3.7 多项式的零点估计 既然一般的5次以上方程没有准确的求根公式，人们仍然期望得到多项式的近似根，至少得到根的位置的估计，这就是本节的任务. 引理3.16(c) 若复系数多项式 则当x充分大时，有 其中k是任意正实数. 证明 令,则有 现假设|x|1,则 欲使 只要取 即 就有 定理3.17 复系数n次多项式 的根的模小于1+.其中 证明 在引理3.16(c)中令k=1,当x充分大，即时， 所以这时x不可能是f(x)的根，即f(x)的根的模小于1+. 定理3.18 已知正实系数n次多项式 如果f(x)的系数是递减的，即 则f(x)的根均有|1. 证明 因为 显然有 对于任意复数，有 注意 如果的根，则 但 当时 这与矛盾.所以的模不能大于1. 推论3.18(a) 若正实数多项式的系数均为正数，而且满足 .证明 令因为，故 所以g(x)的系数是正的，且为递减的，因而由定理3.18知，g(x)的根的模小于等于1. 如果的根， 则的根.因 另一方面 的根是的根的倒数. 由于，所以 同理可证的根的模例 求方程的根的上下限. 解 由引理3.16(c),f(x)的根的模上限为再由推论3.18(a)可得数列为 所以 所以f(x)的根. 练习3.7 求下列多项式根的上下限： 1 2
