1、四、小结四、小结 思考题思考题二、泰勒中值定理二、泰勒中值定理一、问题的提出一、问题的提出三、简单应用三、简单应用2/21设设)(xf在在0 x处处连连续续,则则有有 设设)(xf在在0 x处处可可导导,则则有有 例例如如：当当x很很小小时时,xex 1,xx )1ln()()(0 xfxf)()()()(0000 xxoxxxfxfxf （如下图）（如下图）)()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf 1 1、低次多项式近似、低次多项式近似xey xy 1oxy)1ln(xy xy oxy存在不足：存在不足：以直代曲近似以直代曲近似精确度不高；精确度不高；误差不能估计。误差不能
2、估计。3/21思路思路:寻寻找找高高次次多多项项式式函函数数 P(x)，使使得得)()(xPxf；误误差差)()()(xPxfxR 可可估估计计。设设函函数数 f(x)在在含含有有 x0的的开开区区间间内内具具有有直直到到 (n+1)阶阶导导数数，试试找找出出一一个个关关于于(x-x0)的的 n 次次多多项项式式:nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 来来近近似似表表达达 f(x)，误误差差 Rn(x)=f(x)-Pn(x)是是比比(x-x0)n高高阶阶的的无无穷穷小小，并并给给出出误误差差的的具具体体表表达达式式。2 2、高次多项式近似、高次多项式近似提出问题提出问题
3、:分析分析:,)(,),(),()(0)(0000即满足即满足相等相等处的值依次与处的值依次与阶导数在阶导数在处的函数值及它直到处的函数值及它直到在在假设假设xfxfxfxnxxPnn),()(00 xfxPn).()(,),()(0)(0)(00 xfxPxfxPnnnn ),()(00 xfxPn 4/210 x)(xfy oxy假设的理由假设的理由)()(00 xfxPn)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.2.若有相同的切线若有相同的切线3.3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相交点相交0 x5/21),(00 xfa nn
4、nxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 ),(101xfa )(!202xfa ,)(!0)(xfannn nkxfxPkkn,2,1,0)()(0)(0)(由由假假设设).,2,1,0()(!10)(nkxfkakk 得得中得中得代入代入)(xPn多项式系数的确定多项式系数的确定下面定理表明，上式多项式即为要找的下面定理表明，上式多项式即为要找的n n次多项式。次多项式。6/21TaylorTaylor 中中值值定定理理 若若)(xf在在含含有有0 x的的某某个个开开区区间间),(ba内内具具 有有直直到到)1(n阶阶的的导导数数，则则对对
5、任任一一x),(ba，)(xf可可表表示示 为为)(0 xx 的的一一个个n次次多多项项式式与与一一个个余余项项)(xRn之之和和：其其中中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(在0 x与与x之之间间).).)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 1 1、泰勒中值定理及泰勒公式、泰勒中值定理及泰勒公式定理的证明定理的证明:),()()(xPxfxRnn 由由10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(在0 x与与x之之间间).).只需证明只需证明7/21由由假假设设，)(xRn在在),(ba内内具具有有直直到到
6、)1(n阶阶导导数数，且且 对对两两函函数数)(xRn及及10)(nxx在在以以0 x及及x为为端端点点的的区区间间 上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的条条件件，得得 )()(1()(01011之间之间与与在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn再再对对两两函函数数)(xRn 及及nxxn)(1(0 在在以以0 x及及1 为为端端点点的的 区区间间上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的条条件件，得得 0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR )()(1(
7、)(1021022之间之间与与在在 xxnnRnn 如如此此下下去去，经经过过)1(n次次后后，得得 !1)()()()1(10 nRxxxRnnnn),(00之间之间与与也在也在之间之间与与在在xxxn 8/21 )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 则则由由上上式式得得,0)()1(xPnn)()()1()1(xfxRnnn 注意：注意：称下式为称下式为f f(x x)按按(x x-x x0 0)幂展开幂展开n n次近似多项式次近似多项式 nkkknxxkxfxP000)()(!)()(称下式为称下式为f f(x x)按按(x x-x x0 0)幂展开幂展
8、开n n阶泰勒公式阶泰勒公式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(.)(!1)()(10)1(为拉格朗日余项为拉格朗日余项其中其中 nnnxxnfxR 9/21 1010)1()(!1)(!1)()(nnnnxxnMxxnfxR)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf 带佩亚诺型余项的带佩亚诺型余项的n n阶泰勒公式阶泰勒公式0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 当当0 n时时，泰泰勒勒公公式式变变成成拉拉氏氏中中值值公公式式 )()()()(000之间之间与与在在xxxxfxfxf 取取00 x，在在0与与x之之间间,令
9、令=x(01)，则则余余项项 1)1()!1()()(nnnxnxfxR 可可得得如如下下麦麦克克劳劳林林展展开开式式：10/21)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf 带拉氏余项的麦克劳林带拉氏余项的麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式)10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf2 2、麦克劳林公式、麦克劳林公式带佩氏余项的麦克劳林带佩氏余项的麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式11/21例例 1 1 求求xexf)(的的n阶阶麦麦克克劳劳林林公公
10、式式。解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()(nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式，得代入公式，得).10()!1(!2112 nxnxxnenxxxe由公式可知由公式可知!212nxxxenx 估计误差估计误差)0(x设设).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexR!1!2111,1nex 取取.)!1(3 n其误差其误差)!1(neRn1 1、常用函数的麦克劳林公式、常用函数的麦克劳林公式12/21例例 2 2 求求xxfsin)(的的n阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式。解解),2sin()(,sin)(,cos)()(nxxf
11、xxfxxfn 1)0(0)0(,1)0(,0)0(,1)0(,0)0()()4(nffffff)2(mn 令令等等，它们顺序循环地取四个数等等，它们顺序循环地取四个数0,1,0,-10,1,0,-1，于是得，于是得.)!12()1(!5!3sin212153mmmRmxxxxx 其中其中).10()!12(2)12(sin)(122 mmxmmxxR,sin,1xxm 得得近近似似公公式式取取其误差其误差)10(6|!3)23sin(332 xxxR13/21 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(
12、!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 14/21例例 3 3 计计算算 403cos2lim2xxexx .解解)(!2114422xoxxex )(!4!21cos542xoxxx )()!412!21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx 原式原式.127 2 2、求极限的应用、求极限的应用15/21xy xysin 播放播放（1 1）T Tayloraylor 公公式式在在近近似似计计
13、算算中中的的应应用用;3 3、关于公式的理解、关于公式的理解16/21xy xysin!33xxy o（1 1）T Tayloraylor 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;3 3、关于公式的理解、关于公式的理解17/21xy xysin!33xxy o!5!353xxxy （1 1）T Tayloraylor 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;3 3、关于公式的理解、关于公式的理解18/21xy xysin!33xxy !5!353xxxy !7!5!3753xxxxy o（1 1）T Tayloraylor 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;3 3、关于
14、公式的理解、关于公式的理解19/21xysin!11!9!7!5!3119753xxxxxxy o（1 1）T Tayloraylor 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;3 3、关于公式的理解、关于公式的理解20/21播放播放（2 2）T Tayloraylor 公公式式的的数数学学思思想想-局局部部逼逼近近.21/21（2 2）T Tayloraylor 公公式式的的数数学学思思想想-局局部部逼逼近近.22/21（2 2）T Tayloraylor 公公式式的的数数学学思思想想-局局部部逼逼近近.23/21（2 2）T Tayloraylor 公公式式的的数数学学思思想想-局局部
15、部逼逼近近.24/21（2 2）T Tayloraylor 公公式式的的数数学学思思想想-局局部部逼逼近近.25/21（2 2）T Tayloraylor 公公式式的的数数学学思思想想-局局部部逼逼近近.26/21（2 2）T Tayloraylor 公公式式的的数数学学思思想想-局局部部逼逼近近.27/21（2 2）T Tayloraylor 公公式式的的数数学学思思想想-局局部部逼逼近近.28/21（2 2）T Tayloraylor 公公式式的的数数学学思思想想-局局部部逼逼近近.29/21（2 2）T Tayloraylor 公公式式的的数数学学思思想想-局局部部逼逼近近.30/21（
16、2 2）T Tayloraylor 公公式式的的数数学学思思想想-局局部部逼逼近近.31/21（2 2）T Tayloraylor 公公式式的的数数学学思思想想-局局部部逼逼近近.32/21（2 2）T Tayloraylor 公公式式的的数数学学思思想想-局局部部逼逼近近.33/21（2 2）T Tayloraylor 公公式式的的数数学学思思想想-局局部部逼逼近近.34/21（2 2）T Tayloraylor 公公式式的的数数学学思思想想-局局部部逼逼近近.35/21（2 2）T Tayloraylor 公公式式的的数数学学思思想想-局局部部逼逼近近.36/211 1、低次多项式近似、低
17、次多项式近似一、问题的提出一、问题的提出2 2、高次多项式近似、高次多项式近似二、泰勒中值定理二、泰勒中值定理1 1、泰勒中值定理及泰勒公式、泰勒中值定理及泰勒公式2 2、麦克劳林公式、麦克劳林公式三、简单的应用三、简单的应用1 1、常用函数的麦克劳林公式、常用函数的麦克劳林公式2 2、求极限的应用、求极限的应用3 3、关于公式的理解、关于公式的理解四、小结四、小结练习：练习：第第143143页页 1 1；7 7；9 9（1 1）；）；1010（1 1）。）。思考题思考题利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限30)1(sinlimxxxxexx 作业：作业：第第143143页页 2 2；4 4；
18、6 6；1010（3 3）。）。37/21)(!3!21332xoxxxex )(!3sin33xoxxx 30)1(sinlimxxxxexx3333320)1()(!3)(!3!21limxxxxoxxxoxxxx 33330)(!3!2limxxoxxx .31 38/21一、一、当当10 x时，求函数时，求函数xxf1)(的的n阶泰勒公式阶泰勒公式 .二、二、求函数求函数xxexf)(的的n阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式.三、三、验证验证210 x时，按公式时，按公式62132xxxex 计算计算xe的近似值，可产生的误差小于的近似值，可产生的误差小于 0.010.01，并求，并求e的的近似值，使误差小于近似值，使误差小于 0.010.01.四、四、应用三阶泰勒公式求应用三阶泰勒公式求330的近似值，并估计误差的近似值，并估计误差.五、五、利用泰勒公式求极限：利用泰勒公式求极限：1 1、xexxx420sincoslim2 ；2 2、)11ln(lim2xxxx .39/21一、一、)1()1()1(112nxxxx )1,0()1(1)1()1(211 nnnxx.二、二、)!1(!232 nxxxxxenx )10(,)1()!1(11 nxxexnn.三、三、645.1 e.四、四、5331088.1,10724.330 R.五、五、1 1、121.2.2、21.
