1、定义域对应法则2.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.3.基本初等函数的性质1.函数的定义及函数的二要素4.初等函数的结构一一.函数函数1.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;（1）函数极限的六种定义（2）函数极限的性质:局部保号性与左右极限等价定理唯一性定理局部有界性2.函数极限二.极限3.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件有限个无穷小的和还是无穷小.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.常数与无穷小的乘积是无穷小.有限个无穷小的乘积是无穷小.(1)数列极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则(2)单调有界数列必有极限两个重要极限
2、1sinlim)1(0e)11(lim)2(或e)1(lim10注注:代表相同的表达式4.极限存在准则0lim,0,)0(C,1,0lim Ck5.无穷小的比较设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小,且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小常用等价无穷小常用等价无穷小:,0时时当当 x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx xx2111 xnxn111 xx 1)1(注注1.上述上述11个等价无穷小（包括反、对、幂、个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握指、三）
3、必须熟练掌握都成立都成立换成换成将将0)(.2 xfx1lnxaxa6.求极限方法 1、代数方法（去零因子、通分、根有理化、恒等变形、分子分母同除x的最高次等）。2、两个重要极限公式的灵活运用 =1,xxxsinlim0exxx1)1(lim0 xn3、洛必达法则（7种未定式的求法）、00（通用代数变形）、010004、等价无穷小替换的灵活运用（通过代数变形）。5、幂指函数型 ，求极限对数法！10006、无穷小乘有界函数=无穷小。7、利用函数连续性求极限。8、变限函数在求极限中（变限函数求导）结论：2.已知分式函数00lim()().xxF xF x()(),()P xF xQ x,0)(0
4、xQ若则0()0,Q x若0lim().xxF x求0()0,P x0()0,P x去公因子再求0lim()xxF x 1.已知多项式00lim()().xxF xF x(),F x则为非负常数)nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当1()0lim 1()xxxe（注意这个极限的特征：注意这个极限的特征：底为两项之和，第一项为底为两项之和，第一项为1，第二项，第二项是是 无穷小量，指数与第二项互为倒数无穷小量，指数与第二项互为倒数。利用变量代换可导出上述极限的一般形式：()1()()lim(1)e,xxx1型型洛必达法则洛
5、必达法则型00,1,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111fggflne（1）若,0)(lim0 xuxx则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx()()ln()lim()limg xg xf xf xe（2）lim()ln()g xf xe幂指函数型 ，求极限对数法！1000)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(.2xf0 x第一类间断点可去间断点:跳跃间断点:左右极限不相等第二类间断点无穷间断点:振荡间断点:函数值在
6、 的去心邻域(左右极限至少有一个不存在)在点间断的类型)(.1xf0 x在点连续的等价形式(左右极限都存在)0lim()xxf x 内变动无限多次0 x左右极限相等,但不等于函数值或无定义y3.连续与可导连续与可导注：函数符号f 和极限号 可以交换次序。0limxx3.初等函数的连续性基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续连续可积可导可微结论：1.导数的实质:axf)(02.axfxf)()(00增量比的极限;0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim0000limxx00)
7、()(xxxfxf)(0 xfxxfxxfx)()(lim000)(xf hxfhxf)()(0limh4.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.3.导数的几何意义:切线的斜率;切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xf)()(00 xfxxfy)(xoxA微分：xAyd记()dyfxdx可导可微()dyfx dxAdx0()dyfx dx5.初等函数的求导问题初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导数(P95)(C0)(x1x)(sin xxcos)(cosxxsin)(tan xx2se
8、c)(cot xx2csc)(secxxxtansec)(cscxxxcotcsc)(xaaaxln)(exxe)(log xaaxln1)(lnxx1)(arcsin x211x)(arccosx211x)(arctan x211x)cot(arcx211x2.有限次四则运算的求导法则)(vuvu)(uCuC )(vuvuvuvu2vvuvu(C为常数)0(v3.复合函数求导法则)(,)(xuufyxydd)()(xuf4.初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,uyddxudd且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数5.求导数(微分)1.熟悉导数定义的极限表达式运算 2.复合函数可导
9、(注意:抽象复合函数可导)3.隐函数求 22,dxyddxdy4.参数方程求 22,dxyddxdy5.变限积分在上面n种情况下求导 6.分段函数求导(注意:分段点处的求法)31xy1、隐函数的导数、隐函数的导数若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数,由)(xfy 表示的函数,称为显函数显函数.例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数隐函数.则称此隐函数求导方法求导方法:0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(注意 y=y(x)(含导数 的方程)y（隐函数的显化）（隐函数的显化）观察函数观察函数.,)
10、4)(3()2)(1(sinxxyxxxxy方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:对数求导法对数求导法，可用来求，可用来求幂指函数幂指函数和和多个因子连乘积多个因子连乘积函数、开方函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导及其它适用于对数化简的函数的求导对数求导法对数求导法2.若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(,)(tt可导,且,0)()(22tt则0)(t时,有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)(t时,有yxddyttxdd
11、ddtytxdd1dd)()(tt(此时看成 x 是 y 的函数)关系,若上述参数方程中)(,)(tt二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt)()(tt)(t)()()()()(3ttttt ddd()dddyttxxtxdd)()(ddttxy)(tx且,0)(t则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数.利用新的参数方程,可得导数应用导数应用1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2.微分中值定理的应用关键关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中
12、值问题的结论一、一、微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用则设,)(baCxf在)(.1xf上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当0)()(bfaf时,),(ba使.0)(f必存在,ba上有界;在)(.2xf,ba在)(.3xf,ba闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 二、二、导数应用导数应用1.研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,2.解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题3.其他应用:求不定式极限;几何应用;证明不等式;1.可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递增Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递减2.曲线凹
13、凸与拐点的判别Ixxf,0)(上向上凹在曲线Ixfy)(Ixxf,0)(+上向上凸在曲线Ixfy)(拐点拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点(极值第一判别法极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1)(xf“左左正正右右负负”,;)(0取极小值在则xxf(2)(xf“左左负负右右正正”,.)(0取极大值在则xxf 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号，则x0不是f(x)的极值点.3.极值(极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数,且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)()1(0 xf若则 在点 取极大值;)(xf
14、0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值.)(xf0 x欲求连续函数f(x)的极值点，需(1)求出f(x)的定义域.(4)如果函数在驻点处的函数的二阶导数易求，可以利用判定极值第二充分条件判定其是否为极值点.(2)求出 .在f(x)的定义域内求出f(x)的全部驻点及导数不存在的点.)(xf(3)判定在上述点两侧 的符号，利用判定极值第一充分条件判定其是否为极值点.)(xf 4.最值问题最值问题,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到.求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求 在 内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2)最大值 maxM,
15、)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf最小值 minm,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf（驻点或导数不存在的点）特别特别:当 在 内只有一个一个极值可疑点时,)(xf,ba 当 在 上单调单调时,)(xf,ba最值必在端点处达到.若在此点取极大 值,则也是最大 值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点.(小)5.5.渐近线渐近线若,)(limbxfx则曲线)(xfy 有水平渐近线.by)(x或若,)(lim0 xfxx则曲线)(xfy 有铅直渐近线.0 xx)(0 xx或有则曲线)(xfy 斜渐近线.bxk
16、y)(x或若,0)(limxfx)(bxk xxfkx)(lim)(limxkxfbx)(x或)(x或求积分求积分 1.凑微分法凑微分法 2.换元法换元法 3.分步积分法分步积分法 4.奇偶函数在对称区间上的积分奇偶函数在对称区间上的积分 5.换元法与分步积分法的结合换元法与分步积分法的结合 6.一些小技巧一些小技巧 不定积分一、不定积分的基本概念与性质一、不定积分的基本概念与性质1原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念(1)原函数的定义：原函数的定义：(2)不定积分的定义：不定积分的定义：设设为为 一个原函数，则一个原函数，则 ()F x()f x()()f x dxF xC在区间在区
17、间 上，若上，若()()F xf x,a b则称则称是是 在在 上原函数。上原函数。()F x()f x,a b2不定积分的性质不定积分的性质(1)线性性质：线性性质：1212()()()()k f xk g x dxkf x dx kg x dx(2)微分与积分运算：微分与积分运算：()();df x dxf xdx()();d f x dxf x dx)();F(x dxF xC()()C dF xF x二、基本计算方法二、基本计算方法1直接积分直接积分法法 首先要对被积函数进行恒等变形，然后利首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定积分的基本性质和基本积分表求出不用不定积分的基本性质和
18、基本积分表求出不定积分。定积分。常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,2第一类换元法（凑微分法）：第一类换元法（凑微分法）：设设，则，则()()F uf u()()()()fxx dxfx dx()FxC常用的几种配元形式常用的几种配元形式:1)()df axbx()f axb)(dbxa a112)()dnnf xxx)(nxfnxdn113)()dnf xxx)(nxfnxdn1nx1万能凑幂法4)(sin)cos dfxx x)(sin xfxsind21sincosnkxxdx（适合求形如的积分）（P197例12）xxxfdsec)(tan)62)(tan xfxta
19、ndxfxxde)(e)7)(exfxedxxxfd1)(ln)8)(lnxfxlnd2tansecnkxxdx的积分）（适合求形如5)(cos)sin dfxx x)(cos xfxcosd21sincosknxxdx的积分）（适合求形如(sec)(sec)fx dx21tansecknxxdx的积分）（适合求形如(sec)sec tanfxxxdx 9）（P199例17）1()fxdxx2()fx dx10)(1)分项积分:(2)降低幂次:等xx22cossin1;)2cos1(sin212xx;)2cos1(cos212xx利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如常用简化技巧常用简化技巧
20、:3第二类换元法（变量置换法）：第二类换元法（变量置换法）：1()()()()txf x dxftt dt第二类换元法：第二类换元法：三角代换三角代换 倒代换倒代换简单无理函数代换简单无理函数代换 注意：注意：式中式中 回代。回代。()xt必须单调可导，对必须单调可导，对t作完积分后作完积分后,要用反函数要用反函数1()tx第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:,d),()1xbaxxfn令nbxat,d),()2xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()322xxaxf令taxsin或taxcos,d),()422xxaxf令tan,xat,d),()522xaxxf令secxa
21、t2secdxatdt7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换倒代换,d)()6xafx令,xtalnxdtaadx,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令.,的最小公倍数为nmp8)4分部积分法：分部积分法：uvdxuvuvdx或或udvuvvdu使用原则使用原则:1)由v易求出 v;2)xvud比xvud好求.一般经验:按“反反,对对,幂幂,指指,三三”的顺序,排前者取为 u,排后者取为.v题目类型题目类型:分部化简;循环解出;5有理函数的积分法：有理函数的积分法：积分法要点：积分法要点：若是假分式，先作多项式除法，使若是假分式，先作多项式除法，使使之变为一次分式和二次分式的代数和。使
22、之变为一次分式和二次分式的代数和。之变为：之变为：“多项式多项式+真分式真分式”。对真分式进行分项，。对真分式进行分项，其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,(2qpkN(1)用拼凑法(2)用赋值法分解方法分解方法：定积分定积分1定积分的定义：定积分的定义：定积分定义的四要素：分割；近似；求和；取极限定积分定义的四要素：分割；近似；求和；取极限2定积分的几何意义：定积分的几何意义：01()lim()nbiiaifx dxfx badxxfA)(用图表示用图表示:一、定积分的概念与性质一、定积分的概念与性质 xy()yf x0ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积()0f x
23、 3可积的充分条件可积的充分条件 若若 在区间在区间 上连续，则上连续，则 在在 上可积上可积.()f x ba,()f x ba,若若 在区间在区间 上有界，且只有限个间断点，上有界，且只有限个间断点，则则 在在 上可积上可积.()f x ba,()f x ba,4定积分的性质定积分的性质反号性：反号性：dxxfdxxfabba )()(与积分变量无关性：与积分变量无关性：()()bbaaf x dxf t dt 线性性质：线性性质：1212()()()()bbbaaak f xk g x dxkf x dxkg x dx区间可加性区间可加性:()()()bcbaacf x dxf x dx
24、f x dx0d)(aaxxf区间长：区间长：1badxba保号性：如果在区间保号性：如果在区间 上上,，则，则 ba,()0f x ()0 baf x dx 单调性：如果在区间单调性：如果在区间 上上,则则 ba,)()(xgxf()()bbaaf x dxg x dx 估值定理：设估值定理：设 和和 分别是函数分别是函数 在区间在区间 上的上的 最大值和最小值，则最大值和最小值，则Mm)(xf ba,baabMdxxfabm)()()()aaf x dx 奇偶对称性：若奇偶对称性：若 在在 上连续，则上连续，则)(xf aa,二、积分上限函数与牛顿二、积分上限函数与牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹
25、公式 1积分上限函数：积分上限函数：()()xaxf t dt)(xf是奇函数是奇函数)(xf是偶函数是偶函数02(),af x dx 0，设函数设函数 在区间在区间 上连续，则称上连续，则称)(xf ba,定积分中值定理：如果函数定积分中值定理：如果函数 在闭区间在闭区间 上连续上连续,则至少存在一点则至少存在一点 ,使下式成立：使下式成立：)(xf ba,(,)a b ()()()baf x dxfba 为积分上限函数为积分上限函数.)()(xfdttfdxdxa (1)(2).()()()(xxfdttfdxdxa (3)()()()()()()()xxdf t dtfxxfxxdx 3
26、牛顿牛顿莱布尼兹公式：莱布尼兹公式：若函数若函数 为连续函数为连续函数 在区间在区间 上的一个原函数，则上的一个原函数，则)(xF)(xf ba,baaFbFdxxf)()()(2积分上限函数的导数积分上限函数的导数bxttfxd)(dd)(xf三、定积分的计算方法三、定积分的计算方法求定积分的总体原则：求定积分的总体原则：先求被积函数先求被积函数 的原函数的原函数 ,然后利用牛顿然后利用牛顿莱布尼兹公式计算，即莱布尼兹公式计算，即)(xf)(xF baaFbFdxxf)()()(1换元积分法换元积分法（1）凑微分法：）凑微分法：()()()()bbaafxx dxfx dx（2）变量置换法：
27、函数）变量置换法：函数 满足条件：满足条件：)(tx (),a b)(dtttfdxxfbatx)()()()(换元必换限2分部积分法：分部积分法：bababavduuvudv四、反常积分四、反常积分1无穷限的反常积分无穷限的反常积分()lim()taatf x dxf x dx()()()ccf x dxf x dxf x dx()lim()bbttf x dxf x dx,)()(的原函数是若xfxF引入记号;)(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛 莱公式的计算表达式:xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(F
28、F2无界函数的反常积分无界函数的反常积分设设 为为 的瑕点的瑕点,则则 a)(xf()lim()bbattaf x dxf x dx 设设 为为 的瑕点的瑕点,则则b)(xf()lim()btaatbf x dxf x dx 设设 为为 的瑕点，则有的瑕点，则有)(bcac )(xf()()()bcbaacf x dxf x dxf x dxlim()lim()tbattctcf x dxf x dx注意注意:若瑕点,)()(的原函数是设xfxF计算表达式:xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点,则若
29、 a 为瑕点,则若 a,b 都为瑕点,则,),(bac则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF一、定积分应用的类型一、定积分应用的类型1几何应用几何应用 平面图形的面积平面图形的面积特殊立体的体积特殊立体的体积平面曲线弧长平面曲线弧长 旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为平行截面面积为已知立体的体积已知立体的体积定积分应用定积分应用二、构造微元的基本思想及解题步骤二、构造微元的基本思想及解题步骤1.构造微元的基本思想构造微元的基本思想元素法的实质是局部上元素法的实质是局部上“以直代曲以直代曲”、“以不变代变以不变代变”、“以均匀变化代不均匀变化以均匀变化代不均匀变化”的方法，其的方
30、法，其“代替代替”的原则必须的原则必须是是无穷小量无穷小量之间的代替。将局部之间的代替。将局部 上所对上所对应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成定积分定积分 ,badxxx badxxf)(无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。2.在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤：在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤：选取适当的坐标系；选取适当的坐标系；确定积分变量和变化范围；确定积分变量和变化范围；在在 上求出微元解析式（积分式）。上求出微元解析式（积分式）。,x xdx 把所求的量表示成定
31、积分把所求的量表示成定积分().baf x dx 3 3、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐标情形直角坐标情形abab如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.参数方程所表示的函数参数方程
32、所表示的函数 dA2)(21xo d)(r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122极坐标情形极坐标情形(2)体积体积xdxx xyodxxfVba2)(dyyVdc2)(xyo)(yx cdxo badxxAV)(xdxx ab平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积)(xA(3)平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长弧长dxysba 21A曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )(t其其中中)(),(tt 在在,上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长dttts )()(22)(xfy B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为)()(rr 弧长弧长 drrs )()(22
