1、一.四则运算并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()()3();()()()()()()2();()()()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu定理推论推论;)()()1(11 niiniixfxf);()()2(xfCxCf ;)()()()()()()()()()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf。，求，求设设的导数；的导数；，求求的导数；
2、的导数；求函数求函数的导数；的导数；，求求yxxxyxxaaxayxxax 62coshsinh)0(lncottan32例1例2例3例4二.反函数求导 xy),(yxxy)(xfy )(yx o.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数定理即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例例1 1.arcsin的导数的导数求函数求函数xy .11)(arccos2xx ;11)(arctan2xx .11)cot(2x
3、x arc同理可得例例2 2.log的导数的导数求函数求函数xya.1)(lnxx 三.复合函数求导.)()()()()()(dxdududydxdyxxufyxuufxufyxuuufy 可导，且可导，且在在存在，则存在，则与与。若。若复合而成的函数复合而成的函数与与由函数由函数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)定理推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 处的导数。处的导
4、数。在在求求，处可导，又处可导，又在在设设；为实数，为实数，求证求证0)(0001sin)(0)(|ln)1ln(102221 xxgfxxxxgxxfxyxxyxyxxx 例2例3例4例5例10sincos),(cos)(sin)(22 dudyxdxdyxuxfxfyxf，证明，证明若令若令为可导函数，为可导函数，设设例6证明：)sin(cos2)(coscossin2)(sin22xxxfxxxfdxdy )(cos)(sincossin222xfxfxx ，时，时，又因又因)()1(cos22ufufyxu uufuufdudy2)()2)(1(22 )1()(222ufufu )(s
5、in)(coscos222xfxfx 0sin dudyxdxdy小 结1.1.反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;2.2.复合函数的求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链合理分解正确使用链导法）导法）;已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常或常数与基本初等函数的和、差、积、商数与基本初等函数的和、差、积、商.xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)
6、(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1）vuvu )(,（2）uccu )(（3）vuvuuv )(,（4）)0()(2 vvvuvuvu.(是常数是常数)C v导数四则运算v反函数求导).0)()()()()()()()()3();()()()()()()2();()()()()1(2 xvxvx
7、vxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.Oct.13 Wed.Review3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.注意注意:初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.xxcosh)(sinh xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh 处的导数。处的导数。在在求求的导数；的导数；求求；，求，求；，
8、求，求031)2ln()(.4)12ln(arctan.31,)(.2.123tan)(1sin2 xxxexfxyxxyxyyxuyyeyxxxxvx例Hw：p96 2(1,3,6,7,9,10)，3(3),6(6,7,8)，7(单),8(单),9,10(2),12(2,6,7,8,9)。四.高阶导数1.概念问题问题:变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.)()()(tftvta.)()(,)()(lim)(,)()(0处的二阶导数处的二阶导数在点在点为函数为函数则称则称存在存在即即处可导处可导在点在点的导数的导数如果函数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 定义记作记作.)(
9、,),(2222dxxfddxydyxf或或 记作记作阶导数阶导数的的函数函数阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的函数函数一般地一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称为一阶导数称为一阶导数称为零阶导数称为零阶导数相应地相应地xfxf.,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf2.二阶导数的力学意义：瞬时加速度。，求，求；，求
10、，求；，求，求；，求，求；，求，求)()()()()(sin.5)1,0(.4.3)1ln(.2)0(.1nnxnaxnnyxyyaaayyeyyxyyxy 例 注意注意 求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要急于不要急于合并合并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳数学归纳法证明法证明)3.运算规则则则阶导数阶导数具有具有和和设函数设函数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnn
11、vunnvnuvuvu Leibniz莱布尼兹公式莱布尼兹公式。求求；，求，求；，求，求)50()()(32)1(1.311.2.1yxxyyxxyyexynnx 例nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)()2sin()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnn)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxee)()(1)(!)1()1(nnnxnx常用高阶导数公式常用高阶导数公式.,cossin)(66nyxxy求求设设 例Hw：p101 1(9,10,11,12),3,4(1),8(2,4),9(1,3).
