1、数学更高的价值在于培养纯粹的思维能数学更高的价值在于培养纯粹的思维能力，启发人们向往理念的端倪；便于将力，启发人们向往理念的端倪；便于将灵魂从变化世界转向真理的实在灵魂从变化世界转向真理的实在柏拉图柏拉图 理想国理想国不等式的证明基本方法不等式的证明基本方法1 1、比较法：作差比较与作商比较、比较法：作差比较与作商比较2 2、综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式、综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立的方法。的性质推导出所要证明的不等式成立的方法。3 3、分析法：从要求证的不等式出发，分析这个不等、分析法：从要求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分
2、条件，把证明不等式转化为判定这些充式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即由果索因。分条件是否具备的问题，即由果索因。【例 题例 题】已 知】已 知 a 0a 0，b 0b 0，求 证：，求 证：a3+b3a2b+ab2.证明一：证明一：比较法（作差）比较法（作差）a+b00，而，而(a-b)20.=(a-b)2(a+b).（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3-a2b）+（b3-ab2）a0a0，b0b0，即即a3+b3a2b+ab2.(a-b)2(a+b)0.故（故（a3+b3）-（a2b+ab2）0,证明二：证明二：比较法（作商）比较法（作商）故故a3+
3、b3a2b+ab2.2233abbaba a2+b22ab，ababab2 ababba22 )ba(ab)abba)(ba(22 1 又又a0a0，b0b0，所以，所以ab00，证明三：分析法证明三：分析法所以有所以有a3+b3a2b+ab2.欲证欲证a3+b3a2b+ab2，只需证明只需证明(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b).由于由于a0a0，b0b0，所以所以a+b00，故只要证明故只要证明a2+b2-abab即可。即可。即即证明证明a2+b22ab.而而a2+b22ab 显然是成立的显然是成立的证明四：综合法证明四：综合法即即a3+b3a2b+ab2.a2+b22ab，a2+
4、b2-abab.又又a0a0，b0b0，a+b00，故故(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b).证明一：比较法（作差）证明一：比较法（作差）ab)ab(b)ba(a22 )ba(abba22 baabba22 所所以以，0 ab)ba()ba(2 ababbaba2233 课课本本习习题题改改变变）.(baabba22 练习：已知练习：已知a0a0，b0b0，求证：，求证：证明二：比较法（作商）证明二：比较法（作商）baabba22 而而a0a0，b0b0，所以，所以a+b0.a+b0.baabba22 故故1 ababab2 ababba22 )ba(abba33 证明三证明三:综合法
5、综合法b2aab2 同同理理a2bba2 b2a2aabbba22 baabba22 即即0b,0a 证明四:分析法 【探索探索1】已知ccNbbaaMcbacba4,44,0,0,0设且求M与N 的大小关系.构造函数法 放缩法M N535452 5322xxxx 【探索探索2】求证:换元法 判别式法,)(2qpxxfx 【探索探索3】已知求证:)3(.)2(.)1(fff中至少有一个不小于反证法1/2分析：观察条件和待证不等式的结构，可知连接它分析：观察条件和待证不等式的结构，可知连接它 们们的的“桥桥”较多，可从不同的角度来思考较多，可从不同的角度来思考 思考思考1:用作差比较来完成，利用
6、用作差比较来完成，利用a+b=1可将二元问题可将二元问题 化为一元问题化为一元问题 思考思考2:用分析法来完成，最终可化为证用分析法来完成，最终可化为证 .0)21(2a思考思考3:用综合法来完成，由用综合法来完成，由 出发进行变出发进行变形形0)21(2 a225)2()2(1,22babaRba，求证：，且思考题：已知思考思考4:用放缩法来完成，利用基本不等式用放缩法来完成，利用基本不等式22222 baba思考思考5:用均值换元法来完成，设用均值换元法来完成，设tbta 2121，思考思考6:用构造函数法来完成，由用构造函数法来完成，由a+b=1，设，设 y=(a+2)2+(b+2)2，
7、则，则225225)21(2132222 aaay思考思考7:用判别式法来完成，在得到用判别式法来完成，在得到y2a2 2a+13 后后 改变观点，视其为方程，有改变观点，视其为方程，有 2a2 2a+13 y=0 因因aR，则，则4 4 2(13 y)0，从而，从而 225)2()2(22 ba思考思考8:反证法反证法证明不等式的主要方法证明不等式的主要方法（4）反证法：正难则反）反证法：正难则反 BA)0B(1BABA0BA作商法作商法作差法作差法（6）放缩法：要恰当的放缩以达到证题的目的）放缩法：要恰当的放缩以达到证题的目的（1）比较法：）比较法：（2）综合法：由因导果）综合法：由因导果（3）分析法：执果索因）分析法：执果索因（5）构造法：构造函数或不等式证明不等式）构造法：构造函数或不等式证明不等式（7）判别式法：与一元二次函数有关的或可以转化）判别式法：与一元二次函数有关的或可以转化为一元二次函数为一元二次函数,根据其有无实数解建立不等式关系根据其有无实数解建立不等式关系求解问题求解问题.（8）换元法：三角换元，）换元法：三角换元，均值换元均值换元.作业:根据本课内容写一篇数学小论文
