1、 理科 5 20232023 届高三第届高三第十十三三次模考数学次模考数学（理科）（理科）参考答案参考答案 一一 选择题：选择题：题号题号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 1111 1212 答案答案 B B A A D D D D C C C C B B B B B B A A D D C C 11.【详解】A.()()()()11sinsin2sinsin222f xxxxxf x+=+=+，故 A 错误；B.sinyx=，当2 2xk=+，Zk时，取得最大值 1，1sin22yx=，当22 2xk=+，Zk时，即4xk=+，Zk时，取得最
2、大值12，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以()f x的最大值不是32，故 B 错误；C.()()()()112sin 2sin2 2sinsin222fxxxxxf x=+=，所以函数()fx的图象不关于直线x=对称，故 C 错误；D.()1sinsin2sinsin cos02f xxxxxx=+=+=，即()sin1cos0 xx+=，0,2，即sin0 x=或cos1x=，解得：0,2x=，所以函数()f x在区间0,2上有 3 个零点，故 D 正确.故选：D 12.【详解】N是BC中点，1()2ANABAC=+，M为ABC的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，2211|cos|
3、4822AM ABAMABBAMAB=，同理可得21|182AM ACAC=，11111()8181322222AM ADAMABACAM ABAM AC=+=+=+=.故选：C 二、填空题二、填空题 13(),3 140.5 15 14，11n-24.162 三、解答题：三、解答题：三、解答题：（本大题共三、解答题：（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 12 分）x y 1 1 2 2 理科 6 设函数()2sin()63f xx=+.(1）列表并画出(),2,10yf x
4、x=的图象；(2）求函数()(1)(4)g xfxfx=+在区间0,6上的值域.解析:(1)列表:3 分 作图:6 分(2)由已知()(1)(4)g xfxfx=+=2sin()2sin()2cos2sin2 2sin()6266664xxxxx+=+=+由已知54644x+2sin()1264x+2()2 2g x 函数()(1)(4)g xfxfx=+在区间0,6上的值域是 2,2 2.12 分 18.（本小题满分 12 分）根据国家学生体质健康标准，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 260 及以上 194 及以上 良好 2452
5、59 180193 及格 205244 150179 63x+0 2 32 2 x-2 1 4 7 10 y 0 2 0-2 0 x y 1 1 2 2 理科 7 不及格 204 及以下 149 及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到1cm）：男生 180 205 213 220 235 245 250 258 261 270 275 280 女生 148 160 162 169 172 184 195 196 196 197 208 220 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立（1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项优秀率；（
6、2）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计X的数学期望()E X；（3）从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B判断A与B是否相互独立（结论不要求证明）解析：（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6，所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为41123=；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为61122=4 分（2）由题设，X的所有可能取值为0,1,2,3(0)P X=估计为2212()329=
7、；(1)P X=估计为122121214C()332329+=；(2)P X=估计为122121115C()3323218+=；(3)P X=估计为2111()3218=估计X的数学期望()2451701239918186E X=+=8 分（3）()P A估计为22123311113CC22224+=；()P B估计为2310331111CC2222+=；()P AB估计为213113C228=，()()()P ABP A P B=，所以A与B相互独立12 分 19.（本小题满分 12 分）如图，在长方体1111ABCDABC D中，12AAAD=，1BD和1B D交于点E，F为AB的中点.（
8、1）求证：EF平面11ADD A；理科 8（2）已知1B D与平面11BCC B所成角为4，求（i）平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值；（ii）点A到平面CEF的距离.解：（1）连接1AD，11BD，BD.因为长方体1111ABCDABC D中,1BB1DD且11BBDD=，所以四边形11BB D D为平行四边形.所以E为1BD的中点，在1ABD中，因为E，F分别为1BD和AB的中点，所以1EFAD.因为EF 平面11ADD A，1AD 平面11ADD A，所以EF平面11ADD A.6 分（2）1B D与平面11BCC B所成角为4.连接1BC.因为长方体1111ABCDABC D中，CD
9、 平面11BCC B，1BC 平面11BCC B，以1CDBC.所以1DBC为直线1B D与平面11BCC B所成角，即14DBC=.所以1DBC为等腰直角三角形.因为长方体中12AAAD=，所以12 2BC=.所以12 2CDBC=.如图建立空间直角坐标系Dxyz，因为长方体中12AAAD=,2 2CD=，则(0,0,0)D，(2,0,0)A，(0,2 2,0)C，(2,2 2,0)B，(2,2,0)F，1(2,2 2,2)B，(1,2,1)E.所以(1,2,1)CE=，(2,2,0)CF=，(2,0,0)CB=.设平面CEF的法向量为111(,)x y z=m，则0,0,CECF=mm即1
10、111120,220.xyzxy+=令11x=，则12y=，11z=，可得(1,2,1)=m.设平面BCE的法向量为222(,)x y z=n，则0,0,CECB=nn即222220,20.xyzx+=理科 9 令21y=，则20 x=，22z=，所以(0,1,2)=n.设平面CEF与平面BCE的夹角为，则|6cos|cos,|.|3=m nm nm n 所以平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值为63.()因为(0,2,0)AF=，所以点A到平面CEF的距离为|1|AFd=mm.12 分 20.（本小题满分 12 分）已知点P是平面直角坐标系xOy异于O的任意一点，过点P作直线1l：32yx=
11、及2l：32yx=的平行线，分别交x轴于M，N两点，且228OMON+=.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）在x轴正半轴上取两点(),0A m，(),0B n，且4mn=，过点A作直线l与轨迹C交于E，F两点，证明：sinsinEBAFBA=.解：（1）设点P坐标为()00,xy，则根据题意，得000022,0,033MxyN xy+，由228OMON+=得：22000022833xyxy+=，化简得：2200143xy+=，所以轨迹C的方程为：221(2)43xyx+=.5 分（2）当直线l的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，sinsinEBAFBA=成立.当直线l的斜率存在，由题意，设直线l
12、的方程为：()yk xm=，()11,E x y，()22,F xy，由22143()xyyk xm+=得：()222223484120kxk mxk m+=，有0 得：22234m kk+，且2122834k mxxk+=+，2212241234k mx xk=+，则()()()()1221121212BEBFyxnyxnyykkxnxnxnxn+=+=()()()1212122()2kx xkmknxxmnkxnxn+=，理科 10 又()()22212122224128()2()223434kk mk m kmknkx xkmknxxmnkmnkkk+=+224634kmnkk+=+，因
13、为4mn=，所以0BEBFkk+=，则sinsinEBAFBA=.综上所述，sinsinEBAFBA=.12 分 21.（本小题满分 12 分）已知函数()axef xbx=在1x=处取得极值e.（1）求函数()f x的单调区间；（2）若不等式2ln()1kxxx f x+在()0,+上恒成立，求实数k的取值范围.解：（1）由题意知：2()()axaxae bxe bfxbx=，则()()100111aaaae be bebfaebfe=，所以()xef xx=，()21()xexfxx=，当1x 时，()0fx，()f x在()1,+上单调递增，当1x时，()0fx，()f x在(),1上单
14、调递减.故()f x的单调增区间为()1,+，单调减区间为(),1.5 分（2）由2ln()1ln1xkxxx f xkxxxe+，因为0 x，所以分离变量得：ln1ln1xxxexxkexxx=，令ln1()(0)xxg xexxx=，则只需求()g x的最小值即可.22221 ln1ln()xxxxxgexexxx+=+=，令2()ln(0)xhexxx x=+，()21()20 xh xexxx=+，()h x在()0,+上单调递增，又()10he=，102h，01,12x使得()00h x=，即：0200ln0 xxxe+=，移项并两边取对数得：()0000lnlnlnlnxxxx=+
15、，理科 11 因为函数lnyxx=+在()0,+上单调递增，00lnxx=，即001xex=，当()00,xx时，()0g x，当()0,xx+时，()0g x，()g x在()00,x上单调递减，在()0,x+上单调递增，所以()000min000000ln111()1xxxg xg xexxxxx=，1k.12 分 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22.(22.(本小题满分本小题满分 1010 分分)选修选修 4 44 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 已知曲线1C的参数方程是)(3siny2cosx为参数=，以坐标原点为极点，x轴的正半轴
16、为极轴建立坐标系，曲线2C的坐标系方程是2=，正方形ABCD的顶点都在2C上，且,A B C D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,)3（1）求点,A B C D的直角坐标；（2）设P为1C上任意一点，求2222PAPBPCPD+的取值范围.23.(23.(本小题满分本小题满分 1010 分分)选修选修 4 45 5：不等式选讲：不等式选讲 已知函数11()22f xxx，M为不等式()2f x的解集.（1）求M；（2）证明：当a，bM时，1abab.22.(22.(本小题满分本小题满分 1010 分分)选修选修 4 44 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 解：（1）点,A B C D
17、的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636 点,A B C D的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)5 分（2）设00(,)P x y；则002cos()3sinxy=为参数 2222224416tPAPBPCPDxy=+=+23220sin32,52=+10 分 23.(23.(本小题满分本小题满分 1010 分分)选修选修 4 45 5：不等式选讲：不等式选讲 理科 12 解析：（1）12,211()1,2212,.2x xf xxx x=当12x 时，由()2f x 得22,x解得1x；当1122x时，()2f x；当12x 时，由()2f x 得22,x 解得1x.所以()2f x 的解集|11Mxx=.5 分（2）由（I）知，当,a bM时，11,11ab ，从而 22222222()(1)1(1)(1)0abababa bab+=+=，因此|1|.abab+10 分
