1、 北京北京市市 2020 年高考年高考 6 月末月末猜题卷猜题卷(三三) 数数 学学 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1. 命题“对任意 xR，都有 x20”的否定为（ ） A. 对任意 xR，都有 x20 B. 不存在 xR，都有 x20 C. 存在 x0R，使得 x020 D. 存在 x0R，使得 x020 【答案】D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“对任意 xR，都有 x20”的否定为存在 x0R，使得 x020 故选 D 2. 已知集合 1,0,1A，|3BxxN，那么集合 AB 等于（ ）
2、 A. 1,3) B. 0,1,2 C. 1,0,1,2 D. 1,0,1,2,3 【答案】C 【解析】因为|30,1,2BxxN， 所以 1,0,1,2AB ， 故选：C 3. 函数 2 54yxx 的单调递增区间是（ ） A. 5 , 2 B. 4, C. 5 ,4 2 D. 5 1, 2 ，4, 【答案】B 【 解 析 】 因 为 2 54yxx ， 所 以 2 5401xxx或 4x ， 即 函 数 2 54yxx 定义域为 ,14,， 设 2 54uxx ，所以u在,1上单调递减，u在4,上单调递增， 而yu在0,单调递增，由复合函数的单调性可知，函数 2 54yxx 的单调 增区间
3、为4,. 故选：B 4. 过点 A（-1，0） ，斜率为 k 的直线，被圆（x-1）2+y2=4 截得的弦长为 23，则 k 的值为 （ ） A. 3 3 B. 3 3 C. 3 D. 3 【答案】A 【解析】设直线为,根据弦长公式,可得：, ,解得：, 故选 A. 5. 甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示. 甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； 甲同学的平均分比乙同学的平均分高； 甲同学的平均分比乙同学的平均分低； 甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为 808
4、2 81 2 ,乙同学成绩的中位数为 8788 87.5 2 ,故错误； 1 =72+76+80+82+86+90 =81 6 x 甲 , 1 =69+78+87+88+92+96 =85 6 x 乙 ,则x x 甲乙, 故错误,正确； 显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故正确, 故选:A 6. 在边长为 2 的菱形 ABCD 中，60BAD ，E 是 BC 的中点，则AC AE A. 3 3 3 B. 9 2 C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】由题意120ABC， 2 2 cos1202BA BC ， 1 () ()() () 2 AC AEBCBABEBABCBAB
5、CBA 2213 22 BCBA BCBA 22 13 2( 2)29 22 故选 D 7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 918 2 B. 936 2 C. 1818 D. 1836 【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体， 其中半圆柱的底面半径为 3，高为 1， 故其体积为： 2 19 (31 1 6 6)18 22 V . 故选：A 8. 2019 年 12 月，湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例2020 年 1 月 12 日，世界卫生组 织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019 新型冠状病毒”2020 年 2 月 1
6、1 日，世界卫 生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为 COVID-19（新冠肺炎）新冠肺炎患者症状是发 热干咳浑身乏力等外部表征“某人表现为发热干咳浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的 （ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 表现为发热、 干咳、 浑身乏力者不一定是感染新型冠状病毒， 或者只是普通感冒等； 而新型冠状病毒感染者早期症状表现为发热、干咳浑身乏力等外部表征因而“某人表现为 发热、干咳、浑身乏力”是“该人患得新型冠状病毒”的必要不充分条件 故选：A 9. 设xR,记不超过 x 的最大整数为x,令x=x-x，则 5
7、1 2 ， 51 2 , 51 2 （ ） A. 是等差数列但不是等比数列 B. 是等比数列但不是等差数列 C. 既是等差数列又是等比数列 D. 既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B 【解析】因为 51 2 51 2 ， 51 2 =1，所以 5151 1 22 , 5151 22 2 ,即成等比数列但不成等差数列. 故：B. 10. 某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为 y，观影人数记为 x，其 函数图象如图（1）所示由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案， 图（2） 、图（3）中的实线分别为调整后 y 与 x 的函数图象，给出下列四种说法，图（2） 对
8、应的方案是：提高票价，并提高成本；图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低 成本；图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；图（3）对应的方案是：提 高票价，并降低成本其中，正确的说法是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由图可知，点 A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价， 故图 (2)降低了成本，但票价保持不变，即对；图 (3)成本保持不变，但提高了票价，即 对； 故选：C 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11. 若复数(1)()i ai在复平面内对应的点在第三象限，则整数 a 的取值为_ 【答案】0 【解析】复数(1)()=
9、1 (1)i aiaai ，若复数在复平面内对应的点在第三象限， 则 10 (1)0 a a ，解得11a ，又 a 为整数，则 a=0, 故答案为：0 12. 6 2 1 11x x 展开式中 2 x的系数为_ 【答案】30 【解析】 由题可得： 6 2 1 11x x 展开式中 2 x的系数等于二项式 6 (1)x展开式中x的指 数为 2 和 4 时的系数之和， 由于二项式 6 (1)x的通项公式为 16 rr r TC x ， 令2r =，得 6 (1)x展开式的 2 x的系数为 2 6 15C ， 令4r ，得 6 (1)x展开式的 4 x的系数为 4 6 15C ， 所以 6 2 1
10、 11x x 展开式中 2 x的系数15 1530 ， 故答案为 30. 13. 已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 1 12 33n n aaan ，则 4 S _ 【答案】 40 27 【解析】解： 1 12 33n n aaan ，可得1n 时， 1 1a ， 2n时， 2 121 331 n n aaan ，又 1 12 33n n aaan ， 两式相减可得 1 31 n n a ，即 1 1 3 n n a ，上式对1n 也成立，可得数列 n a是首项为 1， 公比为 1 3 的等比数列，可得 4 4 1 1 40 1 27 1 3 3 S 故答案为： 40 27 14.
11、已知函数 sin2 3cosaxxf x 的一条对称轴为 6 x ， 12 0f xf x， 且函数 f(x)在 12 ,x x上具有单调性，则 12 xx的最小值为_. 【答案】 2 3 【解析】 2 2 3 sin2 3cos12sin,tanf a axxaxx ，由题可知 2 sin2 3cos 6 2 66 1faa ，化简可得2a ，则 4sin 3 fxx ， 12 0,f xf x且函数 f x在 12 ,x x上具有单调性， 1122 ,x yxy关于对称中心对称，故有 12 33 , 2 xx kkZ ，解得 12 2 2, 3 xxkkZ ，当0k 时， 12 xx的最小
12、值为 2 3 ， 故答案为： 2 3 15.已知平面内两个定点)0 , 3(M和点( 3,0)N ，P 是动点，且直线 PM, PN 的斜率乘积为常 数)0( aa，设点 P 的轨迹为 C. 存在常数)0( aa，使 C 上所有点到两点(4,0),(4,0)距离之和为定值； 存在常数)0( aa，使 C 上所有点到两点(0,4),(0,4)距离之和为定值； 不存在常数)0( aa，使 C 上所有点到两点(4,0),(4,0)距离差的绝对值为定值； 不存在常数)0( aa，使 C 上所有点到两点(0,4),(0,4)距离差的绝对值为定值. 其中正确的命题是_.（填出所有正确命题的序号） 【答案】
13、 【解析】设点 P 的坐标为：P（x，y） ， 依题意，有： 33 yy a xx ， 整理，得： 22 1 99 xy a ， 对于，点的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆，且 c4，a0， 椭圆在 x 轴上两顶点的距离为：2 96，焦点为：2 48，不符； 对于，点的轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆，且 c4， 椭圆方程为： 22 1 99 yx a ，则9916a ，解得： 25 9 a ，符合； 对于，当 7 9 a 时， 22 1 97 xy ，所以，存在满足题意的实数 a，错误； 对于，点的轨迹为焦点在 y 轴上的双曲线，即 22 1 99 yx a ， 不可能成为焦点在 y 轴上的双曲线，
14、 所以，不存在满足题意的实数 a，正确. 故答案为：. 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16. 在ABC 面积2 ABC S， 6 ADC 这两个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 求 AC. 如图， 在平面四边形 ABCD 中， 3 4 ABC ，BACDAC， _，24CDAB， 求 AC. 【答案】见解析 【解析】选择： 113 sin2sin2 224 ABC SAB BCABCBC 所以 2 2BC ； 由余弦定理可得 222 2cosACABBCAB BCABC 2 482 2 2 220 2 所以202 5AC 选择 设BACCA
15、D，则0 4 ， 4 BCA ， 在ABC中 sinsin ACAB ABCBCA ，即 2 3 sinsin 44 AC 所以 2 sin 4 AC 在ACD中， sinsin ACCD ADCCAD ，即 4 sin sin 6 AC 所以 2 sin AC . 所以 22 sin sin 4 ，解得2sincos， 又0 4 ，所以 5 sin 5 ， 所以 2 2 5 sin AC . 17. 乒乓球单打比赛在甲、 乙两名运动员间进行， 比赛采用 7 局 4 胜制 （即先胜 4 局者获胜， 比赛结束） ，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同 （1）求乙以 4 比 1 获胜的概率； （
16、2）求甲获胜且比赛局数多于 5 局的概率 【答案】 （1） 1 8 （2） 5 16 【解析】 （1）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 1 2 ， 记“乙以 4 比 1 获胜”为事件 A，则 A 表示乙赢了 3 局甲赢了一局，且第五局乙赢， 3 3 4 11 11 P AC 22 28 （2）记“甲获胜且比赛局数多于 5 局”为事件 B，则 B 表示甲以 4 比 2 获胜，或甲以 4 比 3 获胜 因为甲以 4 比 2 获胜，表示前 5 局比赛中甲赢了 3 局且第六局比赛中甲赢了， 这时，无需进行第 7 局比赛，故甲以 4 比 2 获胜的概率为 32 3 5 1115 C
17、22232 甲以 4 比 3 获胜，表示前 6 局比赛中甲赢了 3 局且第 7 局比赛中甲赢了， 故甲以 4 比 3 获胜的概率为 33 3 6 1115 C 22232 ， 故甲获胜且比赛局数多于 5 局的概率为 555 323216 18. 如图 1，平面五边形ABCDE中，ABCD，90BAD，=2AB，=1CD，ADE是 边长为 2 的正三角形 现将ADE沿AD折起， 得到四棱锥EABCD（如图 2） ， 且DEAB 图 1 图 2 （）求证：平面ADE 平面ABCD； （）求平面BCE和平面ADE所成锐二面角的大小； 【答案】 （1）见解析； （2） 4 【解析】（） 证明： 由已知
18、得ABAD，ABDE因为ADDED， 所以AB 平面ADE 又AB 平面ABCD，所以平面ADE 平面ABCD （）设AD的中点为O，连接EO 因为ADE是正三角形， 所以EA ED ，所以 EO AD 因为 平面ADE 平面ABCD， 平面ADE平面ABCDAD，EO 平面ADE， 所以EO 平面ABCD 以O为原点，OA所在的直线为x轴， 在平面ABCD内过O垂直于AD的直线为y轴，OE所 在的直线为z轴， 建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示 由已知，得(0,0, 3)E，(1,2,0)B，( 1,1,0)C 所以 (1, 1, 3)CE ，(2,1,0)CB 设平面BCE的法向量( ,
19、 , )= x y zm 则 0, 0. CE CB m m 所以 30, 20. xyz xy 令1x ，则2, 3yz ， 所以 (1, 2,3)=m 又平面ADE的一个法向量(0,1,0)n， 所以 2 cos, 2 m n m n m n 所以平面BCE和平面ADE所成的锐二面角大小为 4 19. 在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 与两定点 A（-2，0） ，B（2，0）连线的斜率之积为 - 1 2 ，记点 P 的轨迹为曲线 C （I）求曲线 C 的方程； （II）若过点（ 2，0）的直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，曲线 C 上是否存在点 E 使 得四边形 OMEN 为
20、平行四边形？若存在，求直线 l 的方程，若不存在，说明理由 【答案】（） 曲线C的方程为 22 42 xy =1 （x2）（II） 存在， 直线l的方程为220xy. 【解析】解： （）设 P（x,y）,有 PA k PB k=- 1 2 得 2 y x 2 y x =- 1 2 整理得 22 42 xy =1（x2） 曲线 C 的方程为 22 42 xy =1（x2） （II）假设存在符合条件的点 E（ 00 xy，）由题意知直线 l 的斜率不为零 设直线 l 的方程为 x=my- 2 点 M 坐标为（ 11 xy，） 、点 N 坐标为（ 22 xy，） 由 22 2 24 xmy xy 得
21、： （ 2 m+2） 2 y-2 2my-2=0,0 1 y+ 2 2 2 2 2 m y m 则 121 (xxm y+ 2) 2 2y=- 2 4 2 2m 由四边形 OMEN 为平行四边形，得到OE OMON E（- 22 4 22 2 22 m mm ，） 把点 E 坐标代入曲线 C 的方程得： 4 m-4=0，解得 2 2m 直线 l 的方程为220xy 20. 已知函数 32 1 ln 2 f xxxaxaxaR. （1）当0a 时，求 f(x)的最值； （2）若函数 f x g x x 存在两个极值点 1212 ,x xxx，求 12 g xg x的取值范围. 【答案】 （1）最
22、小值是 1 e ，无最大值； （2）(, 3ln4) 【解析】 （1）由题意( )lnf xxx， ( )ln1fxx，易知 1 (0, )x e 时，( )0fx ， ( )f x 递减， 1 ( ,)x e 时，( )0fx ， ( )f x递增 ( )f x有极小值 1111 ( )lnf eeee ，也是最小值，无最大值 （2）由题意 2 1 ( )ln 2 g xxaxax， 2 11 ( ) axax g xaxa xx ， ( )g x在两个极值点 12 ,x x，则 12 ,x x是方程 2 10axax 的两个不等正根， 2 12 40 1 0 aa x x a ，4a ，
23、12 1xx +， 12 1 x x a ， 22 12111222 11 ( )( )()lnln 22 h ag xg xxaxaxxaxax 2 12121212 1112 ln()()2()ln(1) 22 x xa xxx xa xxaa aa 1 ln1 2 aa ， 显然 1 ( )ln1 2 h aaa 是关于a的减函数， ( )(4)3 ln4h ah ， 12 ()()g xg x的取值范围是(, 3ln4) 21. 对于正整数 n，如果 * k kN个整数 12k aaa， ， ，满足 12 1 k aaan， 且 12k aaan，则称数组 12k aaa， ， ，为
24、n 的一个“正整数分拆”.记 12k aaa， ， ，均为偶数的“正整数分拆”的个数为 12nk faaa， ， ， ，均为奇数的“正整数分 拆”的个数为 n g. ()写出整数 4 的所有“正整数分拆”; ()对于给定的整数4n n ，设 12k aaa， ， ，是n的一个“正整数分拆”，且 1 2a ， 求 k 的最大值; ()对所有的正整数 n，证明: nn fg;并求出使得等号成立的 n 的值. (注:对于 n 的两个“正整数分拆” 12k aaa， ， ，与 12m bbb， ， ，当且仅当km且 1122km ababab， ，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.) 【答案】()
25、1,1,1,1，1,1,2，1,3，2,2， 4；() n为偶数时， 2 n k ，n为 奇数时， 1 2 n k ；()证明见解析，2n ，4n 【解析】 ()整数 4 的所有“正整数分拆”为：1,1,1,1，1,1,2，1,3，2,2， 4. ()当 n 为偶数时， 123 .2 k aaaa时，k最大为 2 n k ； 当 n 为奇数时， 1231 .2,3 kk aaaaa 时，k最大为 1 2 n k ； 综上所述：n 为偶数，k最大为 2 n k ，n为奇数时，k最大为 1 2 n k . ()当 n 为奇数时，0 n f ，至少存在一个全为 1 的拆分，故 nn fg； 当 n
26、为偶数时，设 12 ,., k a aa是每个数均为偶数的“正整数分拆”， 则它至少对应了1,1,.,1和 12 1,1,.,1,1,.,1 k aaa的均为奇数的“正整数分拆”， 故 nn fg. 综上所述： nn fg. 当2n 时，偶数“正整数分拆”为 2，奇数“正整数分拆”为1,1， 22 1fg； 当4n 时，偶数“正整数分拆”为2,2， 4，奇数“正整数分拆”为1,1,1,1，1,3 故 44 2fg； 当6n时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为 1 的奇数拆分外，至少多出一项各项 均为 1 的“正整数分拆”，故 nn fg. 综上所述：使 nn fg成立的 n 为：2n 或4n .
