1、 高考数学备考训练-基本不等式一、选择题1下列不等式证明过程正确的是()A若a，bR，则22B若x0，y0，则lgxlgy2C若x0，则x24D若x22答案D解析x12x2x22D正确而A、B首先不满足“一正”，C应当为“”2函数ylog2(x5)(x1)的最小值为()A3B3C4 D4答案B解析x5(x1)626268当且仅当x1即x2时取“”号ylog2(x5)log2833若a，bR，ab2，则的最小值等于()A1 B3C2 D4答案C解析a，bR，ab2，2.4(09天津)设a0，b0.若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8 B4C1 D.答案B解析由题有()23a3bab1，
2、又a0，b0，()(ab)11224，的最小值为4.5“a”是“对任意的正数x,2x1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析令p：“a”q：“对任意的正数x,2x1”若p成立，则a，则2x2x21，即q成立，pq；若q成立，则2x2xa0恒成立，解得a，q/ p.p是q的充分不必要条件6(2011皖南八校)已知二次函数f(x)ax22xc(xR)的值域为0，)，则的最小值为()A4 B4C8 D8答案A解析f(x)ax22xc的值域为0，)，则由0，a0得c，a2a(a2)(a)4(当且仅当a即a1时取等号)7(2010四川卷，文)设ab0，则a
3、2的最小值是()A1 B2C3 D4答案D解析a2a2a24，当且仅当bab且a2，即a，b时“”都成立，故原式最小值为4，选D.8(2011深圳第一次调研)已知所有的点An(n，an)(nN*)都在函数yax(a0，a1)的图象上，则a3a7与2a5的大小关系是()Aa3a72a5Ba3a70，a1)的图象上，所以有anan，故a3a7a3a7，由基本不等式得：a3a722a5(因为a0，a1，从而等号不成立)，又2a52a5，故选A.二、填空题9已知x0，y0,2xy1，则xy的最大值为_答案解析2xy()2，xy(当且仅当2xy即x，y时取“”号)xy的最大值为.10设x0，y0，且(x
4、1)(y1)2，则xy的取值范围为_答案32，)解析(x1)(y1)xy(xy)1xy21又(x1)(y1)2，即xy2121，xy3211若a0，b0，ab1，则ab的最小值为_答案解析ab()2当且仅当ab时取等号yx在x(0，上为减函数ab的最小值为412若x，yR，且x2y5，则3x9y的最小值_答案18解析3x9y22218三、解答题13已知a、b、c都是正实数，且满足log9(9ab)log3，求使4abc恒成立的c的取值范围答案00，所以要使4abc恒成立，c的取值范围为01)的最小值解析x1，x10.y(x1)52 59.当且仅当x1，即x1时，等号成立当x1时，函数y(x1)
5、的最小值为9.15某学校拟建一块周长为400 m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？答案把矩形的长和宽分别设计为100 m和 m时，矩形区域面积最大解析设矩形的长为x，宽为y则2x2()400y(200x)(0xa，所以2x2(xa)2a22a2a4，即2a47，所以a，即a的最小值为.3某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用(单位：万元)恰好为每次的购买吨数，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_答案20
6、解析设每次购买该种货物x吨，则需要购买次，则一年的总运费为2，一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为x240，当且仅当x，即x20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨自助餐恒成立问题(1)f(x)0(或0)恒成f(x)max0(或f(x)min0)(2)含参数不等式恒成立问题，首选方法是分离参数转化为f(x)a(或a)形式，其次是数形结合例1(2010山东卷，理)若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_【解析】若对任意x0，a恒成立，只需求得y的最大值即可因为x0，所以y，当且仅当x1时取等号，所以a的取值范围是，)【答案】，)例2设x0，y0，不等式0恒成立，则实数m的最小值是_【解析】原问题等价于()恒成立，x0，y0，等价于m()(xy)的最大值，而()(xy)2()224，当且仅当xy时取“”，故m4.【答案】4例3(2010天津卷，文)设函数f(x)x.对任意x1，)，f(mx)mf(x)0恒成立，则实数m的取值范围是_【解析】由题知，mxmx0在1，)上恒成立，即2mx0时，即x2在1，)上恒成立，由于函数g(x)x2无最大值，此时不存在满足题意的m；当m0时，即x2在1，)上恒成立，即1，解得m1，即m的取值范围是(，1)【答案】(，1)6 / 6
