1、1二、两个重要极限 一、极限存在准则第六节极限存在准则两个重要极限 第一章 2azynnnnlimlim)2(1.准则准则1（数列极限存在的夹逼准则),2,1()1(nzxynnnaxnnlim证:由条件(2),0,1N当1Nn 时,;nya当2Nn 时,azn令,max21NNN 则当Nn 时,有,ayan,azan由条件(1)nnnzxya a即,axn故.limaxnn,2N一、极限存在准则3例例1.证明11211lim222nnnnnn证:利用夹逼准则.nnnnn2221211nnn2222nn且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22
2、212111由4准则准则1 1 函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则,),(0时当xxAxhxgxxxx)(lim)(lim00,)()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0(Xx)(x)(x)(x且(利用定理1及数列的夹逼准则可证)53.准则准则2 单调有界数列必有极限（单调有界原理)Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx(证明略)ab6例例2.设,),2,1()1(1nxnnn证明数列nx极限存在.(P49)证:利用二项式公式(P270),有nnnx)1(11nn 1!121!2)1(nnn
3、31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!)1()1(11)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n711nx)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211!)1(1nnnnn大 大 正),2,1(1nxxnn11)1(1nnnx!21!31!1n又比较可知8根据准则 2 可知数列nx记此极限为 e,ennn)1(lim1 e 为无理数,其值为590457182818284.2e即有极限.11)1(1nnnx!21!31!1n1121
4、221121n又32121111n1213n9故极限存在，例例3 3 设)(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x,且求.limnnx解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx10BAx1o1sincosxxx圆扇形AOB的面积二、二、两个重要极限两个重要极限 0sinlim1xxx证:当即xsin21x21xtan21)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x,1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然
5、有AOB 的面积AOD的面积DCxxxcos1sin1故有重要极限111当20 x时xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注注12例例4.4.求下列函数的极限2.xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim011.xkxxsinlim0 xkxkkxsinlim0kxkxkxsinlim0k13.arcsinlim0 xxx解:令,arcsin xt 则,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin13.4.arctanlim0 xxx解:令,arctanxt 则,tantx 因此原式
6、ttttanlim0 1lim0t1tttan14主讲教师:王升瑞高等数学 第七讲15xxx1sinlim1sinlim1xxx1例例5.计算下列函数的极限0tan3limsin2xxxxxxxxxx232sin233tanlim0232.3.201 coslimxxx22202sinlimxxx21212120sinlimx2x2x211.16nnnRcossinlim2Rn证明:.lim2RAnn证:nnAlimnnnnRnAcossin22R说明:计算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx例例6.已知圆内接正 n 边形面积为17重要极限重要极限2.1lim(1)xxex证:当0 x
7、时,设,1nxn则xx)1(111)1(nnnn)1(11nnn)1(lim11 limn111)1(nn111ne11)1(limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim118当x,)1(tx则,t从而有xxx)1(lim1)1(11)1(limttt)1(1)(limtttt11)1(limttt)1()1(lim11tttte故exxx)1(lim1说明:此极限也可写为ezzz1)1(lim0时,令19例例7 已知lim(1)4xxcx求 C。解:原式=ccxxxc1limce44ln c20例例8 求下列极限.)1(lim.11xxx解:令,xt则xxx)1(lim1
8、ttt)1(lim1 1limttt)1(1e1说明：若利用,)1(lim)()(1)(exxx则 原式111)1(limexxxxxkx)1(lim.2解原式kkxxkx)1(limke21limx114.lim(sincos).xxxxI解:I=2)cos(sinlim211xxxx2)sin1(lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin12sec2lim(1 cos).xxx解:原式=21cos2lim(1 cos)xxx2e3.11225、xxxxI102121lim解法一：I1220lim 12xxx1(2)20lim 1 2xxx 22ee4e1解法二：xxxxI10
9、2141lim41 21 2404lim11 2xxxxxxxxe214lim04e236、nnnn)221(lim2解:原式=nnnn)221(lim222222222lim(1)nnnnnnnnnne22lim2e1说明:若,0)(lim0 xuxx则有0()lim 1()v xxxu x,)(lim0 xvxx01()()()lim 1()u x v xu xxxu xe)()(lim0 xuxvxx24nnnn)11(lim2解:原式=1221(1)lim1(1)nnnnnn 221(1)lim1(1)nnnnnnnnne212)11(lim1201eee117、25内容小结内容小结1
10、.数列极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则2.两个重要极限1lim(1)kxxx1sinlim)1(0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注:代表相同的表达式kxxx)1(lim1kxxxx1111lime1lim(1)x kkxxe26思考与练习思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知),2,1(21,111nxxxnn,求nnxlim时,下述作法是否正确?说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对!此处nnxlim27思考与练习思考与练习填空题 (14);_sinlim.1xxx;_1sinlim.2xxx;_1sinlim.30 xxx;_)11(lim.4nnn0101e28作业作业P56 1 写在书上;2;3；4.
