1、112023-6-2222023-6-2 在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？表示呢？xyOlP（x，y）为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方法把这些几何要素表示出来法把这些几何要素表示出来332023-6-2 对于平面直角坐标系内的一条直线对于平面直角坐标系内的一条直线 l，它的，它的位置由哪些条件确定？位置由哪些条件确定？xyOl442023-6-2 我们知道，两点确定一条直线一点能确定我们知道，
2、两点确定一条直线一点能确定一条直线的位置吗？已知直线一条直线的位置吗？已知直线 l 经过点经过点P，直线，直线 l 的位置能够确定吗？的位置能够确定吗？xyOlllP(1)(1)它们都经过点它们都经过点P P.(2)(2)它们的它们的倾斜程度倾斜程度不同不同.552023-6-2 过一点过一点P可以作无数条直线可以作无数条直线l 1，l 2，l 3，它们都经过点它们都经过点P（组成一个直线束），这些直线（组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？区别在哪里呢？xyOlllP662023-6-2 容易看出，它们的倾斜程度不同怎样描述容易看出，它们的倾斜程度不同怎样描述直线的倾斜程度呢？直线的倾斜程
3、度呢？xyOlllP772023-6-2 当直线当直线 l 与与x轴相交时，我们取轴相交时，我们取x轴作为基准，轴作为基准，x轴正向与直线轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角向上方向之间所成的角 叫做叫做直直线线 l 的倾斜角的倾斜角（angle of inclination）xyOl 当直线当直线l与与x轴平行或重合时，轴平行或重合时，规定它的倾斜角为规定它的倾斜角为 .0直线的倾斜角直线的倾斜角 的取值范围为：的取值范围为：.1800882023-6-2 直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，平面直角坐标系中每一条
4、直线都有确定的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，度相同的直线其倾斜角相同度相同的直线其倾斜角相同 倾斜程倾斜程xyOlll 已知直线上的一个点不能已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置；同样已确定一条直线的位置；同样已知直线的倾斜角知直线的倾斜角也不能确定也不能确定一条直线的位置一条直线的位置 但是，但是，直线上的一个直线上的一个点点和和这条直线的这条直线的倾斜角倾斜角可以唯一确可以唯一确定一条直线定一条直线992023-6-2 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：何要素是：直线上的一个直线上的一个定点定
5、点以及它的以及它的倾斜角倾斜角，二者二者缺一不可缺一不可xyOlP10102023-6-2日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？前进量前进量升升高高量量前进量前进量升高量升高量坡度（比）坡度（比）11112023-6-2前进前进升升高高例如，例如，“进进2升升3”与与“进进2升升2”比较，前者比较，前者更陡一些，因为坡度（比）更陡一些，因为坡度（比）.2323前进量前进量升高量升高量坡度（比）坡度（比）12122023-6-2斜率通常用小写字母斜率通常用小写字母k表示，即表示，即 tan k 一条直线的倾斜角的正切值叫做这一条直线的倾斜角的正切值叫做这条条
6、直线的斜率直线的斜率（slope）.倾斜角是倾斜角是 的直线有斜率吗？的直线有斜率吗？90 倾斜角是倾斜角是 的直线的斜率不存在的直线的斜率不存在90)90(如果使用如果使用“倾斜角倾斜角”这个概念，那么这里的这个概念，那么这里的“坡坡度（比）度（比）”实际就是实际就是“倾斜角倾斜角的正切的正切”13132023-6-2 如：倾斜角如：倾斜角 时，直线的斜率时，直线的斜率 45 .145tan k当当 为锐角时，为锐角时，.tan)180tan(如：倾斜角为如：倾斜角为 时，由时，由135 145tan135tan k即这条直线的斜率为即这条直线的斜率为.1 倾斜角倾斜角不是不是90的直线都有
7、斜率，并且倾的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，可以用斜斜角不同，直线的斜率也不同因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度率表示直线的倾斜程度14142023-6-2已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？给定两点给定两点P1（x1，y1），），P2（x2，y2），），并且并且x1 x2，如何计算直线，如何计算直线P1 P2的斜率的斜率k15152023-6-2 当当 为锐角时，为锐角时，.,212121yyxxPQP 在直角在直角 中中QPP21 12121221|tantanxxyyQPQPPQP 设直线设直线P1 P2的倾斜角为的倾
8、斜角为（90），当），当直线直线P1 P2的的方向（即从方向（即从P1指向指向P2的方向）的方向）向上时，过点向上时，过点P1作作 x 轴的平行轴的平行线，过点线，过点P2作作 y 轴的平行线，轴的平行线，两线相交于点两线相交于点 Q，于是点，于是点Q的的坐标为（坐标为（x2，y1）16162023-6-2 tan)180tan(tan 当当 为钝角时，为钝角时，,18021PQP ,21xx .21yy 在直角在直角 中中QPP21 1212211212|tanxxyyxxyyQPQP .tan1212xxyy 1212xxyyk17172023-6-2 同样，当同样，当 的方向向上时，也有
9、的方向向上时，也有12PP.tan1212xxyy 1212xxyyk18182023-6-2思考？1、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1x2x1212xxyyk00tan0k答：成立，因为分子为0，分母不为0，K=0 19192023-6-22、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1y2y1212xxyyk思考？不存在不存在k)(90tan,90答：不成立，因为分母为0。20202023-6-21122ababkAB1122babakBA答：与A、B两点的顺
10、序无关。3、已知直线上两点 、，运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A、B的顺序有关吗？),(21bbB),(21aaA思考？21212023-6-2 当直线当直线 与与 轴平行或重合时，上述式子还成轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？立吗？为什么？12PPx 经过两点经过两点 的直线的的直线的斜率公式为：斜率公式为：)(,(),(21222111xxyxPyxP成立成立1212xxyyk1212tanxxyyak22222023-6-2归纳：归纳：对于斜率公式要注意下面四点：对于斜率公式要注意下面四点：(1)(1)当当x x1 1=x x2 2时，公式右边无意义，直线的斜率时，公式右边
11、无意义，直线的斜率 不存在，倾斜角不存在，倾斜角=90=90o o，直线与，直线与x x轴垂直；轴垂直；(2)(2)k k与与P P1 1、P P2 2的顺序无关，即的顺序无关，即y y1 1,y y2 2和和x x1 1,x x2 2在公在公 式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；能交换；(3)(3)斜率斜率k k可以不通过倾斜角而直接由直线上两可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；点的坐标求得；(4)(4)当当y y1 1=y y2 2时，斜率时，斜率k k=0=0，直线的倾斜角，直线的倾斜角=0=0o o，直线与直线与x x轴
12、平行或重合轴平行或重合.23232023-6-2 例例1 如图如图，已知，已知 ，求，求直线直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角是锐角还是钝角),2,3(A),1,4(B)1,0(C解：直线解：直线AB的斜率的斜率;713421 ABk;2142)4(011 BCk直线直线BC的斜率的斜率直线直线CA的斜率的斜率;1333021 CAk 由由 及及 知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均的倾斜角均为锐角；由为锐角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角0 ABk0 CAk0 BCk24242023-6-2 例例2 在平面
13、直角坐标系中，画出经过原点且斜率在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为分别为1，-1，2及及-3的直线的直线 及及 321,lll4l,00111 xy即即.11yx 解：取解：取 上某一点为上某一点为 的的坐标是坐标是 ，根据斜率公式，根据斜率公式有有:1l),(11yx1A 设设 ，则，则 ，于是，于是 的坐标是的坐标是 过过原点及原点及 的直线即为的直线即为 11 x11 y1A)1,1()1,1(1A1lxy1A3A2A4A1l3l2l4l 是过原点及是过原点及 的直线，的直线，是过原点及是过原点及 的直线，的直线，是过原点及是过原点及 的直线的直线2l),(222yxA),(3
14、33yxA),(444yxA3l4l25252023-6-2例例3.3.已知三点已知三点A A(a a,2),2)、B B(5,1)(5,1)、C C(4,24,2a a)在同一直线上，求在同一直线上，求a a的值的值.26262023-6-2解：解：,3330tantan0111kl 的斜率,120309000022的倾斜角l.360tan)60180tan(120tan000022kl 的斜率如图，直线如图，直线 的倾斜角的倾斜角 =300，直线，直线l2l1，求求l1，l2 的斜率的斜率.11l练习：练习：27272023-6-2两点间斜率公式两点间斜率公式倾斜角倾斜角斜率斜率作业：课本作业：课本p89 Ap89 A组组1,2,3,4,51,2,3,4,5
