1、 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 这个表就称为这个表就称为杨辉三角杨辉三角 这样的二项式这样的二项式系数表，早在我国系数表，早在我国南宋数学家杨辉南宋数学家杨辉1261 年所著的年所著的详详解九章算法解九章算法一书一书里就已经出现了，里就已经出现了，在这本书里，记载在这本书里，记载着类似下面的表：着类似下面的表：杨辉杨辉中国南宋末年数学家、数中国南宋末年数学家、数学
2、教育家。大约在学教育家。大约在1313世纪世纪 中叶至后半叶活动于苏、中叶至后半叶活动于苏、杭一带。字谦光，钱塘杭一带。字谦光，钱塘（今杭州）人。其生卒年（今杭州）人。其生卒年及生平无从详考。杨辉的及生平无从详考。杨辉的数学著作甚多有数学著作甚多有日用算日用算法法 杨辉算法杨辉算法等等“杨辉三角杨辉三角”出现在杨辉出现在杨辉编著的编著的详解九章算法详解九章算法一一书中，且我国北宋数学家贾书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元宪（约公元11世纪）已经用世纪）已经用过它，这表明我国发现这个过它，这表明我国发现这个表不晚于表不晚于11世纪在欧洲，世纪在欧洲，这个表被认为是法国数学家这个表被认为是法国数学
3、家物理学家帕斯卡首先发现的物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三他们把这个表叫做帕斯卡三角杨辉三角的发现要比欧角杨辉三角的发现要比欧洲早洲早500年左右年左右.1.1.三角形的两条斜边上都是三角形的两条斜边上都是数字数字1 1，而其余的数都等于，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加它肩上的两个数字相加 2.杨辉三角具有对称性（对杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端称美），与首末两端“等距等距离离 ”的两个数相等的两个数相等 3.每一行的第二个数就是这每一行的第二个数就是这行的行数行的行数4.所有行的第二个数构成等所有行的第二个数构成等差数列差数列5.第第n行包含行包含n+1个数
4、个数 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5
5、 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 2)1(nnan 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ny11011111211311 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
6、 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ny202122232+1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 （a+b)1=（a+b)2=（a+b)3=（a+b)4=（a+b)5=（a+b)6=1a+1b1a2+2ab+1b21a3+3a2b+
7、3ab2+1b31a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b41a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b51a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 换一角度换一角度“斜斜”向看：向看：斜线的和依次为：斜线的和依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，a1=1,a2=1,a3 2，有：有：an=an
8、-1+an-2(n3)斐波那契数与植物花瓣斐波那契数与植物花瓣3百合和蝴蝶花 5蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花 8翠雀花 13金盏和玫瑰 21紫宛 34、55、89雏菊 兔子繁殖问题兔子繁殖问题一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；第一个月小兔子没有繁殖能力，
9、所以还是一对；两个月后，生下一对小兔民数共有两对；两个月后，生下一对小兔民数共有两对；三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖 能力，所以一共是三对；能力，所以一共是三对；1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 所有数的和是偶数 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
10、 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 n2 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 第第5行行第第7行行第第3行行第第 2行行都是质数 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 2
11、0 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 弹球游戏，小球向容器内弹球游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层挡物后跌落，碰到第一层挡物后向两侧跌落碰到第二层阻向两侧跌落碰到第二层阻挡物，再向两侧跌落第三挡物，再向两侧跌落第三层阻挡物，如此一直下跌层阻挡物，如此一直下跌最终小球落入底层。根据最终小球落入底层。根据具体地区获的相应的奖品具体地区获的相应的奖品（AG区奖品最好，区奖品最好，BF区区奖品次之，奖品次之，CE区奖品第三，区奖品第三，D 区奖品最差）。区奖品最差）。A B C D
12、 E F G 杨辉三角的实际应用杨辉三角的实际应用“纵横路线图纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题图是数学中的一类有趣的问题图1 1是某城市的是某城市的部分街道图，纵横各有三条路，如果从部分街道图，纵横各有三条路，如果从A A处走到处走到B B处处 (只能由只能由北到南，由西向东北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？，那么有多少种不同的走法？我们把图顺时针转我们把图顺时针转4545度，使度，使A A在正上方，在正上方，B B在正下方，然后在在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数交叉点标上相应的杨辉三角数B B处的杨辉三角数与处的杨辉三角数与A A到到B B的的走法有什么关系走法有什么关系?A图1问：问：纵横各有五条路呢？纵横各有五条路呢？B结论：结论：有趣的是，有趣的是，B B处所对应的数处所对应的数6 6，正好是答案，正好是答案(6)(6)一般地一般地,每个交点上的杨辉三角数，就是从每个交点上的杨辉三角数，就是从A A到达该点的方法到达该点的方法数由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系数由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系AB111112336ABDCAB
