1、3.4 3.4 高斯消元法解线性方程组高斯消元法解线性方程组一、线性方程组的矩阵表示一、线性方程组的矩阵表示二、用高斯消元法求解线性方程组二、用高斯消元法求解线性方程组三、小结三、小结A2在第在第1章的章的1.4节，我们学习过用节，我们学习过用Gramer法则解形如法则解形如)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的线性方程组，也讨论过齐次线性方程组的线性方程组，也讨论过齐次线性方程组11 112 2121 122 221 12 200(2)0n nn nnnnn na xa xa xa xa xa xa xa xa x的求
2、解问题的求解问题.A3事实上事实上,方程组方程组)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa与之对应的齐次线性方程组与之对应的齐次线性方程组11 112 2121 122 221 12 200(2)0n nn nnnnn na xa xa xa xa xa xa xa xa x都可以用矩阵形式表示为都可以用矩阵形式表示为:(1)AXB(2)AXOA为为n阶系数矩阵阶系数矩阵,X为未知数矩阵为未知数矩阵,B为常数矩阵为常数矩阵 A41、非齐次线性方程组、非齐次线性方程组(1)AXB当当0A 时，方程组（时，方程组（1）有唯一解；）
3、有唯一解；当当0,A 2、对于齐次线性方程组、对于齐次线性方程组0(2)AX 当当0A 时，方程组（时，方程组（2）解唯一：只有零解；）解唯一：只有零解；当当0A 时，方程组（时，方程组（2）有无穷多解，有非零解；）有无穷多解，有非零解；以上由克兰姆法则得到的结论都是针对以上由克兰姆法则得到的结论都是针对n阶线性阶线性方程组来说的，而对于方程组来说的，而对于未知量个数未知量个数与与方程个数方程个数不不相等的线性方程组，我们用高斯消元法来讨论相等的线性方程组，我们用高斯消元法来讨论方程组（方程组（1）无解或有无穷多解）无解或有无穷多解它是必然有解的它是必然有解的。线性方程组解的情况如下：i ii
4、 iD Dx x=D DA5线性方程组的线性方程组的一般形式：一般形式：11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb矩阵表示：矩阵表示：AXB其中其中111212122212nnmmmnaaaaaaAaaaLLLLLLL12nxxXxM12mbbBbM请注意它们的行数、列数请注意它们的行数、列数m n1n1m3.4 3.4 高斯消元法解线性方程组高斯消元法解线性方程组一、线性方程组的矩阵表示一、线性方程组的矩阵表示A6对应的齐次线性方程组：对应的齐次线性方程组：11 1122121 122221 122000nnn
5、nmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax矩阵表示形式：矩阵表示形式：OAX 其中其中111212122212nnmmmnaaaaaaAaaaLLLLLLL12nxxXxM00O0Mm n1n1mA7二、用高斯消元法求解线性方程组二、用高斯消元法求解线性方程组下面通过例题，来学习一般线性方程组的解法，下面通过例题，来学习一般线性方程组的解法，这种方法，常称为这种方法，常称为高斯消元法高斯消元法.此消元法此消元法中方程组的消元步骤对应中方程组的消元步骤对应矩阵的初等矩阵的初等行变换。行变换。A81231231232222223xxxxxxxxx 解：解：13211212231
6、212121212232112rrA 3221312122312230435043505340101rrrrrrA93232412231 22301010 10104350 039rrrr 3131231 2231 2 030 1010 1 010 0130 0 13rrr 122100101010013rr A10123113xxx 所以原方程组有唯一的一组解：所以原方程组有唯一的一组解：A11.0340222022432143214321 xxxxxxxxxxxx解解简简形形：施施行行初初等等行行变变换换化化为为最最对对系系数数矩矩阵阵 A 341122121221A12210364036
7、4212rr31rr32rr122103640000例例1 用消元法解齐次线性方程组用消元法解齐次线性方程组A1213423452,342,3xxxxxx 其中其中34,xx是自由未知量是自由未知量13r22r366306128000012rr306506128000013r 2(6)r 00003/42103/5201A13例例2 用消元法解线性方程组用消元法解线性方程组1553822732321321321xxxxxxxxx解解 将系数矩阵与常数列矩阵排在一起将系数矩阵与常数列矩阵排在一起1237212831515AB1237(|)21 2831515AA B称为线性方程组的称为线性方程组
8、的增广矩阵增广矩阵记为记为:高斯消元法高斯消元法解线性方程组解线性方程组,实际就是对实际就是对增广矩阵增广矩阵作作 初等行变换初等行变换.下面我们来一步步解这个方程组。下面我们来一步步解这个方程组。AA141553822732321321321xxxxxxxxx解解:1237(|)21 2831515A B212rr313rr12370546054632rr12370546000015r22r5101535010812000012rr5072301081200002(2)r 5 0 7230 5 460 0 0015r 25r 7231 055460 1550 0 00这样做，是为了避开这样做
9、，是为了避开分数的加、减法分数的加、减法A15再把得到的最后的矩阵写成方程组形式再把得到的最后的矩阵写成方程组形式,得得723105546015500001323723554655xxxx 1233723554655xxxx 这时这时,未知量未知量3x是可以任意取值的是可以任意取值的,称为称为自由未知量自由未知量所以得方程组的解为：所以得方程组的解为：1233723554655xxxx 在求出方程组的解后在求出方程组的解后,要注明要注明自由未知量自由未知量.自由未自由未知量的取法是不一唯的知量的取法是不一唯的,但它的但它的个数个数是确定的。是确定的。（即即未知量的个数未知量的个数实际方程个数实
10、际方程个数）()nr AA16上面解题中，上面解题中，最简形阶梯矩阵最简形阶梯矩阵72310554601550000单位阵单位阵阶梯阶梯下面给出一个更为形象的下面给出一个更为形象的最简形阶梯矩阵最简形阶梯矩阵100234010312001126000057000000单位阵单位阵100234010312001126000057000000A17补例补例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 .3222,2353,132432143214321xxxxxxxxxxxx解解对增广矩阵对增广矩阵 进行初等行变换：进行初等行变换：12 31 1(|)31 53 22122 3A B 2000010
11、45011321此时，可以得到方程组无解的结论此时，可以得到方程组无解的结论（从第三行发现到一个问题）（从第三行发现到一个问题）()()r Ar AA18通过上面两个例题，可归纳出解线性方程组通过上面两个例题，可归纳出解线性方程组高斯消元法的一般步骤：高斯消元法的一般步骤：(1)(1)将线性方程组的增广矩阵，通过初等行变换将线性方程组的增广矩阵，通过初等行变换 化为行最简阶梯矩阵；化为行最简阶梯矩阵；（2 2）将最简阶梯矩阵还原成线性方程组，求出方）将最简阶梯矩阵还原成线性方程组，求出方 程组的一般解，标出自由未知量；程组的一般解，标出自由未知量；（3 3）取自由未知量为任意常数字母，写出方程
12、组）取自由未知量为任意常数字母，写出方程组 的全部解，指出常数字母的任意性的全部解，指出常数字母的任意性.A19高斯高斯(Garl Friederich Gauss，17771855)高斯生于德国的布伦兹维克，他是近代数高斯生于德国的布伦兹维克，他是近代数学伟大的奠基者之一，在历史上影响之大，可学伟大的奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列以和阿基米德、牛顿、欧拉并列.高斯很小就显示出了他的数学才能高斯很小就显示出了他的数学才能,小时候小时候,其其 父并不想让他上学父并不想让他上学,由于看父亲算账由于看父亲算账,指出错误指出错误之处之处,才被其父送入小学读书才被其父送入小学读书,当时是班里最小的学生当时是班里最小的学生.但成绩很但成绩很出色。出色。17961796年高斯发现正十七边形的尺规作图法，这是从欧几年高斯发现正十七边形的尺规作图法，这是从欧几18551855年年2 2月月2323日清晨，高斯于睡梦中去世。日清晨，高斯于睡梦中去世。他越来越多的学生也成为有影响的数学家，如后来闻名于世他越来越多的学生也成为有影响的数学家，如后来闻名于世的的Richard DedekindRichard Dedekind和黎曼。和黎曼。里得以来悬而未决的问题，那时他才里得以来悬而未决的问题，那时他才1919岁岁 。
