1、2.22.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明2.2.1 2.2.1 综合法和分析法综合法和分析法推理推理合情推理合情推理演绎推理演绎推理归纳归纳(特殊特殊到到一般一般）类比类比（特殊特殊到到特殊特殊）三段论三段论（一般一般到到特殊特殊）复习复习 合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确.例例1 1：已知：已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2)2abc.2abc.又因为又因为c c2
2、 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2)2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc.4abc.证明证明:1。综合法。综合法利用已知条件和某些数学定义、公理、利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等定理等,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证,最后推最后推导出所要证明的结论成立导出所要证明的结论成立,这种证明方这种证明方法叫做法叫做综合法综合法用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、表示已知条件、已有的定义、公理、定理等定理等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论.则综合
3、法用框图表示为则综合法用框图表示为:1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q特点:“由因导果”综合法又叫由因导果法或顺推证法综合法又叫由因导果法或顺推证法.例例2 2：在：在中，三个内角、对应的边分中，三个内角、对应的边分别为别为a a、b b、c c，且、成等差数列，且、成等差数列，a a、b b、c c成成等比数列，求证等比数列，求证为等边三角形为等边三角形证明：由证明：由A,B,C成等差数列，有成等差数列，有2B=A+C，-因为因为A,B,C是三角形的内角，所以是三角形的内角，所以A+B+C=180o，-所以所以B=60o。-由由a,b,c成等
4、比数列，有成等比数列，有b2=ac,-则则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,再有再有得得a2+c2-ac=ac，即，即(a-c)2=0 因此因此a=c。从而有。从而有A=C-则由则由 得得A=B=C=60o。所以三角形所以三角形ABC是等边三角形。是等边三角形。利用已知条件和某些数学定义、公理、利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等定理等,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证,最后推最后推导出所要证明的结论成立导出所要证明的结论成立,这种证明方这种证明方法叫做法叫做综合法综合法用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、表示已知条件、已有的定义、公理、定理等定理等,Q,Q
5、表示所要证明的结论表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为则综合法用框图表示为:1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q小结小结综合法的定义综合法的定义:回顾基本不等式：回顾基本不等式：(a0,b0)(a0,b0)的证明的证明.a a+b ba a b b2 2证明证明:因为因为;所以所以所以所以所以所以 成立成立()b 20a a 20a a+b ba ab b 2a a+b ba ab b a a+b ba ab b2 2证明证明:要证要证;只需证只需证;只需证只需证;只需证只需证;因为因为;成立成立所以所以 成立成立 a a+b ba ab b
6、2 2 2a a+b ba ab b 20a a+b ba ab b()b 20a a()b 20a aa a+b ba ab b2 2 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做等）为止，这种证明的方法叫做分析法分析法 特点：特点：执果索因执果索因.用框图表示分析法的思考过程、特点用框图表示分析法的
7、思考过程、特点.1 1QPQP2323PPPP1212PPPP得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论分析法又叫执果索因法或叫逆推证法分析法又叫执果索因法或叫逆推证法例例3:求证求证372 5证明：因为证明：因为 都是正数，都是正数，372 5和所以为了证明所以为了证明 372 5只需证明只需证明 22(37)(2 5)展开得展开得102 2120即即215只需证明只需证明2125，因为，因为2125成立，成立，所以不等式所以不等式 成立。成立。372 52 22 22 22 22 2例例.已已 知知 ,k k+(k kZ Z),且且2 2 s si in n+c co os s=2 2s
8、 si in n s si in n c co os s=s si in n 1 1-t ta an n 1 1-t ta an n 求求 =.1 1+t ta an n 2 2(1 1+t ta an n )证证:例例4 41PP 21PP PPnmQQ 12QQ QQ 1上述过程可用框图表示上述过程可用框图表示:看课本第看课本第88页，例题页，例题3。见89页 一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做出所要证明的结论成
9、立，这种证明方法叫做综合法综合法。特点:“由因导果”小结小结综合法又叫由因导果法或顺推证法综合法又叫由因导果法或顺推证法.1.1.综合法的定义综合法的定义:一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做明的方法叫做分析法分析法 2.2.分析法的定义分析法的定义:分析法又叫执果索因法或叫逆推
10、证法分析法又叫执果索因法或叫逆推证法特点:“执果索因”2.2.2 2.2.2 路路边边苦苦李李 王戎王戎7 7岁时岁时,与小伙伴们外出游玩与小伙伴们外出游玩,看到路边的李看到路边的李树上结满了果子树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎只有王戎站在原地不动站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？伙伴问他为什么不去摘？王戎回答说王戎回答说:“:“树在道边而多子树在道边而多子,此必苦李此必苦李.”.”小小伙伴摘取一个尝了一下伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李果然是苦李.王戎是怎么知道李子是苦的呢王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样他运用了怎样的推理方法的推理方法?王戎的
11、推理方法是王戎的推理方法是:假设李子不苦假设李子不苦,则因树在则因树在“道道”边边,李子早就被别人采摘而没有了李子早就被别人采摘而没有了,这与这与“多多李李”产生矛盾产生矛盾.所以假设不成立所以假设不成立,李为苦李李为苦李.思考？思考？将将9 9个球分别染成红色或白色个球分别染成红色或白色.那么无论怎那么无论怎样染样染,至少有至少有5 5个球是同色的个球是同色的,你能证明这个你能证明这个结论吗结论吗?分析分析:假设有某种染法使红色球和白假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过色球的个数都不超过4,则球的总数应不超过则球的总数应不超过4+4=8,这与球的总数是这与球的总数是9矛盾矛盾.因此因
12、此,无论怎无论怎样染样染,至少有至少有5个球是同色的个球是同色的.把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明成立的证明方法称为间接证明.注：反证法是最常见的间接证法注：反证法是最常见的间接证法.一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾矛盾.因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做这样的证明方法叫做反证法反证法.反证法反证法反证法的证明过程：反证
13、法的证明过程：否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论，肯定结论，即分三个步骤：即分三个步骤：反设反设归谬归谬存真存真反设反设假设命题的结论不成立；假设命题的结论不成立；存真存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。肯定原结论成立。归谬归谬从假设出发，经过一系列正确的推理，从假设出发，经过一系列正确的推理，得出得出矛盾矛盾；用反证法证明命题的过程用框图表示为：用反证法证明命题的过程用框图表示为：肯定条件肯定条件否定结论否定结论导导 致致逻辑矛盾逻辑矛盾反设反设 不成立不成立结论结论成立成立反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反（1）直接
14、证明有困难直接证明有困难正难则反正难则反!（3）唯一性命题唯一性命题（2）否定或肯定性命题否定或肯定性命题（4）至多，至少型命题至多，至少型命题2.2.适宜用反证法证明的题型适宜用反证法证明的题型你能说出下列结论的反面吗你能说出下列结论的反面吗?1.ab2.d是正数是正数3.a04.aba不垂直于不垂直于bd不是正数不是正数,即即d0 a0a不平行不平行b万事开头难，让我们走好第一步！万事开头难，让我们走好第一步！探究点探究点2 反证法的应用反证法的应用常用的互为否定的表述方式：常用的互为否定的表述方式：至少有三个至少有三个最多有一个最多有一个至多有两个至多有两个至少有两个至少有两个原词原词语
15、语 否定词否定词 原词语原词语 否定词否定词 等于等于任意的任意的是是 至少有至少有一个一个 都是都是 至多有至多有一个一个 大于大于 至少有至少有n n个个 准确地作出反设准确地作出反设(即否定结论即否定结论)是非常重要的，是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式下面是一些常见的结论的否定形式.不是不是不都是不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个存在某存在某x，不成立不成立存在某存在某x,成立成立不等于不等于某个某个证明：证明：因为因为a b 所以经过直线所以经过直线a,b确定一个平面确定一个
16、平面 .因为因为 ,而而 ，所以所以 与与 是两个不同的平面是两个不同的平面.aa因为因为 ，所以所以 .bb且,b 例例1 已知直线已知直线a，b和平面和平面 ,如果如果 ,且且 ,求证求证:.ba,ba/a abP下面用反证法证明直线下面用反证法证明直线a与平面与平面 没有公共点，假设没有公共点，假设直线直线a与平面与平面 有公共点有公共点P P，则，则P P ，即点，即点P P是是直线直线a与与b b的公共点，这与的公共点，这与abb矛盾，所以矛盾，所以a .b.2 2是无理数求证例 分析：分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法们采用反证法
17、.假设假设 不是无理数，那么它就是有理数不是无理数，那么它就是有理数.我们我们知道，任一有理数都可以写成形如知道，任一有理数都可以写成形如 （m,nm,n互质，互质，mZ,nNmZ,nN*)的形式的形式.下面我们看看能否由此推出矛下面我们看看能否由此推出矛盾盾.2nm,2nm 2222因因此此 m=2n,m=2n,为为数数设设数数从从所所以以m偶m偶.于.于是是可可m=2k(k是m=2k(k是正正整整)，)，而而有有,2422nk 2222即即 n=2k,n=2k,为为数数 这这质质所所以以n也n也偶偶.与.与m,n互m,n互矛矛盾盾！设设错错误误从从无无数数由由上上述述矛矛盾盾可可知知假假，
18、而而 2是2是理理.证明：证明：假设假设 不是无理数，那么它就是有理数不是无理数，那么它就是有理数.2于是，存在互质的正整数于是，存在互质的正整数m,nm,n使得使得 ，从而有，从而有nm2.2 2是无理数求证例反证法的一般步骤反证法的一般步骤先假设命题的结论不成立先假设命题的结论不成立从假设出发，经过推理从假设出发，经过推理得出矛盾得出矛盾否定假设否定假设肯定原命题肯定原命题分清条件和结论分清条件和结论【总结提升【总结提升】宜用反证法证明的题型宜用反证法证明的题型（1 1）以否定性判断作为结论的命题）以否定性判断作为结论的命题.（2 2）某些定理的逆命题）某些定理的逆命题.（3 3）以）以“
19、至多至多”、“至少至少”或或“不多于不多于”等形式陈等形式陈述的命题述的命题.（4 4）关于）关于“唯一性唯一性”结论的命题结论的命题.（8 8）涉及各种）涉及各种“无限无限”结论的命题等结论的命题等.（7 7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段.（6 6）一些不等量命题的证明）一些不等量命题的证明.（5 5）解决整除性问题）解决整除性问题.1.“a1.“ab”b”的反面应是（的反面应是（）A.A.abab或或a ab B.a b B.a b b C.a=b D.a=bC.a=b D.a=b或或a ab b2.2.用反证法证明命题用反证法证明命题“三角形
20、中最多有一个是直角三角形中最多有一个是直角”时，应假设时，应假设 _ _ .D D三角形中有两个或三个角是直角三角形中有两个或三个角是直角3.3.否定否定“自然数自然数a a，b b，c c中恰有一个偶数中恰有一个偶数”时，正时，正确的反设为（确的反设为（）A.aA.a，b b，c c都是奇数都是奇数B.aB.a，b b，c c都是偶数都是偶数C.aC.a，b b，c c中至少有两个偶数中至少有两个偶数D.aD.a，b b，c c中都是奇数或至少有两个偶数中都是奇数或至少有两个偶数D D A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C在撒谎吗？为什么？在撒谎吗？为什么？分析分析:假设假设C C没有撒谎没有撒谎,则则A A、B B都撒谎都撒谎.由由A A撒谎撒谎,知知B B没有没有撒谎撒谎.那么那么假设假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立,则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎.这与这与B B撒谎矛盾撒谎矛盾.1.1.反证法的一般步骤反证法的一般步骤:假设命题不成立假设命题不成立引出矛盾引出矛盾假设不成立假设不成立求证的命题正确求证的命题正确假设假设归谬归谬结论结论从假设从假设出发出发得出得出结论结论与假设、已知、定与假设、已知、定义、定理、公理或义、定理、公理或者事实矛盾等者事实矛盾等
