1、返回返回上页上页下页下页目录目录高等数学(经管类)多媒体课件牛顿（牛顿（Newton）莱布尼兹（莱布尼兹（Leibniz）5/28/20231返回返回上页上页下页下页目录目录第一节第一节 导数概念导数概念 第二章第二章 三、导数的几何意义三、导数的几何意义二、导数的定义二、导数的定义一、引一、引 例例五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系五、小结与思考题五、小结与思考题（The Concept of Derivative）四、单侧导数四、单侧导数5/28/20232返回返回上页上页下页下页目录目录一、变化率问题举例一、变化率问题举例1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的
2、函数为)(tfs 0t则 到 的平均速度为0t0t v)()(0tftf0tt 而在 时刻的瞬时速度为0t0 limttv0()()f tf t0tt212sgtso)(0tf)(tft自由落体运动5/28/20233返回返回上页上页下页下页目录目录曲线)(:xfyC在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx 割线 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切线 MT 的斜率tanktanlim0 limxxk0()()f xf x0 xx5/28/20234返回返回上页上页下页下页目录目录so0t)(
3、0tf)(tft瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 两个问题的两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题变化率问题5/28/20235返回返回上页上页下页下页目录目录二、导数的定义二、导数的定义（Definition of Derivatives）1.函数在一点的导数与导函数函数在一点的导数与导函数.定义定义1
4、 设函数)(xfy 在点0 x0limxx00()()f xf xxx0limxyx)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy 记作:;0 xxy;)(0 xf;dd0 xxxy0d)(dxxxxf则称函数若的某邻域内有定义,在点0 x处可导可导,在点0 x的导数导数.0 xxy)(0 xf 0limxyx xxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000即5/28/20236返回返回上页上页下页下页目录目录若上述极限不存在,在点 不可导.0 x若0lim,xyx 也称)(xf在0 x若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函
5、数.记作:;y;)(xf;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就说函数就称函数在 I 内可导.的导数为无穷大.0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx5/28/20237返回返回上页上页下页下页目录目录由此可见，()sf tso0t)(0tf)(tft运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲线:()C yf x在 M 点处的切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 0()f t0()fx5/28/20238返回返回上页上
6、页下页下页目录目录解解 由导数定义有由导数定义有 0limxf xxf xfxx 220limxxxxx 02lim2xxxxxx 所以所以 112xffx 224xffx5/28/20239返回返回上页上页下页下页目录目录5/28/202310返回返回上页上页下页下页目录目录三、导数的几何意义三、导数的几何意义（Geometric Interpretation）xyo)(xfy CT0 xM曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为0tan()fx若,0)(0 xf曲线过上升;若,0)(0 xf曲线过下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;),
7、(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切线与 x 轴垂直.曲线在点处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0时 xf5/28/202311返回返回上页上页下页下页目录目录解解 法线斜率为法线斜率为 5/28/202312返回返回上页上页下页下页目录目录在点0 x的某个右右 邻域内)(xfy 若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000则称此极限值为)(xf在 处的右右 导数导数,0 x记作0()fx(左)(左左)0(x)0(x)(0 xf0 x定义定义2 设函数有定义,存在,
8、3.单侧导数单侧导数.在点0 x)(xfy 可导的充分必要条件充分必要条件注注1：函数,)()(00存在与xfxf且)(0 xf.)(0 xf是注注2：若函数)(xf)(af)(bf与在开区间 内可导,),(ba且都存在,则称)(xf在闭区间 上可导.,ba5/28/202313返回返回上页上页下页下页目录目录xxf)(在 x=0 不可导.例例6 证明函数证证:0()fx0(0)(0)limxfxfx 0limxxx 1因此，函数xxf)(在 x=0 不可导.0()fx0(0)(0)limxfxfx 0limxxx 1 00()()fxfx 一般地，如果函数的图形在某点出现一般地，如果函数的图
9、形在某点出现“尖角尖角”，那，那么在该点就没有切线，从而函数在该点不可导么在该点就没有切线，从而函数在该点不可导.5/28/202314返回返回上页上页下页下页目录目录五、函数的可导性与连续性的关系五、函数的可导性与连续性的关系处可导在点xxf)(定理定理处连续在点xxf)(证证:设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim0 xfxyx存在,故0limxy 即0limxyxx 00limlimxxyxx 0所以函数)(xfy 在点 x 连续.注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xy xyoxy 在 x=0 处连续,但不可导.5/28/202315返回返回上页上页下页下页
10、目录目录解解(1)因为因为 00limlim e1xxxf x 00limlim sin0 xxf xx5/28/202316返回返回上页上页下页下页目录目录(2)因为因为 00limlim(1)1xxf xx 200limlim(1)1xxf xx有有 00limlim(0)xxf xf xf又又 00()(0)1 10limlim10 xxf xfxfxx 200()(0)1 10limlim00 xxf xfxfxx 5/28/202317返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1.本节通过两个引例抽象出导数的定义：本节通过两个引例抽象出导数的定义：0 xxy)(0 xf 000
11、()()limxxf xf xxx)()(0 xfxfy0 xxx0limxyx 000()()limxf xxf xx 000()()limhf xhf xh5/28/202318返回返回上页上页下页下页目录目录2.利用导数的定义得出以下导数公式：利用导数的定义得出以下导数公式：()C )(x)(sin x(cos)x (ln)x 0;1x;cosxsin;x1,x()ln;xxaaa(e)e.xx 3.判断可导性判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.4.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率;5.函数的可导性与连续性的关系：函数的可导性与连续性的关系：可
12、导必连续,但连续不一定可导。5/28/202319返回返回上页上页下页下页目录目录课后练习课后练习习习 题题 2-1 1；4；5；6;思考与练习思考与练习1.函数 在某点 处的导数)(xf0 x)(0 xf)(xf 有什么区别与联系?与导函数区别:()fx是函数,0()fx是数值;联系:0()x xfx0()fx注意注意:)()(00 xfxf？5/28/202320返回返回上页上页下页下页目录目录._)()(lim000hxfhxfh3.已知,)0(,0)0(0kff则._)(lim0 xxfx0()fx0k)(0 xf 存在,则2.设4.设)(0 xf 存在,求极限.2)()(lim000
13、hhxfhxfh解解:原式0limhhhxf2)(00()f xhhxf2)(00()f x)(210 xf)(210 xf 0()fx)(2 )(0hhxf0()f x5/28/202321返回返回上页上页下页下页目录目录0,0,sin)(xxaxxxf,问 a 取何值时,)(xf 在),(都存在,并求出.)(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a时,1)0(f此时)(xf 在),(都存在,)(xf0,cosxx0,1x显然该函数在 x=0 连续.5.设5/28/202322返回返回上页上页下页下页目录目录解解:因为)(xf 存在,且,12)1()1(lim0 xxffx求).1(f xxffx2)1()1(lim0所以.2)1(fxfxfx2)1()1(lim001(1()(1)lim2()xfxfx 1)1(21f6.设5/28/202323结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End感谢聆听不足之处请大家批评指导Please Criticize And Guide The Shortcomings演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
