1、3.2 边缘分布边缘分布 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度边缘分布边缘分布的边缘分布，关于二维随机变量或者的分布为或者也有分布我们称或者，分量是一维随机变量，因此或者则它的分量是一个二维随机变量，如果YXYXYXYXYXYX边缘分布也称为边沿分布或边际分布边缘分布也称为边沿分布或边际分布二维随机变量的边缘分布函数二维随机变量的边缘分布函数xXPxFX)(YxXP,),(xFyYPyFY)(yYXP,),(yF xyxxyy由联合分布函数 边缘分布函数,逆不真.例 设随机变量(X,Y)的联合分布函数为yxyCxBAyxF,2arctan2arctan),(其中A,B,C 为常数.(1)确定
2、A,B,C；(2)求X 和Y 的边缘分布函数；(3)求P(X 2).解解(1)122),(CBAF022),(CBAF022),(CBAF21,2,2ACB(2),()(xFxFX.,2arctan121xx),()(yFyFY.,2arctan121yy(3)2(1)2(1)2(XFXPXP22arctan1211.4/1二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布,2,1,)(1ippxXPijiji记作,2,1,)(1jppyYPjiijj记作由联合分布律可确定边缘分布律由联合分布律可确定边缘分布律1x1 xi 11pjp11 ipijppip1pip jp1p jyjy1X
3、Y 联合分布律联合分布律及边缘分布律及边缘分布律例例(P55.1)设随机变量 X 在 1,2,3三个数中等可能地取值，另一个随机变量 Y 在1X 中等可能地取一整数值，试求 X,Y 的边缘分布律。的联合分布律为，YX的联合与边缘分布律，YXjp ip31313118111821851例 箱子里装有4只白球和2只黑球，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）有放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量 X，Y 如下，写出X和Y的联合分布律和边缘分布律。.,1,0若第一次取出的是白球若第一次取出的是黑球X.,1,0若第二次取出的是白球若第二次取出的是黑球Y（1）有放回抽样YX 0 1
4、0 1919294923132 ip32311jp（2）不放回抽样YX 31321 ip3231jp0 10 1151154154156 xXdvduvufxF),()(yYdudvvufyF),()(dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(已知联合密度可以求得边缘密度二维连续型随机变量的边缘分布二维连续型随机变量的边缘分布的边缘密度函数，试求随机变量，其中上的均匀分布服从区域，设随机变量例YXyxyxyxDDYX12,0,0|),(解：的面积为区域D1A的联合密度函数为，YXDyxDyxyxf，,0,1yo1x2D的边缘密度函数为随机变量 X时，当10 x dyyxfxfX，)1
5、(2)1(200010 xxdydydyx12 其它01012xxxfX时，或当10 xx 0 xfXyo1x2D的边缘密度函数为同理，随机变量Y 其它,020,21yyyfYyo1x2DdxyxfyfY),()(例 的边缘密度函数及试求YX，设二维随机变量222121 NYX解：的联合密度函数为，YX22222121212122212121exp121),(yyxxyxf dyyxfxfX，xexfxX21212121211，这表明，NX yeyfyY22222221222，NY结 论（一）布是一维正态分布二维正态分布的边缘分结 论（二）无关布中的常数的参数与二维正态分上述的两个边缘分布中几
6、条结论：通过本题，我们有以下222，NY211，NX则有，即若222121 NYX 条件分布律条件分布律 条件分布函数条件分布函数 条件概率密度条件概率密度3.3 条件分布在第一章中，我们介绍了条件概率的概念在第一章中，我们介绍了条件概率的概念.)()()|(BPABPBAP在事件在事件B发生的条件下事件发生的条件下事件A发生的概率发生的概率推广到随机变量推广到随机变量设有两个设有两个随机变量随机变量 X,Y，在给定在给定 Y 取取某个值的条件下，求某个值的条件下，求 X 的概率分布的概率分布.这个分布就是条件分布这个分布就是条件分布.一一.离散型随机变量的条件分布律离散型随机变量的条件分布律
7、设(X,Y)是离散型随机变量，其分布律为 P(X=xi,Y=yj)=pi j,i,j=1,2,.,2,1,)(1ippxXPjjiii,2,1,)(1jppyYPijijj(X,Y)关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为：由条件概率公式自然地引出如下定义：定义：定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的 j,若P(Y=yj)0,则称,2,1,)(),()|(ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji为在Y=yj 条件下随机变量 X 的条件分布律.同样对于固定的 i,若P(X=xi)0,则称,2,1,)(),()|(jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij为在 X=xi
8、条件下随机变量Y 的条件分布律.条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质.,0)|(jiyYxXP例如：1)|(1ijiyYxXP例例(P55.1)设随机变量 X 在 1,2,3三个数中等可能地取值，另一个随机变量 Y 在1X 中等可能地取一整数值，求Y=1时，X 的条件分布律。jp ip31313118111821851联合分布与边缘分布 X)1(YiXP 1 2 311/611/211/3将表中第一列数据代入得条件分布)1()1,()1(YPYiXPYiXP18/11)1,(YiXP3,2,1i二.连续型随机变量的条件分布设(X,Y)是二维连续型随机变量，由于 P(X=x)=0,P
9、(Y=y)=0所以不能直接代入条件概率公式，先利用极限的方法来引入条件分布函数的概念。定义：定义：给定 y，设对于任意固定的正数，P(y-0,若对于任意实数 x，)(),(lim)|(lim00yYyPyYyxXPyYyxXP存在，则称其为在条件Y=y下X的条件分布函数，记为 FX|Y(x|y)=P(X x|Y=y).)(),()(),(2/)()(lim2/),(),(lim)()(),(),(lim,lim)|(0000|yfdudvvufyyFdydyyxFyFyFyxFyxFyFyFyxFyxFyYyPyYyxXPyxFYyxYYYYYYX,)(),(yfduyufYx由条件分布函数可
10、以引出条件概率密度由条件分布函数可以引出条件概率密度,)(),()|(|yfduyufyxFYxYX,)(),()|(|xYYXduyfyufyxF.)(),()|(|yfyxfyxfYYX在条件Y=y下X的条件分布函数条件下的条件密度函数在称为随机变量yYX 为条件下的条件密度函数在时，yYXyfY0 为条件下的条件密度函数在时，xXYxfX 0定义(,)()Yf x yfy)(yxfYX(,)()Xf x yfx)(xyfXY例例 已知;,;,),(222211NYX求)(yxfYX解解)(yxfYX)(),(yfyxfY222222222121212122)(2)()(2)()1(212
11、2121121yyyxxee)()()1(21212211221121yxe同理，)(xyfXY)1(),(2221122xN)1(),(2212211yN)(yxfYX例例 设其他,010,0,8),(yyxxyyxf求)(yxfYX)(,xyfXY解解y=x11其他,010,8)(1xxydyxfxX其他,010),1(42xxxy=x11其他,010,8)(0yxydxyfyY其他,010,43yy当0 y 1 时，)(yxfYX)(),(yfyxfYy其他,00,22yxyx当0 x 0 时，即 0 x 1 时，其他,01,8yxxy当f X(x)=0 时，f(x,y)=0故其他,010,0,8),(yyxxyyxfx+y=1)1(YXP1y=x10.5yyxydxdy115.08652132XYPy=x110.5323221dyyfXY322125.012dyy322138dyy277
