1、专训2 构造全等三角形的五种常用方法名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决常见的辅助线作法有：翻折法、构造法、旋转法、倍长中线法和截长(补短)法，目的都是构造全等三角形 翻折法1如图，在ABC中，BE是ABC的平分线，ADBE，垂足为D.求证：21C.(第1题) 构造法2如图，在RtABC中，ACB90，ACBC，ABC45，点D为BC的中点，CEAD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：ADCBDF.(第2题) 旋转法3如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD
2、边上一点，BEDFEF，求EAF的度数(第3题) 倍长中线法4如图，在ABC中，D为BC的中点(1)求证：ABAC2AD；(2)若AB5，AC3，求AD的取值范围(第4题) 截长(补短)法5如图，在四边形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90.E，F分别是BC，CD上的点，且EAF60.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明(第5题)答案1证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)BE平分ABC，ABECBE.BDAD，ADBBDF90.在ABD和FBD中，ABDFBD(ASA)2DFB.又DFB1C，21C.(第
3、1题)2证明：如图，过点B作BGBC交CF的延长线于点G.ACB90，2ACF90.CEAD，AEC90，1ACF180AEC1809090.12.在ACD和CBG中，ACDCBG(ASA)ADCG，CDBG.点D为BC的中点，CDBD.BDBG.又DBG90，DBF45，GBFDBGDBF904545.DBFGBF.在BDF和BGF中，BDFBGF(SAS)BDFG.ADCBDF.(第2题)点拨：本题运用了构造法，通过作辅助线构造CBG，BGF是解题的关键3解：如图，延长CB到点H，使得BHDF，连接AH.ABE90，D90，DABH90.在ABH和ADF中，ABHADF.AHAF，BAHD
4、AF.BAHBAFDAFBAF，即HAFBAD90.BEDFEF，BEBHEF，即HEEF.在AEH和AEF中，AEHAEF.EAHEAF.EAFHAF45.(第3题)点拨：图中所作辅助线，相当于将ADF绕点A顺时针旋转90，使AD边与AB边重合，得到ABH.4(1)证明：延长AD至点E，使DEAD，连接BE.D为BC的中点，CDBD.又ADED，ADCEDB，ADCEDB.ACEB.ABBEAE，ABAC2AD.(2)解：ABBEAEABBE，ABAC2ADABAC.AB5，AC3，22AD8.1AD4.点拨：本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题通过证全等
5、，转化到一个三角形中，利用三角形的三边关系来解决5解：EFBEFD.证明：如图，延长FD到点G，使DGBE，连接AG.(第5题)BADC90，BADG90.在ABE与ADG中，ABEADG.AEAG，BAEDAG.又BAD120，EAF60，BAEFAD60，DAGFAD60，即GAF60，EAFGAF60.在EAF与GAF中，EAFGAF.EFGFFDDG.EFFDBE.点拨：证明一条线段等于两条线段的和的方法：“截长法”或“补短法”“截长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使之延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段
