图像信号的高频分量，而大面积的背景区则代表图像信号的低频分量。用滤波的方法滤除区则代表图像信号的低频分量。用滤波的方法滤除其高频部分就能去掉噪声，使图像得到平滑。其高频部分就能去掉噪声，使图像得到平滑。由卷积定理可知由卷积定理可知 ),(),(),(vuFvuHvuG (3(325)25)其中其中:F(u,v)是含有噪声的图像的傅立叶变换是含有噪声的图像的傅立叶变换;G(u,v)是平滑处理后的图像之傅立叶变换是平滑处理后的图像之
20、傅立叶变换;H(u,v)是传递函数。是传递函数。选择传递函数选择传递函数 H(u,v)，利用，利用 H(u,v)使使 F(u,v)的的高频分量得到衰减，得到高频分量得到衰减，得到 G(u,v),后再经反傅立叶后再经反傅立叶变换就可以得到所希望的平滑图像变换就可以得到所希望的平滑图像 g(x,y)了。了。根据前面的分析，显然根据前面的分析，显然 H(u,v)应该具有低通滤波特性，所以这种方法叫应该具有低通滤波特性，所以这种方法叫低通低通滤波法平滑化处理滤波法平滑化处理。低通滤波平滑化处理流程低通滤波平滑化处理流程如图如图3 32020所示。所示。),(vuFFFTH(u,v)IFFT),(yxf
21、),(yxg),(vuG图图320 320 线性滤波器处理框图线性滤波器处理框图 ),(),(1vuGyxgF F),(),(),(vuFvuHvuG常用的低通滤波器有如下几种：常用的低通滤波器有如下几种：理想低通滤波器理想低通滤波器 布特沃斯（布特沃斯（ButterworthButterworth）低通滤波器）低通滤波器 指数低通滤波器指数低通滤波器 梯形低通滤波器梯形低通滤波器 一个理想的二维低通滤波器的传递函数由下式表示：一个理想的二维低通滤波器的传递函数由下式表示：理想低通滤波器理想低通滤波器 (4(426)26)00),(0),(1),(DvuDDvuDvuH式中式中 D0 是一个规
22、定的非负的量，叫做理想是一个规定的非负的量，叫做理想低通滤波器的截止频率。低通滤波器的截止频率。D(u,v)是从频率颊是从频率颊的原点到的原点到(u,v)点的距离，即点的距离，即 (3(32727)2122u=),(vvuD H(u,v)对对(u,v)来说是一幅三维图形。来说是一幅三维图形。H(u,v)的剖面图如图的剖面图如图321所示。将剖面图绕纵轴旋转所示。将剖面图绕纵轴旋转360就可以得到整个滤波器的传递函数。就可以得到整个滤波器的传递函数。所谓理想低通滤波器是指以截频所谓理想低通滤波器是指以截频 D0 为半径的圆为半径的圆内的所有频率都能无损地通过，而在截频之外的内的所有频率都能无损地
23、通过，而在截频之外的频率分量完全被衰减。频率分量完全被衰减。理想低通滤波器可以用计理想低通滤波器可以用计算机模拟实现，但是却不能用电子元器件来实现。算机模拟实现，但是却不能用电子元器件来实现。图图321 321 理想低通滤波器剖面图理想低通滤波器剖面图 理想低通滤波器平滑处理的概念是清晰的，但理想低通滤波器平滑处理的概念是清晰的，但在处理过程中会产生较严重的模糊和振铃现象。在处理过程中会产生较严重的模糊和振铃现象。这种现象正是由于傅立叶变换的性质决定的。因这种现象正是由于傅立叶变换的性质决定的。因为滤波过程是由式（为滤波过程是由式（328328）描述的，由卷积定）描述的，由卷积定理可知在空域中
24、则是一种卷积关系，即理可知在空域中则是一种卷积关系，即 ：g x yh x yfx y(,)(,)(,)(328)(328)式中式中 ，分别分别是，是，的傅里叶反的傅里叶反变换。变换。g x y(,)h x y(,)f x y(,),(vuG),(vuH),(vuF 既然既然 H(u,v)是理想的矩形特性，那么是理想的矩形特性，那么它的反变换它的反变换 h(x,y)的特性必然会产生无限的特性必然会产生无限的振铃特性。经与的振铃特性。经与 f(x,y)卷积后则给卷积后则给 g(x,y)带来模糊和振铃现象，带来模糊和振铃现象，D0 越小这种现象越越小这种现象越严重，当然，其平滑效果也就较差。这是理
25、想严重，当然，其平滑效果也就较差。这是理想低通不可克服的弱点。低通不可克服的弱点。一个一个 n 阶布特沃斯低通滤波器的传递函数由下阶布特沃斯低通滤波器的传递函数由下式表示式表示 布特沃斯（布特沃斯（ButterworthButterworth）低通滤波器）低通滤波器 nDvuDvuH20),(+11=),(3(329)29)式中式中 D0 为截止频率，为截止频率，D(u,v)的值由下式决定的值由下式决定 2122=),(vuvuD(330)(330)布特沃斯低通滤波器又称最大平坦滤波器。布特沃斯低通滤波器又称最大平坦滤波器。它的通带与阻带之间没有明显的不连续性。也它的通带与阻带之间没有明显的不
26、连续性。也就是说，在通带和阻带之间有一个平滑的过渡就是说，在通带和阻带之间有一个平滑的过渡带。通常把带。通常把 H(u,v)下降到某一值的那一点定下降到某一值的那一点定为截止频率为截止频率 D D0 0 。在式（。在式（3 32929）中是把）中是把 H(u,v)下降到原来值的下降到原来值的1/2 1/2 时的时的 D(u,v)定为截频点定为截频点 D0 0 。一般情况下常常采用下降到一般情况下常常采用下降到 H(u,v)最大值的最大值的 那一点为截止频点。这样，式那一点为截止频点。这样，式(427)可修可修改为式改为式(331)的形式的形式 nDvuDvuH20),(12+11=),(12(
27、3(331)31)布特沃斯低通滤波器布特沃斯低通滤波器 H(u,v)的剖面图如的剖面图如图图3 32222所示。与理想低通滤波器的处理结果所示。与理想低通滤波器的处理结果相比，经布特沃斯滤波器处理过的图像模糊程相比，经布特沃斯滤波器处理过的图像模糊程度会大大减少。因为它的度会大大减少。因为它的 H(u,v)不是陡峭的不是陡峭的截止特性，它的尾部会包含有大量的高频成分。截止特性，它的尾部会包含有大量的高频成分。图图3 322 22 布特沃斯低通滤波器剖面图布特沃斯低通滤波器剖面图 布特沃斯低通滤波器的特点：布特沃斯低通滤波器的特点：1 1）、由于有平缓的过渡带，图像将不会有振铃）、由于有平缓的过
28、渡带，图像将不会有振铃现现 象。象。2 2）、模糊程度大大减小。）、模糊程度大大减小。指数低通滤波器指数低通滤波器 在图像处理中常用的另一种平滑滤波器是在图像处理中常用的另一种平滑滤波器是指数低通滤波器。它的传递函数如下式表示指数低通滤波器。它的传递函数如下式表示 nD)D(u,-0e=)v uH,(3(332)32)式中式中 D0 为截频，为截频，D(u,v)由下式决定由下式决定 212vu=)v,uD(2(3(333)33)式中的式中的 是决定衰减率的系数。从式（是决定衰减率的系数。从式（3 33232）可见，如果可见，如果 则则 n0=),(DvuDevuH1=),(3(334)34)如
29、果仍然把截止频率定在如果仍然把截止频率定在 最大值最大值的的 处，那么，公式可作如下修改处，那么，公式可作如下修改),(vuH21n0D)D(u,0347.0nD)D(u,21lne=e=)v ,u(H由于指数低通滤波器有更快的衰减率，所以，经由于指数低通滤波器有更快的衰减率，所以，经指数低通滤波的图像比布特沃斯低通滤波器处理指数低通滤波的图像比布特沃斯低通滤波器处理的图像稍模糊一些。由于指数低通滤波器的传递的图像稍模糊一些。由于指数低通滤波器的传递函数也有较平滑的过渡带，所以图像中也没有振函数也有较平滑的过渡带，所以图像中也没有振铃现象。铃现象。图图323 指数低通滤波器传递函数径向剖面图指
30、数低通滤波器传递函数径向剖面图 梯形低通滤波器梯形低通滤波器 梯形低通滤波器传递函数的形状介于理梯形低通滤波器传递函数的形状介于理想低通滤波器和具有平滑过渡带的低通滤波想低通滤波器和具有平滑过渡带的低通滤波器之间。它的传递函数由下式表示器之间。它的传递函数由下式表示 1100D)v,uD 0 D)v,uDD DvuDDD1D)v,uD 1 =)v,u(H(),(011(3(335)35)其中其中 D(u,v)=u2+v21/2，在规定，在规定D0 和和 D1 时要时要满足满足 D0 D1 的条件。一般为了方便，把传的条件。一般为了方便，把传递函数的第一个转折点递函数的第一个转折点 D0 定义为
31、截止频率；定义为截止频率；第二个变量第二个变量 D1 可以任意选取只要可以任意选取只要 D1 大于大于 D0 就可以。梯形低通滤波器传递函数的剖就可以。梯形低通滤波器传递函数的剖面如图面如图324所示。所示。图图324 324 梯形低通滤波器传递函数剖面图梯形低通滤波器传递函数剖面图 由于梯形滤波器的传递函数特性介于理想低通滤由于梯形滤波器的传递函数特性介于理想低通滤波器和具有平滑过渡带滤波器之间，所以其处理波器和具有平滑过渡带滤波器之间，所以其处理效果也介于其两者中间。梯形滤波法的结果有一效果也介于其两者中间。梯形滤波法的结果有一定的振铃现象。定的振铃现象。用低通滤波器进行平滑处理可以使噪声
32、伪轮用低通滤波器进行平滑处理可以使噪声伪轮廓等寄生效应减低到不显眼的程度，但是由于低廓等寄生效应减低到不显眼的程度，但是由于低通滤波器对噪声等寄生成分滤除的同时，对有用通滤波器对噪声等寄生成分滤除的同时，对有用高频成分也滤除，因此，这种去噪的美化处理是高频成分也滤除，因此，这种去噪的美化处理是以牺牲清晰度为代价而换取的。以牺牲清晰度为代价而换取的。3.2.1 邻域平均法 3.2.2 低通滤波法 3.2.3 3.2.3 多图像平均法多图像平均法 如果一幅图像包含有加性噪声，这些噪声对如果一幅图像包含有加性噪声，这些噪声对于每个坐标点是不相关的，并且其平均值为零，于每个坐标点是不相关的，并且其平均
33、值为零，在这种情况下就可能采用多图像平均法来达到去在这种情况下就可能采用多图像平均法来达到去掉噪声的目的。掉噪声的目的。设设 g(x,y)为有噪声图像为有噪声图像,n(x,y)为噪声，为噪声，f(x,y)为原始图像，可用下式表示：为原始图像，可用下式表示：g x yf x yn x y(,)(,)(,)多图像平均法是把一系列有噪声的图像多图像平均法是把一系列有噪声的图像 g gj j(x,y)迭加起来，然后再取平均值以达到平滑的目的。迭加起来，然后再取平均值以达到平滑的目的。(336)具体做法如下：具体做法如下：取取 M 幅内容相同但含有不同噪声的图像，将幅内容相同但含有不同噪声的图像，将它们
34、迭加起来，然后作平均计算，如下式所示它们迭加起来，然后作平均计算，如下式所示 g x yMgx yjMj(,)(,)11(337)(337)由此得出由此得出 E g xyf x y(,)(,)2),(2),(1yxnyxgM(338)(338)(339)(339)式中式中 是是 的数学期望，的数学期望，和和 是是 和和 在在 坐标上的方坐标上的方差。在平均图像中任一点的均方差可由下式差。在平均图像中任一点的均方差可由下式得到得到 E g x y(,)g x y(,)2),(yxg2),(yxngn(,)x y),(),(1yxnyxgM (340)(340)由上二式可见，由上二式可见，M 增加
35、则像素值的方差就减小，增加则像素值的方差就减小，这说明由于平均的结果使得由噪声造成的像素灰度这说明由于平均的结果使得由噪声造成的像素灰度值的偏差变小。当作平均处理的噪声图像数目增加值的偏差变小。当作平均处理的噪声图像数目增加时，其统计平均值就越接近原始无噪声图像。时，其统计平均值就越接近原始无噪声图像。这种方法在实际应用中的最大困难在于把多幅图这种方法在实际应用中的最大困难在于把多幅图像配准起来，以便使相应的像素能正确地对应排像配准起来，以便使相应的像素能正确地对应排列。列。图图3 325 25 示出了图像平滑处理的效果，其中示出了图像平滑处理的效果，其中（a a）是待处理图像，（）是待处理图
36、像，（b b）是处理后的图像。）是处理后的图像。图图 325 325 图像平滑处理效果图像平滑处理效果 3.3 3.3 图像尖锐化处理图像尖锐化处理(Image Sharpening)(Image Sharpening)图像尖锐化处理主要用于增强图像的边缘图像尖锐化处理主要用于增强图像的边缘及灰度跳变部分。通常所讲的勾边增强方法就及灰度跳变部分。通常所讲的勾边增强方法就是图像尖锐化处理。与图像平滑化处理一样，是图像尖锐化处理。与图像平滑化处理一样，图像尖锐化处理同样也有空域和频域两种处理图像尖锐化处理同样也有空域和频域两种处理方法。方法。3.3.1 3.3.1 微分尖锐化处理微分尖锐化处理 3
37、.3.2 零交叉边缘检测 3.3.3 高通滤波法 在图像平滑化处理中，主要的空域处在图像平滑化处理中，主要的空域处理法是采用邻域平均法，这种方法类似于理法是采用邻域平均法，这种方法类似于积分过程，积分的结果使图像的边缘变得积分过程，积分的结果使图像的边缘变得模糊了。积分既然使图像细节变模糊，那模糊了。积分既然使图像细节变模糊，那么，微分就会产生相反的效应。因此，微么，微分就会产生相反的效应。因此，微分法是图像尖锐化方法之一。分法是图像尖锐化方法之一。微分尖锐化的处理方法最常用的是微分尖锐化的处理方法最常用的是梯度梯度法法。由场论理论知道，数量场的梯度是这样由场论理论知道，数量场的梯度是这样定义
38、的：定义的：设一数量场设一数量场 u ，u=u(x,y,z)，把大小是在，把大小是在某一点方向导数的最大值，方向是取得方某一点方向导数的最大值，方向是取得方向导数最大值的方向的向导数最大值的方向的矢量矢量叫数量场的梯叫数量场的梯度。度。kzujyuixuugrad)(由这个定义出发，如果给定一个函数由这个定义出发，如果给定一个函数 f(x,y)，在，在坐标坐标(x,y)上的梯度可定义为一个矢量上的梯度可定义为一个矢量 grad fx yfxfy(,)(3(341)41)由梯度的定义可知它有两个特点：由梯度的定义可知它有两个特点：（）矢量（）矢量 gradf(x,y)是指向是指向f(x,y)最大
39、增加率最大增加率 的方向；的方向；（）如果（）如果 Gf(x,y)用来表示用来表示 gradf(x,y)的幅的幅 度，那么度，那么 Gfx ygradfx yfxfy(,)m ax(,)+2212(3(342)42)这就是说这就是说 Gf(x,y)等于在等于在 gradf(x,y)的方的方向上每单位距离向上每单位距离 f(x,y)的最大增加率。显然，的最大增加率。显然，式式(342)是一个标量函数，并且是一个标量函数，并且Gf(x,y)永远是永远是正值。因此，正值。因此，在后续讨论中将笼统地称在后续讨论中将笼统地称“梯度梯度的模的模”为梯度。为梯度。在数字图像处理中，仍然要采用离散形式，在数字
40、图像处理中，仍然要采用离散形式，为此用差分运算代替微分运算。式为此用差分运算代替微分运算。式(3(342)42)可用可用下面的差分公式来近似下面的差分公式来近似 G fx yfx yfxyfx yfx y(,)(,)(,)(,)(,)112212 (3(343)43)G f x yf x yf xyf x yf x y(,)(,)(,)(,)(,)11(3(344)44)在用计算机计算梯度时，通常用绝对值运算代替在用计算机计算梯度时，通常用绝对值运算代替式式(343)，所以，近似公式，所以，近似公式 图图3 32626示出了式示出了式(4(444)44)中像素间的关系。中像素间的关系。应该注意
41、到，对一幅应该注意到，对一幅 NN 个像素的图像计算个像素的图像计算梯度时，对图像的最后一行，或者最后一列不梯度时，对图像的最后一行，或者最后一列不能用式能用式(3(344)44)来求解，解决方法是对这个区域来求解，解决方法是对这个区域的像素在的像素在 x=N,y=N 时重复前一行和前一列时重复前一行和前一列的梯度值。的梯度值。图图326 326 计算二维梯度的一种方法计算二维梯度的一种方法 关于梯度处理的另一种方法是所谓的罗伯关于梯度处理的另一种方法是所谓的罗伯特梯度（特梯度（Robert gradient）法。这是一种交叉差）法。这是一种交叉差分法。其近似计算值如下式分法。其近似计算值如下
42、式 G fx yfx yfxyfxyfx y(,)(,)(,)(,)(,)11112212 (3(345)45)G f x yf x yf xyf xyf x y(,)(,)(,)(,)(,)1111(3(346)46)用绝对值近似计算式如下用绝对值近似计算式如下 式式(3(345)45)和和(3(346)46)式中像素间的关系如图式中像素间的关系如图3 32727所示所示 图图327 327 罗伯特梯度法罗伯特梯度法 由上面的公式可见，梯度的近似值都和相由上面的公式可见，梯度的近似值都和相邻像素的灰度差成正比。这正象所希望的那样，邻像素的灰度差成正比。这正象所希望的那样，在一幅图像中，边缘区
43、梯度值较大，平滑区梯在一幅图像中，边缘区梯度值较大，平滑区梯度值较小，对于灰度级为常数的区域梯度值为度值较小，对于灰度级为常数的区域梯度值为零。由于梯度运算的结果，使得图像中不变的零。由于梯度运算的结果，使得图像中不变的白区变为零灰度值，黑区仍为零灰度值，只留白区变为零灰度值，黑区仍为零灰度值，只留下了灰度值急剧变化的边沿处的点。下了灰度值急剧变化的边沿处的点。图图328 328 二值图像及计算梯度的结果二值图像及计算梯度的结果 这个简单方法的缺点是使这个简单方法的缺点是使 f(x,y)中所有平滑中所有平滑区域在区域在 g(x,y)中变成暗区，因为平滑区内各点梯中变成暗区，因为平滑区内各点梯度
44、很小。度很小。当选定了近似梯度计算方法后，可以有多种当选定了近似梯度计算方法后，可以有多种方法产生梯度图像方法产生梯度图像 g(x,y)。最简单的方法是让。最简单的方法是让坐标坐标(x,y)处的值等于该点的梯度，即处的值等于该点的梯度，即 g x yG fx y(,)(,)(3(347)47)为克服这一缺点可采用阈值法（或叫门限法）。为克服这一缺点可采用阈值法（或叫门限法）。其方法如下式表示其方法如下式表示 其他若),(),(),(),(yxfTyxfGyxfGyxg(3(348)48)也就是说，事先设定一个非负的门限值也就是说，事先设定一个非负的门限值 T ，当，当梯度值大于或等于梯度值大于
45、或等于 T 时，时，则这一点就取其梯度值作为灰度值，如果梯度值则这一点就取其梯度值作为灰度值，如果梯度值小于小于 T 时则仍保留原时则仍保留原 f(x,y)值。这样，通过合理值。这样，通过合理地选择地选择 T 值，就有可能既不破坏平滑区域的灰值，就有可能既不破坏平滑区域的灰度值又能有效地强调了图像的边缘。度值又能有效地强调了图像的边缘。基于上述思路的另一种作法是给边缘处的像素基于上述思路的另一种作法是给边缘处的像素值规定一个特定的灰度级值规定一个特定的灰度级 L LG G ，即即 其他若),(),(),(yxfTyxfGLyxgG(3(34949)这种处理会使图像边缘的增强效果更加明显。这种处
46、理会使图像边缘的增强效果更加明显。当只研究图像边缘灰度级变化时，要求当只研究图像边缘灰度级变化时，要求不受背景的影响，则用下式来构成梯度图像不受背景的影响，则用下式来构成梯度图像 其它若BLTyxfGyxfGyxg),(),(),(3(350)50)式中式中 LB 是规定的背景灰度值。是规定的背景灰度值。另外，如果只对边缘的位置感兴趣，则可采另外，如果只对边缘的位置感兴趣，则可采用下式的规定产生图像。用下式的规定产生图像。其它若BGLTyxfGLyxg),(),(3(351)51)计算方法框图如图计算方法框图如图3 32525所示。所示。图图3 325 25 梯度法尖锐化处理计算框图梯度法尖锐
47、化处理计算框图 一种典型的边缘增强图像如图一种典型的边缘增强图像如图326326所示。所示。图图 3 326 26 图像尖锐化处理的例子图像尖锐化处理的例子 （a a）是原像）是原像（b b）是）是soblesoble算子处理的结果算子处理的结果（c c）是拉普拉斯算子处理结果）是拉普拉斯算子处理结果（d d）是个向异性处理结果）是个向异性处理结果人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
