1、1 通过前面的学习，人们容易发现复变函数通过前面的学习，人们容易发现复变函数论与数学分析有着十分紧密的联系，他们所研论与数学分析有着十分紧密的联系，他们所研究的内容、方式十分相似。究的内容、方式十分相似。初等函数在数学分析中占有十分重要的位初等函数在数学分析中占有十分重要的位置，于是人们自然想到把实变数的初等函数推置，于是人们自然想到把实变数的初等函数推广到复变数上来。广到复变数上来。当然，为了保证某种当然，为了保证某种“和谐性和谐性”，这种推，这种推广也不是广也不是“随心所欲随心所欲”的，而是受到某些约束。的，而是受到某些约束。当把实变函数推广到复变函数时，仍然当把实变函数推广到复变函数时，
2、仍然保保留了某些东西留了某些东西，同时由于推广的结果也，同时由于推广的结果也丢掉了丢掉了某些东西某些东西，而且还，而且还增加了某些东西增加了某些东西。2指数函数指数函数(cossin)zx iyxeeeyiy exp(cossin)xzeyiy也也可可表表示示为为 1.1.指数函数的定义指数函数的定义:z将将此此函函数数称称为为复复变变数数 的的指指数数函函数数.定义定义:对于任何复数对于任何复数z=x+iy,规定规定 ,(cossin)zxeeyiy 注注:没:没有有幂幂的的意意义义 是是一一个个符符号号,代,代表表3指数函数满足指数函数满足.)()1(在复平面上处处解析zezf.)()2(
3、zzee.0)3(xez到到虚虚就得就得时,时,部y部y的的特别当特别当 432().zei 是是以以为为周周期期的的周周期期函函数数 这个性质是实变指数函数所没有的！这个性质是实变指数函数所没有的！指数函数的性质指数函数的性质).exp(expexp:)2(2121zzzz 加加法法定定理理12122,(4)的的充充要要条条件件是是为为整整数数.zzeezzk i k;2(4)为为整整数数).).zxzeeArgeykk.,0为无零点的指数函数为无零点的指数函数即即所以所以zzee (1).sincos:Euler0)2(yiyexziy 公式公式 就得就得时,时,的实部的实部特别当特别当到
4、到(5)5xy(z)1yy2yy带形区域角形区域带形区域角形区域zew vu(w)21yy12122102yyyyyyyy()-把把夹夹在在和和之之间间的的水水平平带带形形域域映映成成特特点点:平平面面的的顶顶点点在在原原点点夹夹角角为为的的角角形形域域,因因此此若若需需把把带带形形域域映映射射成成角角形形域域常常用用指指数数函函数数.6例例1 );Re()3(;)2(;)1(,122zzzieeeiyxz 求求设设解解)sin(cos yiyeeexiyxz 因为因为 .cos)Re(,yeeeexzxz 实部实部所以其模所以其模zie2)1()(2iyxie ,)21(2yixe ;22x
5、ziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 7例例2 解解求出下列复数的辐角主值求出下列复数的辐角主值:;)4(;)3(;)2(;)1(4343322iiiieeee )sin(cos 的辐角的辐角因为因为yiyeeexiyxz )(2Arg为整数为整数kkyez .,(-arg 内的一个辐角内的一个辐角为区间为区间其辐角主值其辐角主值 ze)1(,21Arg2 kei;1arg2 ie)2(,23Arg32 kei;3arg32 ie8 ,24Arg43 ke
6、i;24arg43 ie ,24Arg43 kei;24arg43 ie;)3(43ie;)4(43ie 92 2、对数函数对数函数定义定义 指数函数的反函数称为对数函数指数函数的反函数称为对数函数.即即.,)()0(Lnzwzfwzzew 记记作作称称为为对对数数函函数数的的函函数数把把满满足足).(2,ln,为为整整数数那那么么令令kkvrureerezivuwiivui ),1,0()2(ln kkirLnzw),2,1,0()2(arglnArgln kkzizzizLnz 或或？，如如何何计计算算给给定定一一复复数数Lnzz每个确每个确定的定的k对应一对应一个个分支分支10注注:负负
7、数数也也有有了了对对数数；对对数数函函数数的的定定义义域域是是,0)1(z0ln(02),lnln.(3 3)特特别别地地，当当时时，zxLnzxikzx 整整数数倍倍；相相差差个个函函数数值值的的无无穷穷多多值值函函数数，每每两两是是）（izLnzw22.,lnargln,0的的主主值值称称为为的的一一单单值值函函数数为为时时当当记记作作LnzLnzzzizLnzk ).(2ln为整数为整数kkizLnz 故故复复变变数数对对数数函函数数是是实实变变数数对对数数函函数数的的推推广广。11例例1 求下列各对数的值及其相应的主值：求下列各对数的值及其相应的主值：).43()2();1()1(iL
8、nLn ，为为整整数数解解：)()12()2(|1|ln)1()1(kikkiLn .)1ln()1(iLn 的的主主值值为为);()34arctan2(5ln)234arctan(|43|ln)43()2(为为整整数数解解：kikkiiiLn .34arctan5ln)43ln()43(iiiLn 的的主主值值为为12性质性质应当注意，由于对数函数的多值性，对于上述等式的应当注意，由于对数函数的多值性，对于上述等式的理解应与复数的乘积和商中关于辐角的等式一样理解应与复数的乘积和商中关于辐角的等式一样.,)()1(21212121LnzLnzzzLnLnzLnzzzLn .ln:)2(处处处处
9、连连续续在在除除去去原原点点与与负负实实轴轴外外连连续续性性z,arglnln:zizz 主主值值;ln续续除除原原点点外外在在其其它它点点均均连连其其中中z.ln:)3(平平面面内内解解析析在在除除去去原原点点与与负负实实轴轴的的解解析析性性z13综上所述，综上所述，wze 在区域在区域argvz内的反函数内的反函数w=ln z 是单值的。是单值的。由反函数的求导法由反函数的求导法则，可知则，可知ln1111wwdzdzdedzezdwdw所以所以 ln z 在除去原点及负实轴的平面内解析在除去原点及负实轴的平面内解析.且有且有 今后我们应用对数函数今后我们应用对数函数Ln z时时,指的都是
10、它在除去指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支原点及负实轴的平面内的某一单值分支.1.Lnzz 14是是否否成成立立？，等等式式对对于于思思考考题题LnzLnzz20.1:2 nLnznLnz 1 nLnzLnzn 153 3、幂函数、幂函数,0,bzz 设设 为为复复数数定定义义 的的幂幂函函数数定义定义.bbLnzze 一般而言这里定义的幂函数为多值函数一般而言这里定义的幂函数为多值函数.(为什么？为什么？).ln的的推推广广显显然然这这一一定定义义是是xyyex 下面我们讨论几个相关问题：下面我们讨论几个相关问题：3.1当当b=n(正整数正整数)lnarg2nziz i kn
11、ze lnargargnnzinzinzeez e-单值函数单值函数16为正整数）时，为正整数）时，当当nnb(12.3 nkznnnnizikzizLnzeeeez 2arg1111ln)2arg(ln )2argsin2arg(cosnkzinkzzn nz).12,1,0(nk-n值函数值函数mmnnzz-n值函数值函数3.3(1,)manmnn ()当当与与 互互质质 时时,173.4Im0 ()当当 为为无无理理数数或或时时：Lnzze (lnarg2)zizkie lnarg2zizkieee-无穷多值函数无穷多值函数在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且在除原点和负实轴复
12、平面内主值支及各分支解析，且 11LnzLnzzeezz 1,0)5.3(000eezLnz当18.32的的值值和和求求iii例例3,)2()2(ln22 kikiiiiLniieeei解解：.为为整整数数其其中中 k),sin()cos(3434)2()2(ln2322323232kkkiikiiLniieeei )2,1,0(k19由由欧欧拉拉公公式式定定义义1.4据此，我们把上述公式推广到据此，我们把上述公式推广到复三角函数复三角函数如下：如下：sin,cos22izizizizeeeezzi定定义义定定义义,sincos,sincosyiyeyiyeiyiy *复三角函数是由指数函数定
13、义的复三角函数是由指数函数定义的.2cos,2sinyiyiyiyieeyieey 20.2cossin)1周周期期函函数数是是及及 Tzz.的的定定义义容容易易推推出出这这一一性性质质可可以以根根据据它它们们.sin)(cos,cos)(sin,)2zzzz 且且在在复复平平面面上上处处处处解解析析.cos)(21)(21)(sinzeeeeiziziziziz 这是因为这是因为4.2 正弦、余弦函数的性质正弦、余弦函数的性质.sin)(2)(21)(coszeeieeziziziziz 而而21.cos,sin)3是是偶偶函函数数是是奇奇函函数数zz,0sin,sin)4kzzz 的的根根
14、为为即即方方程程的的零零点点.,2cos为为整整数数的的零零点点为为kkzz 事实上，根据定义，有事实上，根据定义，有,10102sin22 izizizizeeieez).(212为为整整数数kkzikLnz i 5)各种三角恒等式仍然成立各种三角恒等式仍然成立(半角公式除外半角公式除外)227)sin,cos sin;2 cos.yyzzeeyiyiiychy 由由的的定定义义知知当当.1sin,1cos不不再再成成立立在在复复数数范范围围内内 zz6)Euler 公式仍然成立：公式仍然成立：cossinizeziz8)定义其他的三角函数：定义其他的三角函数：sincos11tg,ctg,
15、sec,csc.cossincossinzzzzzzzzzz23,.22zzzzeeeeshzchz定义定义称为称为双曲正弦双曲正弦和和双曲余弦双曲余弦函数函数双曲正弦和双曲余弦函数的性质双曲正弦和双曲余弦函数的性质.2)1为为周周期期的的函函数数都都是是以以、ichzshz.,)2奇奇函函数数偶偶函函数数 shzchz.,)(,)()3析析在在整整个个复复平平面面内内处处处处解解和和chzshzchzshzshzchz .cos,sin)4ychiyyishiy 由由定定义义2425 本章内容小结：本章内容小结：1 1、解析函数的概念，与可导的关系、解析函数的概念，与可导的关系2 2、解析的
16、条件、解析的条件3 3、基本初等函数、基本初等函数5 5、反三角函数和反双曲函数、反三角函数和反双曲函数 由于比较复杂的缘故，同时在研究方法上又由于比较复杂的缘故，同时在研究方法上又无新鲜之处，故从略。无新鲜之处，故从略。26 自从有了复变函数论，实数领域中的禁自从有了复变函数论，实数领域中的禁区或不能解释的问题，比如：区或不能解释的问题，比如：负数不能开偶数次方；负数不能开偶数次方；负数没有对数；负数没有对数；指数函数无周期性；指数函数无周期性；正弦、余弦函数的绝对值不能超过正弦、余弦函数的绝对值不能超过1；等已经不复存在等已经不复存在.27一、重点与难点一、重点与难点重点：重点：难点：难点：1.解析函数的概念；解析函数的概念；2.函数解析性的判别函数解析性的判别1.解析函数的概念；解析函数的概念；2.初等函数中的多值函数及主值的概念初等函数中的多值函数及主值的概念28二、内容提要二、内容提要复变函数复变函数导数导数微分微分解析函数解析函数初等解初等解析函数析函数指指 数数 函函 数数三三 角角 函函 数数对对 数数 函函 数数 幂幂 函函 数数 性质性质解析函数解析函数的判定方法的判定方法可导与微分的关系可导与微分的关系可导与解可导与解析的判定析的判定定理定理双双 曲曲 函函 数数
