1、 第二十三讲 平面向量综合问题 A组一、选择题1.在中，已知是边上一点，若，则（ ）ABCD解析：在ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则=， l=， 2. 设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（ ） ABCD解析,若函数的图象是一条直线，即其二次项系数为0， 0 3. 已知，若P点是ABC所在平面内一点，且，的最大值等于( )A13 B15 C19 D21解析：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则B，C，(1，0)4(0，1)(1，4)，即P(1，4)，所以，因此因为 所以的最大值等于13，当，即时取等号4. 如图，在四边形ABCD中，则的值为（ ）A.2 B.
2、C.4 D.解析： 二、填空题5. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，则的值为解析：由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=1，n=1，故m+n=2，6.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.解析 设 ，即三、解答题7. 已知ABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)(1)若，求的值；(2)若，求sinA的值解: (1) 由 得 (2) 8.已知向量满足条件，求证：是正三角形解：令O为坐标原点，可设由，即两式平方和为，由此可知的最小正角为，即与的夹角为，同
3、理可得与的夹角为，与的夹角为，这说明三点均匀分部在一个单位圆上，所以为等腰三角形.9.已知两点M(1，0)，N(1，0)，且点P使成公差小于零的等差数列.(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P坐标为(x0,y0),Q为与的夹角，求tan.解：(1)设P(x,y）,由M(1，0），N(1，0）得， =(1x,y）, =(1x,y), =(2,0),=2(1+x), =x2+y21, =2(1x).于是，是公差小于零的等差数列，等价于所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.(2)点P的坐标为(x0,y0)10. 已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量， .（1） 若/，
4、求证：ABC为等腰三角形； （2） 若，边长c = 2，角C = ，求ABC的面积 .证明：（1）即，其中R是三角形ABC外接圆半径， 为等腰三角形解（2）由题意可知由余弦定理可知， 11.在中，记的夹角为.（）求的取值范围；（）求函数的最大值和最小值.解 (1)由余弦定理知：，又，所以，又即为的取值范围；（），因为，所以，因此，. B组一、选择题1.把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（ ）ABCD解把函数y=ex的图象按向量=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)= ，选C。 2.设a=(4,3),a在b上的投影为,b在x轴上的投影为
5、2,且|b|1,则b为（）A.(2,14)B.(2,- ) C.(-2, ) D.(2,8)解析：设a在b的夹角为，则有|a|cos=，=45，因为b在x轴上的投影为2,且|b|1,结合图形可知选B3.设两个向量和其中为实数.若则的取值范围是( )A.B.C.D.解析由可得，设代入方程组可得消去化简得，再化简得再令代入上式得可得解不等式得因而解得.4.在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，则的可能值有A、1个 B、2个 C、3个 D、4个【解析】解法一： （1） 若A为直角，则； （2） 若B为直角，则；（3） 若C为直角，则。所以 k 的可能值个数是2，选B 解法二：
6、数形结合如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角所以 k 的可能值个数是2，选B二、填空题5. 如图，在中，是边上一点，则.【分析】法一：由余弦定理得可得，又夹角大小为，所以.法二：根据向量的加减法法则有:,此时.6.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则 ， . 图2解析 作,设，,由解得故三、解答题7.已知点是且试用解：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.由OA=2，所以，易求，设.8.已知向量且，函数（I）求函数的最小正周期及单调递增区间；（II）若，分
7、别求及的值。（I）解； 得到的单调递增区间为（II） 9.已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|+|=4.求点P(x,y)的轨迹C的方程.如果过点Q(0，m)且方向向量为 =(1,1) 的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当AOB的面积取到最大值时，求m的值。解：(1) =, |=,且|+|=4.点P(x,y)到点(,0)，(-,0)的距离这和为4，故点P的轨迹方程为(2)设A(),B()依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得，则+=-m, =因此，当时，即m=时，10.已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值；（2）若，求的值 解 （1）与互相垂直，则，即，代入得，又
8、，.（2），则，11.如图，已知ABC中，|AC|=1,ABC=,BAC=,记。（1） 求关于的表达式;（2） 求的值域。解：（1）由正弦定理，得 （2）由，得 ，即的值域为. C组一、选择题1. 在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（A） （B） （C） （D） 【解析】： ，A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确. 2.设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则|FA|+|FB|+|FC|=(A)9(B)6(C) 4 (D) 3解设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则F为ABC的重心， A、B、C
9、三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3， |FA|+|FB|+|FC|=，选B。3.设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( )A三角形区域 B四边形区域C五边形区域 D六边形区域解析 本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中， 即点P可以是点A.4.已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心
10、 垂心 D.外心 重心 内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）解析二、填空题5.在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|1，则|的最大值是_解析设D(x，y)，由(x3，y)及|1知(x3)2y21，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆又O(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1，)间距离的最大值圆心C(3,0)与点P(1，)之间的距离为，故的最大值为1.6.如图，在半径为1的扇形AOB中，AOB60，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则最小值是_解析因为，所以()()2.又因为AO
11、B60，OAOB，OBA60.OB1.所以|cos 120|.所以|2(|)2.故当且仅当|时，最小值是.三、解答题7.已知向量m(sin x，cos x)，n(，)，xR，函数f(x)mn.(1)求f(x)的最大值；(2)在ABC中，设角A，B的对边分别为a，b，若B2A，且b2af(A)，求角C的大小解(1)f(x)sin xcos xsin(x)，所以f(x)的最大值为.(2)因为b2af(A)，由(1)和正弦定理，得sin B2sin2A.又B2A，所以sin 2A2sin2A，即sin Acos Asin2A，而A是三角形的内角，所以sin A0，故cos Asin A，tan A，
12、所以A，B2A，CAB.8.已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量m(cos B,2cos21)与向量n(2ab，c)共线(1)求角C的大小；(2)若c2，SABC2，求a，b的值解(1)m(cos B，cos C)，n(2ab，c)，mn，ccos B(2ab)cos C，sin Ccos B(2sin Asin B)cos C，sin A2sin Acos C，cos C，C(0，)，C.(2)c2a2b22abcos C，a2b2ab12，SABCabsin C2，ab8，由得或.9.在ABC中，AC10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD5，且满足.(1)求|；(2
13、)存在实数t1，使得向量xt，yt，令kxy，求k的最小值解(1)由，且A，B，D三点共线，可知|.又AD5，所以DB11.在RtADC中，CD2AC2AD275，在RtBDC中，BC2DB2CD2196，所以BC14.所以|14.(2)由(1)，知|16，|10，|14.由余弦定理，得cos A.由xt，yt，知kxy(t)(t)t|2(t21)t|2256t(t21)1610100t80t2356t80.由二次函数的图象，可知该函数在1，)上单调递增，所以当t1时，k取得最小值516.10.已知向量(cos x，sin x), ，定义函数f(x).(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当时，求锐角x的值解析：(1)f(x)sin xcos xsin 2xsin，2k2x2k，kZ，即kxk，kZ.f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)当时，f(x)0，即sin0, sin，又2x，故2x，故x.11已知向量a(sin ，2)与b(1，cos )互相垂直，其中.(1)求sin 和cos 的值；(2)若sin()，0，求cos 的值解析：(1)a与b互相垂直，则absin 2cos 0，即sin 2cos ，代入sin2 cos2 1得sin ，cos ，又，sin ，cos .(2)0，0，.cos().cos cos()cos cos()sin sin().
