1、一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。离散时间系统T x(n)y(n)()()y nT x n T 记为：若系统满足叠加原理：或同时满足：可加性：比例性/齐次性：其中：则此系统为线性系统。1 1221122()()()()T a x na x na y na y n1212()()()()T x nx ny ny n11()()T ax nay n12,a a a为常数11()()y nT x n22()()y nT x n T 1112()()()sin()97y nT x nx nn解：设2222()()()sin()97y nT x nx nn12122()()()()s
2、in()97T x nx nx nx nn1222()sin()()sin()9797x nnx nn112()()sin()97T ax nax nn1()ay na，为常数该系统是线性系统2()()sin()97y nx nn例：判断系统是否线性12()()y ny n满足可加性满足比例性例：证明由线性方程表示的系统()()y nax nb,a b为常数是非线性系统111()()()y nT x nax nb证：设222()()()y nT x nax nb1212()()()()T x nx na x nx nb12()()y ny n该系统是非线性系统12()()ax nax nb不满
3、足可加性若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不变系统（或时不变系统）Tx(n)()()()y nT x nmy nmm对移不变系统，若则 ，为任意整数2()()sin()97T x nmx nmn解：2()()sin()97y nmx nmnm()T x nm该系统不是移不变系统例：试判断2()()sin()97y nx nn是否是移不变系统同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统LSI：Linear Shift Invariant 单位抽样响应h(n)是指输入为单位抽样序列 时的系统输出：()n()()h nTnT ()n()h n对LSI系统，讨论对任意输入的系统输出
4、T x(n)y(n)()()()mx nx mnm任意输入序列：()()()()my nT x nTx mnm系统输出：()()mx m Tnm，线性性()()()()h nTnh nmTnm()()iiiiiiTa x naT x n()()mx m h nm，移不变性()()x nh n一个LSI系统可以用单位抽样响应h(n)来表征，任意输入的系统输出等于输入序列和该单位抽样响应h(n)的卷积和。LSIh(n)x(n)y(n)()()()y nx nh n)()()(0knhkxnynk讨论：若)()()(nRnxnxN)()()(nRnhnhM当 MN时1、n0 y(n)=02、x(k)
5、k取值范围 0，N-1,h(n-k)n-k取值范围0,M-1 或者，k的取值范围n-M+1,n求输出y(n)解：取下限：MAX0,n-M+1 取上限：MINN-1,n1）若n-M+1 0，即n M-1,取下限0a)若上限n N-1,合并条件：n N-1 0()()()nmy nx m h nmb)若上限n N-1,合并条件：N-1 n M-1 10()()()Nmy nx m h nm11()()()Nm n My nx m h nm 1()0nNMy n时a)若上限n N-1,合并条件：不存在2）若n-M+1 0，即n M-1,取下限n-M+1b)若上限n N-1,合并条件：n M-1,当然
6、应 n M+N-2 即当 M-1 n M+N-2时3当结论：若有限长序列x(n)的长度为N，h(n)的长度为M，则其卷积和的长度L为：L=N+M-1交换律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)()()()()()y nx nh nh nx n结合律h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)1221()*()*()()*()*()x nh nh nx nh nh n12()()*()h nh nh n()()*()y nx nh n分配律1212()*()()()*()()*()x nh nh nx nh nx nh
7、nh1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)若系统 n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。()00h nnLSI系统是因果系统的充要条件：稳定系统是有界输入产生有界输出的系统若()x nM()nh nP LSI系统是稳定系统的充要条件：()y nP 则0()0nh n解：讨论因果性：时 该系统是非因果系统讨论稳定性：00()nnnnnh naa11111aaa11aa当时系统稳定，当时系统不稳定例：某LSI系统，其单位抽样响应为()()nh na un试讨论其是否是因果的、稳定的。结论：因果稳定的L
8、SI系统的单位抽样响应是因果的，且是绝对可和的，即：()()()nh nh n u nh n 用差分方程来描述时域离散系统的输入输出关系。一个N阶常系数线性差分方程表示为：00()()NMkmkma y nkb x nm01kmaab，是常数其中：求解常系数线性差分方程的方法：1）经典解法2）递推解法3）变换域方法例1：已知常系数线性差分方程若边界条件求其单位抽样响应。()(1)()y nay nx n(1)0y()()()()(1)0 x nny nh ny解：令输入，则输出，又已知23()(1)()(0)(1)(0)1(1)(0)(1)(2)(1)(2)(3)(2)(3)()0ny nay
9、 nx nyayxyayxayayxayayxay nan由，得，1(1)()()1(2)(1)(1)01(3)(2)(2)0()01y ny nx nayyxayyxay nn 由，得，()()()nh ny na u n例2：已知常系数线性差分方程同上例若边界条件求其单位抽样响应。(0)0y()()()()(0)0 x nny nh ny解：令输入，则输出，又已知()(1)()(1)(0)(1)0(2)(1)(2)0()01y nay nx nyayxyayxy nn由，得，1231(1)()()11(1)(0)(0)1(2)(1)(1)1(3)(2)(2)()1ny ny nx nayy
10、xaaayyxaayyxaay nan 由，得，()()(1)nh ny na un 例3：已知常系数线性差分方程同上例若边界条件讨论系统的线性性和移不变性。(1)1y 111()()(1)1()x nnyy n解：1）令输入，由，求输出111111111211131111()(1)()(0)(1)(0)1(1)(0)(1)(1)(2)(1)(2)(1)(3)(2)(3)(1)()(1)0ny nay nx nyayxayayxa ayayxaayayxa ay naan由，得，11111112111111(1)()()1(2)(1)(1)1(3)(2)(2)()1ny ny nx nayyx
11、aayyxaay nan 由，得，11()(1)()(1)nny na a u naun 222()(1)(1)1()x nnyy n2）令输入，由，求输出2222222222222222222122()(1)()(0)(1)(0)(1)(0)(1)1(2)(1)(2)(1)(3)(2)(3)(1)()(1)1ny nay nx nyayxayayxayayxa ayayxaay naan由，得，2221211(1)()()()1ny ny nx nay nan 同步骤），由得，2112()()(1)(1)(1)nny nanaau naun 31233()()()()(1)(1)1()x n
12、x nx nnnyy n3）令输入，由，求输出3333332333233322333123()(1)()(0)(1)(0)1(1)(0)(1)1(2)(1)(2)(1)(3)(2)(3)(1)()(1)1ny nay nx nyayxayayxaayayxa aayayxaaay naaan由，得，3331311(1)()()()1ny ny nx nay nan 同步骤），由得，213()(1)()(1)(1)ny nanaaau n1(1)naun 4）结论：2112()()(1)(1)(1)nny nanaau naun 2()(1)x nn当输入时，输出1()()x nn当输入时，输出11()(1)()(1)nny na a u naun 2121()(1)()(1)(1)1x nx ny ny ny由于，而边界条件下的系统不是移不变系统312()()()()(1)x nx nx nnn当输入时，输出213()(1)()(1)(1)ny nanaaau n1(1)naun(1)1y 边界条件下的系统不是线性系统不满足可加性12()()y ny nl一个差分方程不能唯一确定一个系统l常系数线性差分方程描述的系统不一定是线性移不变的l不一定是因果的l不一定是稳定的差分方程 系统结构Z-1ax(n)y(n)()(1)()y nay nx n
