1、2023年6月1日星期四直线与圆锥曲线的位置关系一、要点1、直线与圆锥曲线有无公共点的问题。2、直线与圆锥曲线相交所得的弦长的计算，有关中点弦的问题。3、圆锥曲线内其它涉及到弦的问题。二、教学过程(一)、直线与圆锥曲线有无公共点的问题。直线与圆锥曲线有无公共点的问题，也就是相关的联立为方程有无解的问题，通常利用“代入”化简后的一元二次方程进行讨论。应注意：直线与圆锥曲线仅有一个公共点的情况，除了相切外，还有其它可能。如平行于抛物线对称轴的直线与抛物线；平行于渐近线的直线与双曲线有些直线与圆锥曲线位置关系的 讨论题（特别是选择题、填空题）可利用曲线图形观察分析，迅速得出结论（数形结合）。例1、过
2、点 且与抛物线 仅有一个交点 的直线有（）(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 例2、若直线 与双曲线仅有一个交点，这样k的值有（）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个)1,0(xy42C1kxyD(二)、直线与圆锥曲线相交所得弦长的计算通常利用方程根与系数的关系求得应用公式：有关弦中点的问题可利用中点公式及根与系数的 关系解决。例3、抛物线 的一条弦的中点为 ，求此弦所在的直线方程。2121xxkABxy422,3 2121212122214 )(4 21xxyyyyxxyy：11444212121ABkyyxxyy01yxAB所在的直线方程是：弦),(),()(2211
3、yxByxA：设弦交抛物线于法一(2)4 (1)4 222121xyxy则：)1(2)(xkyAB所在的直线方程为：设弦法二0)32()464(4)3(222222kxkkxkxyxky是上述方程的两个根则设212211,),(,xxyxByxA104464642221kkkkkxx01yxAB所在的直线方程为：弦评注：一题多解它对培养我们从多个角度去观 察问题、分析问题,解决问题的能力。从而培 养我们抽象思维的广阔性有着积极的作用。的长，求中点为，其弦、抛物线变题ABABxy)2,3(41201640101:)(22xxxyyxyxAB方程为由上法一223 22321xx解这个方程得：222
4、 22201,2121yyyxxx中，得：代入将)222,223(),222,223(,的坐标分别为即BA8242422 AB01:)(yxAB 的方程为：由上得弦法二212212212411xxxxkxxkAB运用公式：81 62121ABxxxx而)(利用抛物线的定义解题法三)0,1(,01FyxAB它过点方程为由上11 BBBFAAAF而8262 11212111xxxxBBAABFAFAB。求此弦所在的直线方程的弦长为，中，一条过点：抛物线变题 ,823422xy的长。求线段、与抛物线交于的焦点的直线，过抛物线：斜率为变题ABBAxy,4132评注：一题多变通过改变条件或改变结论或 改
5、变命题的陈述方式或改变图形等，使命题 发生变化。无疑这对培养我们善于从不同的 事物中找到其相同之处，进而培养我们的创 新意识与精神，及其适应能力，是一种有益 的尝试。多题一解它对培养我们善于从不同的事物中 找到其相同之处，进而培养我们抽 象思维的能力与思维的深刻性有着 良好的功效。(三)、圆锥曲线内其它涉及到弦的问题。应紧扣一元二次方程有关根的理论，并注意结合 其它数学知识综合解决_ ),(),(42211的充要条件是则的弦的两端点为、曲线例OQOPyxQyxPC02121 yyxx。纵坐标之积分别是定值两点的横坐标之积、，求证：为坐标原点上的两点，满足是抛物线、例 ,)()0(2,52BAO
6、OBOAppxyBA22212122112 2 ,)(pxypxyyxByxA则设法一证明：02121yyxxOBOA212212222144yypxxpyy221212214 4pyyxxpyy)2,2(2)(22kpkpApxykxykxyOA的方程为：设法二pkpkBxkyOB2,212的方程为：同理2212214 ,4pyypxx求抛物线方程。上的射影为在直线点两点，且、交于物线变题一：若一直线与抛),1,2(,)0(22DABOOBOABAppxy5-2y )2(212 ,21ABxxyABkkOD即方程为则解：025)10(2425222xpxpxyxy425 ,210,),B(,
7、),(2121212211xxpxxxxyxyxA是上述方程的二个根则设0 2121yyxxoBoA25)(10 4)52)(5221212121xxxxxxyy（又025)(10521212121xxxxyyxxxypxxxx254505)(222121所求的抛物线方程为即通性通法是法宝三：小结1：本节课研究了三个问题，尤其弦长的计算，中点弦问题，应注意通性通法的运用。2：在解题中应注意一题多解，多题一解，一 题多变的思想方法。这些思想方法可归纳为：一题多解真奇妙多题一解思维高一题多变创意好作业：请同学们在书上或者其它参考材料上找两个有关直线和圆锥曲线的问题，要求能够体现一题多解、多题一解、
8、一题多变的思想！的方程。点，求直线的重心位于椭圆的右焦的一个顶点，若是椭圆两点，、于交椭圆已知直线备用题四：LBMNBNMyx )4,0(11620L 22D(3,-2)MN B(0,4)F(2,0),的中点可求得由上顶点右焦点法一：解11620 11620,),(222221212211yxyxyxNyxM则设2121212154yyxxxxyy上式相减得：5646544 621212121xxyyMNkyyxx02856yxMN 的方程为：直线2,3)(D由上得法二)3(2xkyMN 的方程为：设080)23(5)23(105411620)3(22222kxkkxkyxxky566542310,2212211kkkkxxyxNyxM则设02856yxMN 的方程为：直线谢谢大家
