1、概率论与数理统计习题答案 精选版浙大第四版说明：剩余习题在学习辅导与习题选解第一章概率论的基本概念1. 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（一 1），n 表小班人数（3） 生产产品直到得到 10 件正品，记录生产产品的总件数。（一 2） S=10，11，12，n，（4） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满 4 次 才 停 止 检 查 。 （ 一 (3)） S
2、=00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，2. 设 A，B，C 为三事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。（1）A 发生，B 与 C 不发生。表示为： A 或 A (AB+AC)或 A (BC)（2）A，B 都发生，而 C 不发生。表示为： AB 或 ABABC 或 ABC表示为：A+B+C （3）A，B，C 中至少有一个发生（4）A，B，C 都发生，表示为：ABC表示为：或 S (A+B+C)或（5）A，B，C 都不发生，（6）A，B， C 中不多于一个发生，即 A，B，C 中至少有两个同时不发生 相当于,中至
3、少有一个发生。故表示为：。（7） A，B，C 中不多于二个发生。 相当于：A,C 中至少有一个发生。故表示为：或 ABC（8） A，B，C 中至少有二个发生。相当于：AB，BC，AC 中至少有一个发生。故表示为：AB+BC+AC6. 在房间里有 10 人。分别佩代着从 1 号到 10 号的纪念章，任意选 3 人记录其纪念章的号码。（1） 求最小的号码为 5 的概率。记“三人纪念章的最小号码为 5”为事件 A10 人中任选 3 人为一组：选法有种，且每种选法等可能。又事件 A 相当于：有一人号码为 5，其余 2 人号码大于 5。这种组合的种数有（2） 求最大的号码为 5 的概率。记“三人中最大的
4、号码为 5”为事件 B，同上 10 人中任选 3 人，选法有种，且每种选法等可能，又事件 B 相当于：有一人号码为 5，其余 2 人号码小于 5， 选法有种7. 某油漆公司发出 17 桶油漆，其中白漆 10 桶、黑漆 4 桶，红漆 3 桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货 4 桶白漆，3 桶黑漆和 2 桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？记所求事件为 A。9 在 17 桶中任取 9 桶的取法有 C17 种，且每种取法等可能。取得 4 白 3 黑 2 红的取法有 C10故8. 在 1500 个产品中有 400 个次品，1100 个正品，任意取 200 个。
5、（1）求恰有 90 个次品的概率。记“恰有 90 个次品”为事件 A在 1500 个产品中任取 200 个，取法有种，每种取法等可能。个产品恰有 90 个次品，取法有种（2）至少有 2 个次品的概率。记：A 表“至少有 2 个次品”B0 表“不含有次品”，B1 表“只含有一个次品”，同上，200 个产品不含次品，取法有种， 200 个产品含一个次品， 取法有种且 B0，B1 互不相容。9. 从 5 双不同鞋子中任取 4 只，4 只鞋子中至少有 2 只配成一双的概率是多少？记 A 表“4 只全中至少有两支配成一对” 则表“4 只人不配对”从 10 只中任取 4 只，取法有种，每种取法等可能。要
6、4 只都不配对，可在 5 双中任取 4 双，再在 4 双中的每一双里任取一只。取法有11. 将三个球随机地放入 4 个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是 1，2，3， 的概率各为多少？记 Ai 表“杯中球的最大个数为 i 个” i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有 43 种，每种放法等可能对 A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法 432 种。(选排列：好比 3 个球在 4 个位置做排列)种。 对 A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有C32(从 3 个球中选 2 个球，选法有 C3，再将此两个球放入一个杯中，选法有 4种，最后将剩余的 1 球放入其余的一个杯中，
7、选法有 3 种。对 A3：必须三球都放入一杯中。放法有 4 种。(只需从 4 个杯中选 1 个杯子，放入此3 个球，选法有 4 种)12. 50 个铆钉随机地取来用在 10 个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用 3 只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？记 A 表“10 个部件中有一个部件强度太弱”。法一：用古典概率作：把随机试验 E 看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完 10 个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但 10 组钉铆完 10 个部件要分先后次序）对 E：铆法有 C50 种，每种装法等可能对 A：三个次钉必
8、须铆在一个部件上。这种铆法有C310种法二：用古典概率作把试验 E 看作是在 50 个钉中任选 30 个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）3 对 E：铆法有 A50 种，每种铆法等可能对 A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，或“28，29，位置上。这种铆法有 A3 种14.(1)已知求。解一：故有注意P (AB)=P (A)P (A)=0.70.5=0.2。再由加法定理，P(A )=P故(A)+P() P(A)=0.7+0.6 0.5=0.8于 是解二由已知1定义求。 432定义 P(AB)P(A)P(B|A)由已知条件有解：由P(A|B)
9、P(B)P(B)2P(B)6由加法公式，得由乘法公式，得15. 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为 7，求其中有一颗为 1 点的概率（用两种方法）。解：（方法一）（在缩小的样本空间 SB 中求 P(A|B)，即将事件 B 作为样本空间，求事件 A 发生的概率）。掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且满足 x,+y=7，则样本空间为S=(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)每种结果（x, y）等可能。A=掷二骰子，点数和为 7 时，其中有一颗为 1 点。故方法二：（用公式S=(x
10、, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6每种结果均可能A=“掷两颗骰子，x, y 中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x,+y=7”。则，2故616. 据以往资料表明，某一 3 口之家，患某种传染病的概率有以下规律： P(A)=P孩子得病=0.6，P (B|A)=P母亲得病|孩子得病=0.5，P (C|AB)=P父亲得病|母亲及孩子得病=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：所求概率为 P (AB)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求 P (|AB)P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.60.5=0.3, P (
11、|AB)=1P (C |AB)=10.4=0.6.从而 P (ABC)= P (AB) P(C|AB)=0.3 0.6=0.18.17. 已知 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（记为事件 A）法一：用组合做 在 10 只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。法二：用排列做 在 10 只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。2A8法三：用事件的运算和概率计算法则来作。记 A1，A2 分别表第一、二次取得正品。（2）二只都是次品（记为事件 B）法一： 法二：法三：2A1
12、0 法二：（3）一只是正品，一只是次品（记为事件 C）（4）第二次取出的是次品（记为事件 D）法一：法三：且A12与1A2互斥法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，法二：法三：且A12与1A2互斥18. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？记 H 表拨号不超过三次而能接通。Ai 表第 i 次拨号能接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。三种情况互斥如果已知最后一个数字是奇数（记为事件 B）问题变为在 B 已发生的条件下，求H 再发生的概率。19. (1)设有甲、
13、乙二袋，甲袋中装有 n 只白球 m 只红球，乙袋中装有 N 只白球M 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版 19 题(1)）记 A1，A2 分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记 B 表“再从乙袋中取得白球”。B=A1B+A2B 且 A1，A2 互斥 P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2)(2) 第一只盒子装有 5 只红球，4 只白球；第二只盒子装有 4 只红球，5 只白球。先从第一盒子中任取 2 只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。记 C1 为“
14、从第一盒子中取得 2 只红球”。C2 为“从第一盒子中取得 2 只白球”。C3 为“从第一盒子中取得 1 只红球，1 只白球”，D 为“从第二盒子中取得白球”，显然 C1，C2，C3 两两互斥，C1C2C3=S， 由全概率公式，有P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3)21. 已知男人中有 5%是色盲患者，女人中有 0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解：A1=男人，A2=女人，B=色盲，显然 A1A2=S，A1 A2= 由已知条件知由贝叶斯公式，有22. 一学生
15、接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为 P，若第一次及格P 则第二次及格的概率也为 P；若第一次不及格则第二次及格的概率为 2（1） 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（2） 若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解：Ai=他第 i 次及格，i=1,2已知 P (A1)=P (A2|A1)=P，（1）B=至少有一次及格所以两次均不及格（*） 定义 P(A1A2)（2）P(A1A2) P(A2)由乘法公式，有 P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2 由全概率公式，有P2将以上两个结果代入（*）得24. 有两箱同种类型的零件。第一
16、箱装 5 只，其中 10 只一等品；第二箱 30 只， 其中 18 只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：设 Bi 表示“第 i 次取到一等品”i=1，2 Aj 表示“第 j 箱产品” j=1,2，显然 A1A2=S（1） 。（B1= A1B +A2B 由全概率公式解）25023055（2）（先用条件概率定义，再求 P (B1B2)时，由全概率公式解）25. 某人下午 5:00 下班，他所积累的资料表明：某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是
17、乘汽车，结果他是 5:47 到家的，试求他是乘地铁回家的概率。解：设 A=“乘地铁”，B=“乘汽车”，C=“5:455:49 到家”，由题意,AB=,AB=S 已知：P (A)=0.5,P (C|A)=0.45,P (C|B)=0.2,P (B)=0.5由贝叶斯公式有34.（1）设有 4 个独立工作的元件 1，2，3，4。它们的可靠性分别为 P1，P2， P3，P4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。记 Ai 表示第 i 个元件正常工作，i=1，2，3，4，A 表示系统正常。 A=A1A2A3+ A1A4 两种情况不互斥(加法公式) P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4
18、)P (A1A2A3 A4)= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)= P1P2P3+ P1P4P1P2P3P4(A1, A2, A3, A4 独立)(2) 如图 1，2，3，4，5 表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为 p， 且设各继电器闭合与否相互独立，求 L 和 R 是通路的概率。记 Ai 表第 i 个接点接通记 A 表从 L 到 R 是构成通路的。 4 5A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2 四种情况不互斥P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P
19、 (A4A3A2)P (A1A2A3A5)+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5) +(A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)P (A1A2 A3 A4A5)又由于 A1，A2， A3， A4，A5 互相独立。故P (A)=p2+ p3+ p2+ p3p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4+ p5 + p5+ p5+ p5p5=2 p2+ 3p35p4 +2 p537. 设第一只
20、盒子装有 3 只蓝球，2 只绿球，2 只白球；第二只盒子装有 2 只蓝球，3 只绿球，4 只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。（1）求至少有一只蓝球的概率，（2） 求有一只蓝球一只白球的概率，（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。解：记 A1、A2、A3 分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B1、B2、B3 分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。（1） 记 C=至少有一只蓝球C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5 种情况互斥由概率有限可加性，得独立性1112132131（2） 记 D=有一只蓝球，一只白球，而且知 D=
21、A1B3+A3B1 两种情况互斥(A3)P(B1)（3） 注意到38. 袋中装有 m 只正品硬币，n 只次品硬币，（次品硬币的两面均印有国徽）。在袋中任取一只，将它投掷 r 次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？解：设“出现 r 次国徽面”=Br“任取一只是正品”=A由全概率公式，有m1r（条件概率定义与乘法公式）39. 设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏 2%（这一事件记为A1），10%（事件 A2），90%（事件 A3）的概率分别为 P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05，现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记
22、为B），试分别求 P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地） B 表取得三件好物品。B=A1B+A2B+A3B 三种情况互斥由全概率公式，有P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3)=0.8(0.98)3+0.15(0.9)3+0.05(0.1)3=0.8624P(A2B)P(A2)P(B|A240. 将 A，B，C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为 ，而输出为其它一字母的概率都是(1)/2。今将字母串 AAAA，BBB
23、B，CCCC 之一输入信道，输入 AAAA，BBBB，CCCC 的概率分别为 p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知输出为 ABCA，问输入的是 AAAA 的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）解：设 D 表示输出信号为 ABCA，B1、B2、B3 分别表示输入信号为 AAAA， BBBB，CCCC，则 B1、B2、B3 为一完备事件组，且 P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。再设 A 发、A 收分别表示发出、接收字母 A，其余类推，依题意有P (A 收| A 发)= P (B 收| B 发)= P (C 收| C 发)=，P (A 收| B 发)= P
24、(A 收| C 发)= P (B 收| A 发)= P (B 收| C 发)= P (C 收| A 发)= P (C收| B 发又 P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A 收| A 发) P (B 收| A 发) P (C 收| A 发) P (A收| A 发)， 2同样可得于是由全概率公式，得P (B 1 | D ) =由 Bayes 公式，得 P (AAAA|ABCA)=第二章随机变量及其分布2. (1) 一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以 X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律解：X 可以取值 3，4，
25、5，分布律为2110一球为 3 号,两球为 1,2 号2一球为 4 号,再在 1,2,3 中任取两球一球为 5 号,再在 1,2,3,4 中任取两球也可列为下表 X： 3， 4，5 P：2136, 1010103. 设在 15 只同类型零件中有 2 只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X 表示取出次品的只数，（1）求 X 的分布律，（2）画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数 X 可能为 0，1，2 个。3C133C1522 3533C15再列为下表X：0， 1， 2 P： 22121, 3535354. 进行重复独立实验，设每次成功的概率为 p，失败的概率为 q
26、 =1 p(0<p<1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以 X 表示所需的试验次数，求 X 的分布律。（此时称 X 服从以 p 为参数的几何分布。）（2） 将实验进行到出现 r 次成功为止，以 Y 表示所需的试验次数，求 Y 的分布律。（此时称 Y 服从以 r, p 为参数的巴斯卡分布。）（3） 一篮球运动员的投篮命中率为 45%，以 X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出 X 的分布律，并计算 X 取偶数的概率。解：（1）P (X=k)=qk1pk=1,2,（2）Y=r+n=最后一次实验前 r+n1 次有 n 次失败，且最后一次成功（3）P (X=k) = (0.55)
27、k10.45其 中q=1 p ，或 记 r+n=k ， 则5. 一房间有 3 扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。取偶数（1） 以 X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求 X 的分布律。（2） 户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以 Y 表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的， 试求 Y 的分布律。（3） 求试飞次数 X 小于 Y 的概率；求试飞次数 Y 小于 X 的概率。解：（1）X 的可能取值为 1，2
28、，3，n，P X=n=P 前 n1 次飞向了另 2 扇窗子，第 n 次飞了出去，n=1，2，“ 33（2）Y 的可能取值为 1，2，3 1 3P Y=2=P 第 1 次飞向 另 2 扇窗子中的一扇，第 2 次飞了出去PY=1=P 第 1 次飞了出去=P Y=3=P 第 1，2 次飞向了另 2 扇窗子，第 3 次飞了出去全概率公式并注意到注意到 X,Y 独立即同上，故81386. 一大楼装有 5 个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻 t 每个设备使用的概率为 0.1，问在同一时刻（1）恰有 2 个设备被使用的概率是多少？（2）至少有 3 个设备被使用的概率是多少？（3）至多有 3 个设备被使用
29、的概率是多少？（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？8. 甲、乙二人投篮，投中的概率各为 0.6, 0.7，令各投三次。求（1） 二人投中次数相等的概率。记 X 表甲三次投篮中投中的次数Y 表乙三次投篮中投中的次数由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3)= P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3)（2） 甲比乙投中次数多的概率。P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X
30、=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)9. 有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取 10 件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于 2 拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取 5 件，仅当 5 件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为 10%，求（1） 这批产品经第一次检验就能接受的概率（2） 需作第二次检
31、验的概率（3） 这批产品按第 2 次检验的标准被接受的概率（4） 这批产品在第 1 次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率（5） 这批产品被接受的概率解：X 表示 10 件中次品的个数，Y 表示 5 件中次品的个数，由于产品总数很大，故 XB（10，0.1），YB（5，0.1）（近似服从）（1）P X=0=0.9100.349（2）P X2=P X=2+ P X=1=C1022（3）P Y=0=0.9 50.590（4）P 0<X2，Y=0 (0<X2与 Y=2独立)= P 0<X2P Y=0（5）P X=0+ P 0<X2，Y=00.349+0.343=0.692
32、10. 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各 4 杯。如果从中挑 4 杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。（1） 某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2） 某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验 10 次，成功 3 次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。）解：（1）P (一次成功3（2）P (连续试验 10 次，成功 3 次)= C10(136973。此概率太小，按实际推断原理，就认为他确有区分能力。12. 电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布，求（1） 每分钟恰有 8 次呼唤的概率法一：4 泊松分布表）。法二：（直接计算）
33、 8!P ( X= 8 )= P (X 8)P (X 9)（查 = 0.0511340.021363=0.029771（2） 每分钟的呼唤次数大于 10 的概率。P (X>10)=P (X 11)=0.002840（查表计算）(2)每分钟呼唤次数大于 3 的概率。19.以 X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X 的分布函数是求下述概率：（1）P至多 3 分钟；（2）P 至少 4 分钟；（3）P3 分钟至 4 分钟之间；（4）P至多 3 分钟或至少 4 分钟；（5）P恰好 2.5 分钟解：（1）P至多 3 分钟（2）P 至少 4 分钟（3） P3 分钟至 4
34、 分钟之间（4） ） P 至多 3 分钟或至少 4 分钟= P 至多 3 分钟+P 至少 4 分钟（5）P恰好 2.5 分钟= P (X=2.5)=0设随机变量 X 的分布函数为，（2）求（1）P (X<2), P 0<X3, P (2<X<)；（2）求概率密度 fX (x). 解：（1） P(X2)=FX(2)=ln2 ，P(0<X3)=FX(3) FX(0)=1 ， P(2其它21.设随机变量 X 的概率密度 f(x)为（2）（1） 其它其他求 X 的分布函数 F (x)，并作出（2）中的 f (x)与 F (x)的图形。 解：当1x1时：当 1<x 时
35、 ： 故分布函数为：解：（2）当时时x2 当时时当当故分布函数为（2）中的 f (x)与 F (x)的图形如下x 23.某种型号的电子的寿命 X（以小时计）具有以下的概率密度：x2其它现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取 5 只，问其中至少有 2 只寿命大于 1500 小时的概率是多少？解：一个电子管寿命大于 1500 小时的概率为令 Y 表示“任取 5 只此种电子管中寿命大于 1500 小时的个数”。则 YB(5,2)，324. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：其它某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟他就离开。他一个月要到银行
36、 5 次。以Y 表示一个月设 K 在（0，5）上服从均匀分布，求方程有实根的概率 K 的分布密度为：其他要方程有根，就是要 K 满足(4K)244 (K+2)0。解不等式，得 K2 时，方程有实根。26. 设 XN（3.22）（1）求 P (2<X5)，P (4)<X10)，P|X|>2，P (X>3) 若XN（，2），则(=0.84130.3085=0.5328(3.5)P(4<X10)=0.99980.0002=0.9996P (|X|>2)=1P (|X|<2)= 1P (2< P<2 )=1(0.5) +(2.5)=10.3085+
37、0.0062=0.6977P (X>3)=1P (X3)=1（2） 决定 C 使得 P (X > C )=P (XC) 得查表可得又P (X > C )=1227.某地区 18 岁的女青年的血压（收缩区，以 mm-Hg 计）服从 N(110,12)在该地区任选一 18 岁女青年，测量她的血压 X。求（1）P (X105)，P (100<X 120).（2）确定最小的 X 使 P (X>x) 0.05.解查表得故最小的28. 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为 =10.05，=0.06 的正态分布。规定长度在范围 10.050.12 内为合格品，求一螺栓为不合
38、格的概率是多少？设螺栓长度为 XPX 不属于(10.050.12, 10.05+0.12)=1P (10.050.12<X<10.05+0.12)=1(2)(2)=10.97720.0228=0.045629. 一工厂生产的电子管的寿命 X（以小时计）服从参数为 =160，(未知)的正态分布，若要求 P (120X200=0.80，允许 最大为多少？P(120 又对标准正态分布有 (x)=1(x)再查表，得解出便得上式变为1，3 33. 设随机变量 X 的分布律为：X：2，1，0， P：求 Y=X 2 的分布律Y=X 2：(2)2P：(1)21， 5111， 651511 30(0
39、)2(1)2(3)2 15111651511 30再把 X 2 的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数 Y 的分布律为：Y：0 P：14934.设随机变量 X 在（0，1）上服从均匀分布（1） 求 Y=eX 的分布密度X 的分布密度为：Y=g (X) =eX 是单调增函数为其他又且X=h (Y)=lnY，反函数存在 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1Y 的分布密度为：（2） 求 Y=2lnX 的概率密度。 又且Y= g (X)=2lnX 是单调减函数为其他反函数存在。 = ming (0), g (1)=min(+, 0 )=0=maxg (0), g (1)=m
40、ax(+, 0 )= +为其他Y的 分 布 密 度 为 ：35. 设 XN（0，1）（1）求 Y=eX 的概率密度X 的概率密度是Y= g (X)=eX 是单调增函数又且X= h (Y ) = lnY反函数存在 = ming (), g (+)=min(0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= +Y 的分布密度为：（2）求 Y=2X2+1 的概率密度。为其他在这里，Y=2X2+1 在(+，)不是单调函数，没有一般的结论可用。 设 Y 的分布函数是 FY（y），则FY ( y)=P (Yy)=P (2X2+1y)当 y<1 时：FY ( y)=0当 y1 时
41、：故 Y 的分布密度 ( y)是：x2dx当 y1 时：( y)= FY ( y) = (0) =0 当 y>1 时，ee=（3）求 Y=| X |的概率密度。 Y 的分布函数为FY ( y)=P (Yy )=P ( | X |y) 当 y<0 时，FY ( y)=0 当 y0 时，FY ( y)=P (| X |y )=P (yXy)=Y 的概率密度为：当 y0 时：( y)= FY ( y) = (0) =01e2x22当 y>0 时：dx36. （1）设随机变量 X 的概率密度为 f (x)，求 Y = X 3 的概率密度。又且Y=g (X )= X 3 是 X 单调增
42、函数， X=h (Y ) =Y，反函数存在， = ming (), g (+)=min(0, +)=1 = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y 的分布密度为：( y)= f h ( h )| h ( y)| = f1(y32但（2）设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，求 Y=X 2 的概率密度。法一：X的分布密度为：是非单调函数当x<0 时反 函 数 是当x<0 时Y法二：Y37.设 X 的概率密度为为其他求 Y=sin X 的概率密度。 FY ( y)=P (Yy)= P (sinXy) 当 y<0 时：FY ( y)=0 当 0y1 时：FY ( y) = P (sinXy) = P (0Xarc sin y 或 arc sin yX)=当 1<y 时：FY ( y)=1 Y 的概率密度 ( y ) 为： y0 时， ( y )= FY ( y) = (0 ) = 00<y<1 时，=arcsiny 2xdx21y 时，
