1、LOGO第六章第六章 布朗过程布朗过程布朗运动，有时称为维纳过程，是应用概率论中最有用布朗运动，有时称为维纳过程，是应用概率论中最有用的随机过程之一，以发现它的英国植物学家罗伯特的随机过程之一，以发现它的英国植物学家罗伯特.布朗布朗命名，是悬浮微粒不停地做无规则运动的现象。首次解命名，是悬浮微粒不停地做无规则运动的现象。首次解释是爱因斯坦于释是爱因斯坦于19051905年给出，他证明，假设浸没的粒子年给出，他证明，假设浸没的粒子连续不断受到周围介质的分子的冲击，布朗运动即可解连续不断受到周围介质的分子的冲击，布朗运动即可解释。释。19181918年，维纳给出了布朗运动的简介定义。年，维纳给出了
2、布朗运动的简介定义。自它被发现以来以来，有效的应用于一些领域，如拟合自它被发现以来以来，有效的应用于一些领域，如拟合优度的统计检验，分析股票市场的价格水平及量子力学。优度的统计检验，分析股票市场的价格水平及量子力学。迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。LOGOLOGO1 1 基本概念和性质基本概念和性质1/()()(1):1 -1 ttiX tx XXtxXor 时间间隔，步子大小其中1)(,0)(iiXVarXE)()(,0)(2ttxt
3、XVartXE对称随机游动：对称随机游动：每个单位时间等可能的向左或向右走一个单位步子。加速此过程，在越来越小的时间间隔中走越来越小的步子。若以正确的方式趋于极限，得到的就是布朗运动。20,xt,E(X(t)Var(X(t)t若令可得LOGO由式（1）和中心极限定理，得到X(t)的一些性质：（1）X(t)是正态的，均值为0，方差为（2）（3）2t化独立）游动在不重叠时间内变有独立增量（因为随机0),(ttX(),0X t t 有平稳增量（因为随机游动任一时间区间内变化分布只依赖于区间长度）LOGOLOGOLOGOLOGO 22222 ()0 ()()()()()(),()()()()(),XX
4、XXtE X tDtD X ttE X s X sX tX sE X ss stCs tRs tE X sX tX tX tE X tt st 布朗运动的数字特征:（）2 ,0min s ts LOGOLOGOLOGOLOGOLOGO布朗运动性质：布朗运动性质：（1 1）马尔可夫性马尔可夫性；（2 2）标准布朗运动标准布朗运动：)(|)()(|)()(0),(,)(|)()(0),(,)(|)(xsXastXPxsXxasXstXPsuuXxsXxasXstXPsuuXxsXastXP)()()(),(112111121nntttttnxxfxxfxfxxfnn()X tt若为布朗运动，均值为
5、0，方差为，LOGO显然，条件分布是正态分布，均值和方差为2()s.X ttX(t)BX(s)t例：设为布朗运动，均值为0，方差为，求给定时，的条件分布，其中)(2)/(exp)(2)(2exp)()()()|(22221/ststBsxtKstxBsxKBfxBfxfBxftststs解：条件密度是：()|()/()|()()/E X sX tBBs tVar X sX tBs LOGO例3：在有两人比赛的自行车赛中，以Y(t)记当100t的竞赛完成时，从内道出发的竞赛者领先的时间秒数，且假设Y(t)可以有效地用方差参数为 的布朗运动建模。求：（1）如果在赛道的中点，内道竞赛者领先 秒，问他
6、取胜的概率是多少？（2）如果内道竞赛者在竞赛中领先 秒获胜，问他在竞赛中点领先概率是多少？LOGO解：（1）（2）需要计算9213.0)2(22/)2/1()2/1()2/1()1()2/1(|)2/1()1()2/1(|0)1(YPYPYYPYYYPYYP)1(|0)2/1(YYPstY(t)CY(s)首先需要确定，在时，给定时的条件分布。2()()/,(),0()/()/(-)/()()()/()/X tY tX t tX tCX ssC ts t s tY tCY sX ssC ts t s t若令则是标准布朗运动由例2，可得当给定时，的条件分布是均值为，方差为的正态分布。因此，给定时，
7、的条件分布是均值为，方差的正态分布。8413.0)1(0)4/,2/()1(|0)2/1(2NPYYP因此，LOGO)1()1(),1()(),1()1(),()(),()1()(),1()()(),(tsstststsXXstCovtXXsCovXsXtCovtXsXCovtXtXsXsXCovtZsZCLOGO11(),0,(),()nnX t tttX tX t随机过程称为高斯过程，若对一切有多元正定义：态分布。（3）布朗运动的联合分布是多元正态的，所以布朗运动是高）布朗运动的联合分布是多元正态的，所以布朗运动是高斯过程。斯过程。由于多元正态分布完全由边际均值和协方差决定，布朗运动由于多
8、元正态分布完全由边际均值和协方差决定，布朗运动也完全由其均值和协方差决定。也完全由其均值和协方差决定。0,(,(),0E X tC s tCov X s X tmin s ts LOGOLOGOLOGOLOGO(),0(),01|(1)0X t tX ttX 若为布朗运动过程，条件随机过程是高斯过程，称之为定义：布朗桥。()|(1)00(),()|(1)0()()|(1)0(1-),1E X sXCov X sX tXE X s X tXst st 布朗桥过程完全由其边际均值和协方差确定4()()()-(1)(),01.X tZ tX ttXZ tt 例：设为布朗运动，则时，是布朗桥(),00
9、1.Z t tE(Z(t)stCov(Z(s),Z(t)s(t)证明：由于显然是高斯过程，需要验证的只是及时，下：前者显然，后者计算如LOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGO():()24 2-4 B tTMin t B ttTtE T例2：设为一标准布朗运动，令 即 是标准布朗运动首次击中的时间。用鞅的停止定理求.()(0)0 ()2-4,2-4 0 1/2 E B TE BB TTE TE T证明：由鞅的停止定理 由所以，求得LOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOG
10、O分布可以如下得到：中达到的最大值。它的量是过程在另一个感兴趣的随机变,0ttayatsdyetTPasXP/2/0222 ()(max由连续性）LOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGO（几何布朗运动在股票相对于时间的价格的建模中（几何布朗运动在股票相对于时间的价格的建模中有用，当感觉价格百分比变化是独立同分布时。有用，当感觉价格百分比变化是独立同分布时。例如，假设例如，假设X Xn n是某个股票在时刻是某个股票在时刻n n的价格，那么的价格，那么假设假设 是独立同分布也许是合理的。是独立同分布也许是合理的。1,/1nXXLOGO11110/,1,nnnnnnnnnYX
11、XnXY XXY YY X令所以迭代给出niinXYX10)ln()ln()ln(于是。近似的是几何布朗运动所以后，近似于布朗运动，也将如此，在适当规范是独立同分布的，由于iiiXXYLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGOLOGO击中时刻击中时刻0.xxTTxxE e以记漂移布朗运动击中 的时间。对时，计算它的矩母函数expexp(exp exp(exp exp x yxx yxxx yxxyETETTTETETTETET首先计算：（由独立增量性）（由平稳性）0 xTcxE eec意味着：，对某个(),()()()xTf xE ef xyf x f y令：则LOGO()(0)cYX
12、hXf下面确定，对取条件，可得 满足的微分方程()exp()()()()()hx Yf xEhTo heE f xYo ho hhx其中是到时刻 已经击中 的概率。2()()()()/2()()()()/2()hhxf xeE f xfx Yfx Yo hef xfxhfx ho h将上式 点有泰勒级数展开，形式的表示为：1(),()()(1)()()/2()heho hf xf xhhfxfx ho h 利用给出0()()()/2hhf xfxfx 除以 并令得LOGO2-()2cxcxcxcxf xececee又因为，代入可得：2220cc或2222cc 从而求得 或 20,0 2cc 由
13、于可见当时 2exp(2)xTE ex所以 LOGO最大值的极限平均值最大值的极限平均值0(),001max()lims ttX t tX st 定理：若是漂移系数为，的布朗运动过程，则以概率LOGOLOGO（六）积分布朗运动（六）积分布朗运动0(),0(),0,()()tX t tZ t tZ tX s ds若是布朗运动，则过程其中称为积分布朗运动。，则的变化率遵循布朗运动的价格，为时刻设型，品价格随时间变化的模际中发生，假设一种商为说明此过程如何在实)()(tZttZtdssXZZ(t)tXtZdtd0)()0()()(或LOGO刻划。计算由其均值和协方差函数是高斯过程，它的分布易证)(t
14、Z 62 ),min()()()()()()()(),(0)()()(20000000000stsduudyydydyduuydyduuXyXEdyduuXyXEtZsZEtZsZCovdssXEdssXEtZELOGO若假设一种商品价格的百分比变化率遵循一个布朗运动，可得另一种形式积分布朗运动。0()()()()()(0)exp()()tW ttdW tX t W tW tWX s dsdtX t设为时刻 的价格，则或其中是布朗运动。()326(0)1()()0,263E(W(t)exp/6Z tWW tetttZ ttt取，得到由于是正态的，均值为，方差为可见LOGO1、显然，遵循普通（漂
15、移）布朗运动的变量X是关于时间和dz的动态过程，其中第一项 为确定项，它意味着X的期望漂移率是每单位时间为 。第二项 是随机项，它表明对X的动态过程添加的影响（噪音）。这种噪音是由标准布朗运动的 倍给出的。2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为 ，标准差为 ，方差为 。3、标准布朗运动的漂移率 为0,方差率为1。2TTdtdzT漂移布朗运动（普通布朗运动）漂移布朗运动（普通布朗运动）LOGO补充：补充：伊藤伊藤(Ito)(Ito)过程过程(),0()(,)(,)()X t tX tdXa X t dtb X t dZZ t定义：我们称是伊藤过程，若满足其中为标准布朗运动。
16、22()(,)(,)(,)diffusion processX ta X tb X t tb X t说明：伊藤过程遵循均值（漂移率）为,方差为（漂移率为）的正态分布，显然是漂移布朗运动的推广，又称之为扩散过程（）。Ito (),0(,)(,)()()X t tdXa X t dtb X t dZG XtXtG Xt定理（引理）：如果是伊藤过程，具有随机微分式假如，是关于 和的可微分函数，则，也是一个伊藤过程，LOGO它的漂移率为22212GGGabXtX方差率为22()GbX说明：伊藤过程有一特性：即使经某些特定条件下函数转换，仍维持伊藤过程的容貌。2221()2GGGGdGab dtbdZX
17、tXX其随机微分式LOGO2222 /(,)1 ()2dSSdtSdZdS SdtdZG S tGGGGdGSS dtSdZStSS应用：(1)股票价格遵从几何布朗运动，即或 为一漂移布朗运动，则的随机微分式为：222 ln11 0GSGGGSSSSt(2)应用于股票价格对数变化，dzdtdG)2(2),)(2(lnln2tTtTSSTLOGO),)(2(lnln2tTtTSST()()T tTE SSe期望值：222()()var()1T tT tTSS ee方差：1lnTSTtS则收益率2ln()(),2TSTtTtS 由于：2(,)2Tt 收益率22期望的收益率为LOGOBlack-Scholes定价公式期权在时刻T的期望价值为)0,max(XSET时间t以固定价格X购买股票的期权定价为)0,max()(XSEecTtTr利用ST为几何布朗运动，可计算c的结果为书P498，（10.12）式。称为期权价格公式，依赖于股票初始价格，期权执行时间，期权执行价格，折扣因子和波动率。LOGO
