1、第第3章卫星运动规律及章卫星运动规律及GPS卫星在卫星在轨位置计算轨位置计算 本章重点提示：本章重点提示：开普勒三大定律开普勒三大定律开普勒轨道参数开普勒轨道参数卫星（无摄运动）瞬时坐标的计算步骤卫星（无摄运动）瞬时坐标的计算步骤卫星受摄运动时的摄动力及其影响卫星受摄运动时的摄动力及其影响主讲老师：主讲老师：黄海军黄海军 3.1概述概述 卫星进入预定轨道后，运行的轨迹取决于作用于卫星卫星进入预定轨道后，运行的轨迹取决于作用于卫星上的各种力的大小和方向。这些力包括：地球引力、日月引上的各种力的大小和方向。这些力包括：地球引力、日月引力、潮汐力、大气阻力、太阳光压等。讨论卫星的运动规律力、潮汐力、
2、大气阻力、太阳光压等。讨论卫星的运动规律实际上就是确定在不同时间、不同位置上这些力的大小和方实际上就是确定在不同时间、不同位置上这些力的大小和方向向,以及它们对卫星轨道的影响。以及它们对卫星轨道的影响。作用于卫星的力分为两类作用于卫星的力分为两类:一类是中心引力（一类是中心引力（central central gravitational forcegravitational force），），它是匀质椭球产生的引力它是匀质椭球产生的引力,决定决定着卫星运动的基本特征，由此求得的卫星轨道可以视作理想着卫星运动的基本特征，由此求得的卫星轨道可以视作理想轨道，该轨道是分析卫星实际轨道的基础。另一类是
3、摄动力轨道，该轨道是分析卫星实际轨道的基础。另一类是摄动力（perturbativeperturbative force force），），包括非球形引力、日月引力、包括非球形引力、日月引力、潮汐力、大气阻力和太阳光压等。潮汐力、大气阻力和太阳光压等。3.2 卫星的无摄运动卫星的无摄运动 地球 卫星 近地点 远地点 v(t)r)(cos1)1(2tveearsss（KeplersKeplers Three Laws of Planetary Motion Three Laws of Planetary Motion）一、开普勒第一定律一、开普勒第一定律 行星绕太阳运行轨道是一个椭圆，太阳位于该
4、椭圆的一个焦点上。行星绕太阳运行轨道是一个椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点上。3.2.1 开普勒定律 地球 近地点 远地点 212sssGMmm vr常数二、开普勒第二定律二、开普勒第二定律行星围绕太阳运行时，行星与太阳的连线（向径），在相同的时间行星围绕太阳运行时，行星与太阳的连线（向径），在相同的时间内扫过相同的面积。内扫过相同的面积。以地球绕太阳公转为例，地球运行至近日点时（以地球绕太阳公转为例，地球运行至近日点时（1 1月月3 3日左右），速日左右），速度达到最快，日速约度达到最快，日速约1 1019.9019.9。在远日点时（。在远日点时（7 7月月4 4日左右），速度日左右），速度达
5、到最慢，日速约达到最慢，日速约0 05711.55711.5。3.2.1 开普勒定律（续）32223121aTaT)(4232mMGaTGMaT2324Tn2213aGMn三、开普勒第三定律三、开普勒第三定律行星绕太阳运行周期的平方，与其轨道长半径的立方成正行星绕太阳运行周期的平方，与其轨道长半径的立方成正比。比。根据牛顿力学原理，行星绕太阳运行周期的平方，与其轨根据牛顿力学原理，行星绕太阳运行周期的平方，与其轨道长半径的立方之比等于一个常数，这个常数与行星质量有道长半径的立方之比等于一个常数，这个常数与行星质量有关。关。T T表示行星运行周期，表示行星运行周期，a a表示轨道长半径，表示轨道
6、长半径，M M和和m m分别表示太分别表示太阳和行星的质量。由于行星质量相对于太阳质量非常小，所阳和行星的质量。由于行星质量相对于太阳质量非常小，所以上式近似表示为以上式近似表示为 如果假设卫星运行的平均角速度为如果假设卫星运行的平均角速度为n n,则有则有于是，将两式整理可得于是，将两式整理可得 3.2.2无摄轨道无摄轨道 Z 赤道面 地球 Y X 春分点 升交点 s 近地点 卫星 v（t）卫星轨道 i 一、开普勒轨道根数一、开普勒轨道根数开普勒轨道根数（开普勒轨道开普勒轨道根数（开普勒轨道6 6参数）参数）a as s轨道椭圆长半轴（轨道椭圆长半轴（Semi-major Semi-majo
7、r AxisAxis）。）。e es s 轨 道 椭 圆 偏 心 率轨 道 椭 圆 偏 心 率（eccentricityeccentricity）。）。i i 轨道面倾角（轨道面倾角（inclination of inclination of orbitorbit）。）。升交点赤经（升交点赤经（right ascension right ascension of ascending nodeof ascending node）。）。s s近地点角距（近地点角距（argument of argument of perigeeperigee）。）。0 0卫星过近地点的时刻（卫星过近地点的时刻（Ep
8、och Epoch of perigee passageof perigee passage）。）。这这6 6个参数用来描述卫星的运动。它们个参数用来描述卫星的运动。它们的大小取决于卫星的发射条件。的大小取决于卫星的发射条件。3.2.2无摄轨道无摄轨道（续（续1）0)(tntM二、真近点角的计算二、真近点角的计算 真近点角（真近点角（true anomalytrue anomaly）：轨道平面上，卫星与近地点之间的：轨道平面上，卫星与近地点之间的地心角距，用地心角距，用v v（t t）表示。确定它与时间的函数关系，是计算卫星表示。确定它与时间的函数关系，是计算卫星位置的关键所在。位置的关键所在
9、。为了方便计算，需要引入两个辅助参数为了方便计算，需要引入两个辅助参数M M（t t）和和E E（t t）。）。M M（t t）平近点角（平近点角（mean anomalymean anomaly）。）。它的定义如下它的定义如下 3.2.2无摄轨道无摄轨道（续（续2）v（t）地球 卫星 P O m m E（t）E E（t t）偏近点角（偏近点角（eccentric eccentric anomalyanomaly）)()()(tEetMtE 先取近似值先取近似值E E0 0（t t）M M（t t），然后依次迭代然后依次迭代 ，直到，直到E En n（t t）E En-1n-1（t t）小于某
10、个设定的微小于某个设定的微小量为止。由此可以求得偏近小量为止。由此可以求得偏近点角点角E E（t t）。）。偏近点角偏近点角E E（t t）与真近点角与真近点角v v（t t）的关系为的关系为 ssseatvrtEa)(coscos化简后化简后 可得可得 2tg112)(tg21tEeetvss v（t）地球 卫星 P O m m E（t）开普勒方程（开普勒方程（KeplersKeplers equationequation）：3.2.2无摄轨道无摄轨道（续（续3）3.2.3卫星坐标的计算卫星坐标的计算一、卫星无摄运动瞬时坐标的计算一、卫星无摄运动瞬时坐标的计算 计算卫星在任意观测历元，相对于
11、地球坐标系的位置：计算卫星在任意观测历元，相对于地球坐标系的位置：1建立轨道直角坐标系，计算卫星在轨道直角坐标系中的位置；建立轨道直角坐标系，计算卫星在轨道直角坐标系中的位置；2计算卫星在天球坐标系下的坐标；计算卫星在天球坐标系下的坐标；3再将卫星的天球坐标转换为地球坐标系下的坐标。再将卫星的天球坐标转换为地球坐标系下的坐标。3.2.3卫星坐标的计算卫星坐标的计算（续（续1）0)(sin)(cos000tvtvrzyx M P v(t)m X0 Y0 r 1 1卫星在轨道直角坐标系中的位置卫星在轨道直角坐标系中的位置 取地球质心取地球质心M M为坐标原点，为坐标原点，X X0 0轴指向近轴指向
12、近地点地点P P，Z Z0 0轴垂直于轨道平面，轴垂直于轨道平面，Y Y0 0轴在轨轴在轨道面内垂直于道面内垂直于X X0 0轴构成右手系。在该坐轴构成右手系。在该坐标系中，卫星标系中，卫星m ms s的坐标为（的坐标为（x x0 0，y y0 0，z z0 0）T T。000CS1000cossin0sincoscossin0sincos00011000cossin0sincoszyxiiiizyxssss2卫星在天球坐标系中的位置卫星在天球坐标系中的位置 确定卫星在天球坐标系中的位置，需要轨道参数确定卫星在天球坐标系中的位置，需要轨道参数、s 和和i。天球坐标系天球坐标系与轨道直角坐标系的
13、原点都是地球质心，只是坐标轴指向不相同。为了与轨道直角坐标系的原点都是地球质心，只是坐标轴指向不相同。为了使两个坐标系相一致，需要将坐标轴依次作如下旋转：使两个坐标系相一致，需要将坐标轴依次作如下旋转：1）轨道直角坐标系绕）轨道直角坐标系绕Z0轴轴旋转角度旋转角度s，使得使得X0轴指向升交点。轴指向升交点。2）绕）绕X0轴轴旋转角度旋转角度i，使使Z0轴与天球坐标系轴与天球坐标系Z轴重合。轴重合。3绕绕Z0轴轴旋转角度旋转角度，使使X0轴与天球坐标系轴与天球坐标系X轴重合。轴重合。3.2.3卫星坐标的计算卫星坐标的计算（续（续2）Z 赤道面 地球 Y X 春分点 升交点 s 近地点 卫星 v（
14、t）卫星轨道 i 3.2.3卫星坐标的计算卫星坐标的计算（续（续3）CSTS1000cos(GAST)sin(GAST)0sin(GAST)cos(GAST)zyxzyx4对（对（x，y，z）TS进行极移改正，将其转化为协议地球坐标系进行极移改正，将其转化为协议地球坐标系下的坐标（下的坐标（x，y，z）CTS。Pn E 赤 道 起始子 线 O XITS XICS 午 地球自转轴 GAST 3卫星在地球坐标系中的位卫星在地球坐标系中的位置置 根据天球坐标系与地球坐根据天球坐标系与地球坐标系的关系，进一步计算标系的关系，进一步计算卫星在地球坐标系中的位卫星在地球坐标系中的位置。设（置。设（X，Y，
15、Z）TS为为卫星在地球坐标系中的坐卫星在地球坐标系中的坐标。则有标。则有 3.2.3卫星坐标的计算卫星坐标的计算（续（续4）卫星在任意观测历元卫星在任意观测历元t t无摄运动在轨位置的计算步骤无摄运动在轨位置的计算步骤：1.1.计算平均角速度计算平均角速度n n；2.2.计算平近点角计算平近点角M M（t t）；3.3.计算偏近点角计算偏近点角E E（t t），），利用开普勒方程；利用开普勒方程；4.4.计算真近点角计算真近点角v v（t t）；）；5.5.计算卫星地心向径计算卫星地心向径r r，利用无摄轨道方程；利用无摄轨道方程；6.6.计算卫星在计算卫星在轨道直角坐标系轨道直角坐标系中的位
16、置；中的位置；7.7.计算卫星在计算卫星在天球坐标系天球坐标系中的位置；中的位置；8.8.计算卫星在计算卫星在地球坐标系地球坐标系中的位置。中的位置。9.9.对卫星地球坐标进行极移改正，转化为（对卫星地球坐标进行极移改正，转化为（x x，y y，z z）CTSCTS（协议地球坐标系）（协议地球坐标系）3.2.3卫星坐标的计算卫星坐标的计算（续（续5）3.2.3卫星坐标的计算卫星坐标的计算（续（续6）卫星在摄动力的作用下，它的运动将偏离开普勒轨道。卫星在摄动力的作用下，它的运动将偏离开普勒轨道。研究表明，非球形引力摄动可使研究表明，非球形引力摄动可使GPSGPS卫星在卫星在3 3小时的弧段上，偏
17、离无摄轨小时的弧段上，偏离无摄轨道达道达2 2kmkm。因此，必须建立适当的轨道摄动模型，以便对开普勒轨道进行修正，因此，必须建立适当的轨道摄动模型，以便对开普勒轨道进行修正，满足精密定位的要求。满足精密定位的要求。3.3.2卫星的受摄运动方程卫星的受摄运动方程 zyxKzrGMzKyrGMyKxrGMx333 sKrrGMr 3假设在观测历元假设在观测历元t t时刻，解得轨道根数为时刻，解得轨道根数为a as s（t t）、）、e es s（t t）、）、（t t）、）、i i（t t）、）、s s（t t）和和0 0（t t），），则这一组轨道根数称为观测历则这一组轨道根数称为观测历元元t
18、 t的受摄轨道根数。假如在观测历元的受摄轨道根数。假如在观测历元t t这个瞬间，摄动力突然全部消这个瞬间，摄动力突然全部消失，则卫星将沿着这一瞬间的受摄轨道根数所决定的开普勒椭圆作圆失，则卫星将沿着这一瞬间的受摄轨道根数所决定的开普勒椭圆作圆周运动，所以受摄轨道根数也叫瞬时轨道根数（周运动，所以受摄轨道根数也叫瞬时轨道根数（instantaneous instantaneous orbital elementsorbital elements），），或密切轨道根数（或密切轨道根数（osculating orbital osculating orbital elementselements）。）
19、。一、卫星的受摄轨道根数一、卫星的受摄轨道根数 3.3.2卫星的受摄运动方程卫星的受摄运动方程（续（续1）DoeASPMSEsrrrrrrrrK 摄动力加速度之和包括有：摄动力加速度之和包括有：非球形引力摄动加速度非球形引力摄动加速度（acceleration due to the non-spherically acceleration due to the non-spherically and inhomogeneous mass distribution within the earthand inhomogeneous mass distribution within the ear
20、th）。）。日、月引力摄动加速度日、月引力摄动加速度（accelerations due to the sun and the accelerations due to the sun and the moonmoon）。）。太阳光压、地球反射光压太阳光压、地球反射光压（accelerations due to direct and accelerations due to direct and earth-reflected solar radiation pressureearth-reflected solar radiation pressure）。）。固体潮和海潮摄动加速度固体潮和海
21、潮摄动加速度（accelerations due to earth and accelerations due to earth and oceanic tidesoceanic tides）。）。大气阻力摄动加速度大气阻力摄动加速度（acceleration due to the atmospheric acceleration due to the atmospheric dragdrag）。）。3.3.2卫星的受摄运动方程卫星的受摄运动方程（续（续2）Er 太阳 er、or 月亮 卫星轨道 SPr Ar mr Sr 地球 卫星 Dr SPMSErrrrrrGMr 3 分析表明，分析表明，
22、GPSGPS卫星作为高轨卫星，对大气阻力、潮汐力、地球反射卫星作为高轨卫星，对大气阻力、潮汐力、地球反射光压以及非球形引力位展开式的高阶项并不敏感。将它们忽略不计，则光压以及非球形引力位展开式的高阶项并不敏感。将它们忽略不计，则可以进一步简化为可以进一步简化为3.3.3各种摄动力对卫星轨道的影响各种摄动力对卫星轨道的影响v升交点沿赤道缓慢西移升交点沿赤道缓慢西移v近地点在轨道面内旋转近地点在轨道面内旋转v平近点角的变化平近点角的变化M M（t t）联合作用下，卫星实际轨道近似于一条空间螺旋线。联合作用下，卫星实际轨道近似于一条空间螺旋线。一、地球引力场摄动的影响一、地球引力场摄动的影响3.3.
23、3各种摄动力对卫星轨道的影响（续各种摄动力对卫星轨道的影响（续1）26/105smv日、月引力的摄动产生升交点沿赤道缓慢进动、近地点角距的变化等日、月引力的摄动产生升交点沿赤道缓慢进动、近地点角距的变化等轨道摄动现象，摄动的方向与地球引力场的摄动不同，摄动量级更小。轨道摄动现象，摄动的方向与地球引力场的摄动不同，摄动量级更小。摄动加速度约为摄动加速度约为 左右，在三小时的弧段内，可能产生左右，在三小时的弧段内，可能产生约约5050150m150m的位置误差。是除了地球引力场以外最大的摄动源。的位置误差。是除了地球引力场以外最大的摄动源。二、日、月引力摄动的影响二、日、月引力摄动的影响 太阳 卫
24、星轨道 SPr 卫星 地球 27/10smv直接太阳光压；地球反射光压直接太阳光压；地球反射光压v太阳光压对太阳光压对GPSGPS卫星的摄动加速度，约为卫星的摄动加速度，约为 左右，在左右，在3 3小时的弧段上可能产生小时的弧段上可能产生5 510m10m的偏差的偏差 3.3.3各种摄动力对卫星轨道的影响（续各种摄动力对卫星轨道的影响（续2）三、太阳光压摄动的影响三、太阳光压摄动的影响3.4卫星坐标的计算卫星坐标的计算v观测历元观测历元t t时刻，卫星在协议地球坐标系下的坐标时刻，卫星在协议地球坐标系下的坐标 ;v观测历元观测历元t t的摄动轨道参数的摄动轨道参数a as s（t t）、）、e
25、 es s（t t）、）、（t t）、）、i i（t t）、）、s s（t t）和）和00（t t）(卫星星历提供卫星星历提供 )v卫星摄动坐标的计算步骤卫星摄动坐标的计算步骤 :v计算观测历元计算观测历元t t的真近点角的真近点角v v（t t）v计算观测历元计算观测历元t t的卫星到地心距离的卫星到地心距离r r和轨道倾角和轨道倾角i i v计算观测历元计算观测历元t t时刻，卫星在轨道直角坐标系地坐标（时刻，卫星在轨道直角坐标系地坐标（x0 x0，y0y0，z0z0）v计算卫星在协议地球坐标系下的坐标（计算卫星在协议地球坐标系下的坐标（x x，y y，z z）CTS CTS 3.4卫星坐
26、标的计算卫星坐标的计算（续（续1）03314320()843.986005 10GMnaaWGSmsnnn称为地球引力常数，在系中定义为0()()oeM tMntt)(sin)()(tEetMtEv计算过程计算过程计算卫星运行的平均角速度计算卫星运行的平均角速度计算计算t t时刻卫星的平近点角时刻卫星的平近点角计算偏近点角计算偏近点角3.4卫星坐标的计算卫星坐标的计算（续（续2）21sin()()cos()eE tf tarctgE te)()(tftu)(cos1()(tEeAtrv计算过程（续计算过程（续）计算真近点角计算真近点角计算升交距角（未经改正的）计算升交距角（未经改正的）计算卫星
27、向径计算卫星向径3.4卫星坐标的计算卫星坐标的计算（续（续3）v计算过程（续）计算过程（续）计算摄动改正计算摄动改正进行摄动改正进行摄动改正计算卫星在轨道平面坐标系中的位置计算卫星在轨道平面坐标系中的位置)(sin)()()(cos)()(tutrtytutrtx)(2sin()(2cos()()(2sin()(2cos()()(2sin()(2cos()(tuCtuCtituCtuCtrtuCtuCtuisicrsrcusuc)()()()()()()()()(0tittiititrtrtrtututuoe3.4卫星坐标的计算卫星坐标的计算（续（续4）cos()cos()sin()()()sin()cos()cos()0sin()kkZkxkkkXxxtyi ttYRt Ri tyxtyi ttZytv计算过程（续）计算过程（续）计算升交点经度计算升交点经度计算卫星在地固坐标系下的坐标计算卫星在地固坐标系下的坐标oeeoeektttt)()()(0
