1、全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）问题问题1 1：正方形的面积正方形的面积y y与正方形的边长与正方形的边长x x之间之间 的的函数关系函数关系是是y=xy=x2 2确定性关系确定性关系问题问题2 2：某水田水稻产量某水田水稻产量y y与施肥量与施肥量x x之间是否之间是否 -有一个确定性的关系？有一个确定性的关系？例如：例如：在在 7 7 块并排、形状大小相同的试验田块并排、形状大小相同的试验田上上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：如下所示的一组数据：施化肥量施化肥量x x 15 20 25 30 35 40 45 15 20
2、25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y y 330 345 365 405 445 450 455 330 345 365 405 445 450 455复习、变量之间的两种关系复习、变量之间的两种关系自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做机性的两个变量之间的关系叫做相关关系相关关系。1 1、定义：、定义：1 1）相关关系是一种不确定性关系；）相关关系是一种不确定性关系；注意：注意：对具有相关关系的两个变量进行对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫统计分析的方法叫回归分析回归分析。2 2）2 2、现实生活中存在
3、着大量的相关关系。现实生活中存在着大量的相关关系。探索探索1 1：水稻产量：水稻产量y y与施肥量与施肥量x x之间大致有何之间大致有何规律？规律？10 20 30 40 5010 20 30 40 50500500450450400400350350300300发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。探索探索2 2：在这些点附近可画直线不止一条，：在这些点附近可画直线不止一条，哪条直线最能代表哪条直线最能代表x x与与y y之间的关系呢？之间的关系呢？x xy y施化肥量施化肥量水稻产量水稻产量施化肥量施化肥量x x 15 20 25 30 35 40
4、 45 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y y 330 345 365 405 445 450 455 330 345 365 405 445 450 455散点图散点图10 20 30 40 50500450400350300 xy施化肥量施化肥量水稻产量水稻产量n n2 2iiiii=1i=1Q(a,b)=(y-bx-a)取最小值时,a,b的值.Q(a,b)=(y-bx-a)取最小值时,a,b的值.iiyx,iiyx,iiyx3 3、对两个变量进行的线性分析叫做、对两个变量进行的线性分析叫做线性线性回归分析回归分析。3 3、回归直线方程：、回归直线方程：n nn n
5、i ii ii ii ii i=1 1i i=1 1n nn n2 22 22 2i ii ii i=1 1i i=1 1(x x-x x)(y y-y y)x x-n nx xy yb b=,(x x-x x)x x-n nx xa a=y y-b bx xy y2.2.相应的直线叫做相应的直线叫做回归直线回归直线。1 1、所求直线方程、所求直线方程 叫做叫做回归直回归直 -线方程线方程；其中；其中 y=bx+ay=bx+a10 20 30 40 5010 20 30 40 50500500450450400400350350300300 xy施化肥量施化肥量水稻产量水稻产量施化肥量施化肥量
6、x x 15 20 25 30 35 40 45 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y y 330 345 365 405 445 450 455 330 345 365 405 445 450 455解解:1.画出散点图画出散点图2.求出求出b=4.75,a=256.79b=4.75,a=256.793.写出回归方程写出回归方程 y=4.75x+256.79y=4.75x+256.794.计算相关系数计算相关系数r=0.9718r=0.9718例题例题1 1 从某大学中随机选出从某大学中随机选出8 8名女大学生，其身名女大学生，其身高和体重数据如下表：高和体重数据如下表
7、：编号编号1 12 23 34 45 56 67 78 8身高身高165165165165157157170170175175165165155155170170体重体重48485757505054546464616143435959求根据一名女大学生的身高预报她的体重的求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为回归方程，并预报一名身高为172172的女的女大学生的体重。大学生的体重。y=0.849x-85.172y=0.849x-85.172分析：由于问题中要求分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，此选取身高为自变量，体重为因变
8、量体重为因变量由图形由图形观察可以看出，样本点观察可以看出，样本点呈条状分布，身高和体呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间回归方程刻画它们之间的关系的关系身高172cm女大学生体重身高172cm女大学生体重y=0.849172-85.712=60.316(kg)y=0.849172-85.712=60.316(kg)3.通过探究栏目引入通过探究栏目引入“线性回归模型线性回归模型”。此处可以引。此处可以引导学生们体会函数模型与回归模型之间的差别。导学生们体会函数模型与回归模型之间的差别。（2 2）从散点图还可以看
9、到，样本点散布在某一条）从散点图还可以看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次函数来描述它们之间的关系。这时我函数来描述它们之间的关系。这时我们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系：们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系：+其中和为模型的其中和为模型的未知参数未知参数，e e是是y y与与 之间的误差之间的误差,通常通常称为称为随机误差随机误差。y思考思考产生随机误差项产生随机误差项e的原因是什么？的原因是什么？随机误差随机误差e e的来源的来源(可以推广到一般）：可以推广到一般）：1、其它因素的影响：影响体重
10、y 的因素不只是身高 x，还受其他许多因素的影响，例如饮食习惯、是否喜欢运动、度量误差等；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；线性回归模型线性回归模型 +2 2E(e)=0,D(e)=E(e)=0,D(e)=y+其中和为模型的其中和为模型的未知参数未知参数，e e是是y与与 之间的误差之间的误差,通常通常称为称为随机误差随机误差。探究：在线性回归模型中，探究：在线性回归模型中，e是用是用bx+a预报真实值预报真实值y的随机误差，它是的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差呢？究随机误差呢？(1,2,.)iiiiiiybxa inyyyb
11、xaiiiii随 机 误 差 e其 估 计 值 为:ee 称 为 相 应 点(x,y)的 残 差思考：如何发现数据中的错误？如何衡思考：如何发现数据中的错误？如何衡量模型的拟合效果？量模型的拟合效果？通过残差通过残差 来判断模型拟合的效果来判断模型拟合的效果这这种分析工作称为种分析工作称为残差分析残差分析，我们可以通过残差图我们可以通过残差图来分析残差的特性，作图时纵坐标为残差，横坐来分析残差的特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形成为值等，这样作出的图形成为残差图。残差图。1,2,3,.ne e
12、ee编号编号12345678身高身高/cm165165157170175165155170体重体重/kg4857505464614359残差残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382下表就是出了女大学生身高和体重的原始数据下表就是出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。以及相应的残差数据。若模型选择的正确，若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意。如第。如第1 1个样本点个样本点和第和第6 6个样本点的残差比较大，
13、需要确认在采集这两个样本点个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误应纠正然的过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误应纠正然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，应寻找其他原因，这样的带状区域的宽度越窄说明模型误，应寻找其他原因，这样的带状区域的宽度越窄说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。错误数据 模型问题身高与体重残差图异常点另外，我们可以用另外，我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，来刻画回归的效果，其计算公式
14、是其计算公式是 显然，显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，就意味的值越大，说明残差平方和越小，就意味着残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。反之着残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。反之则拟合效果越差。则拟合效果越差。在线性回归模型中，在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变表示解析变量对预报变量变化的贡献率化的贡献率。R2越接近越接近1，表示回归的效果越好（因为，表示回归的效果越好（因为R2越接近越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。?1112122niiniiiyyyyR残差平方和残差平方和总偏差平方和总偏差平方和
15、用身高预报体重时，需要注意下列问题：用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；、我们所建立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。这些问题也使用于其他问题。这些问题也使用于其他问题。一般地，建立回归模型的基本步骤为：一般地
16、，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。们之间的关系（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。
17、（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。例例2：一只红铃虫的产卵数一只红铃虫的产卵数y与温度与温度x有关有关,现收集现收集了了7组观测数据组观测数据,试建立试建立y与与x之间的回归方程之间的回归方程 解解:1):1)作散点图作散点图;从散点图中可以看出产卵数和温度之间的关系并不能从散点图中可以看出产卵数和温度之间的关系并不能用线性回归模型来很好地近似。这
18、些散点更像是集中用线性回归模型来很好地近似。这些散点更像是集中在一条指数曲线或二次曲线的附近。在一条指数曲线或二次曲线的附近。解解:令令 则则z=bx+a,(az=bx+a,(a=lnc=lnc1 1,b=c,b=c2 2),),列出变换后数据表并画列出变换后数据表并画 出出x x与与z z 的散点图的散点图 z=lnyz=lnyx和z之间的关系可以用线性回归模型来拟合z=ax+b+ez=ax+b+e2 2c xc x1 1用用y=c e模y=c e模型型;1)x x2121232325252727292932323535z z1.9461.946 2.3982.398 3.0453.045
19、3.1783.1784.194.194.7454.745 5.7845.7842)2)用用 y=cy=c3 3x x2 2+c+c4 4 模型模型,令令 ,则则y=cy=c3 3t+ct+c4 4,列出列出变换后数据表并画出变换后数据表并画出t t与与y y 的散点图的散点图 2 2t t=x x散点并不集中在一条直线的附近，因此用线散点并不集中在一条直线的附近，因此用线性回归模型拟合他们的效果不是最好的。性回归模型拟合他们的效果不是最好的。t t44144152952962562572972984184110241024 12251225y y7 7111121212424666611511
20、5325325(1 1)0 0.2 27 72 2x x-3 3.8 84 43 3(2 2)2 2y y=e e,y y=0 0.3 36 67 7x x-2 20 02 2.5 54 4(1 1)(1 1)0 0.2 27 72 2x x-3 3.8 84 43 3i ii ii i(2 2)(2 2)2 2i ii ii ie e=y y-y y=y y-e e,(i i=1 1,2 2.7 7)e e=y y-y y=y y-0 0.3 36 67 7x x+2 20 02 2.5 54 4,残残差差表表编号编号1 12 23 34 45 56 67 7x x2121232325252
21、727292932323535y y7 71111212124246666115115325325e(1)e(1)0.520.52-0.167-0.1671.761.76-9.149-9.1498.8898.889-14.153-14.15332.92832.928e(2)e(2)47.747.7 19.39719.397-5.835-5.835-41.003-41.003-40.107-40.107-58.268-58.26877.96577.965非线性回归方程非线性回归方程二次回归方程二次回归方程残差公式残差公式应用统计方法解决实际问题需要注意的问题：应用统计方法解决实际问题需要注意的问题：对对于同样的数据，有不同的统计方法进行分析，于同样的数据，有不同的统计方法进行分析，我们要用最有效的方法分析数据。我们要用最有效的方法分析数据。现在有三个不同的回归模型可供选择来拟合红铃虫的产卵数与温度数据，他们分别是：.,212exyecyebaxyexc可以利用直观（散点图和残差图）、相关指数来确定哪一个模型的拟合效果更好。ebxcz2ety 小小 结结 实际问题实际问题y=f(x)y=f(x)样本分析样本分析y=f(x)y=f(x)回归模型回归模型y=f(x)y=f(x)抽样抽样回归分析回归分析预报精度预报精度预报预报
