1、目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 重积分的应用 第十章 目录 上页 下页 返回 结束 1.能用重积分解决的实际问题的特点:所求量是 对区域具有可加性 用微元分析法(元素法)建立积分式 分布在有界闭域上的整体量 3.解题要点:画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便 2.用重积分解决问题的方法:目录 上页 下页 返回 结束 一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为DyxyxfVdd)
2、,(,),(Dyx 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为zyxVddd目录 上页 下页 返回 结束 1:221yxzS任一点的切平面与曲面222:yxzS所围立体的体积 V.例例1.求曲面分析分析:1:221yxzS222:yxzS1M第一步:求切平面 方程;第二步:求 与S2的交线 在xOy面上的投影,写出所围区域 D;第三步:求体积V.zO(示意图)目录 上页 下页 返回 结束 1:221yxzS任一点的切平面与曲面222:yxzS所围立体的体积 V.解解:曲面1S的切平面方程为202000122yxyyxxz它与曲面22yxz的交线在 xOy 面上的投影为1)()(2020yyxxy
3、xVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12020)()(yyxx sin,cos00ryyrxx令2(记所围域为D),(000zyx在点Drrrdd2例例1 1.求曲面 rr dd10320目录 上页 下页 返回 结束 Oxyza2例例2.求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解解:在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2M目录 上页 下页 返回 结束 nMAddk二、曲面的面积二、曲面的面积xyzS
4、O设光滑曲面DyxyxfzS),(,),(:则面积 A 可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积 d A 无限积累而成.设它在 D 上的投影为 d,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)则Mnd目录 上页 下页 返回 结束 故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,),(,),(zyDzyzygx则有zyD即目录 上页 下页 返回 结束 xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程为,),(,),(xzDxzxzhy若
5、光滑曲面方程为隐式,0),(zyxF则则有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd目录 上页 下页 返回 结束 例例3.计算双曲抛物面yxz 被柱面222Ryx所截解解:曲面在 xOy 面上投影为,:222RyxD则yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220)1)1(32232R出的面积 A.zxyO目录 上页 下页 返回 结束 例例4.计算半径为 a 的球的表面积.解解:设球面方程为 ar球面面积元素为ddsind2aA 0202dsindaA24 asinada方法方法2 利用直角坐标方程.(略)方法方法1
6、利用球坐标方程.Oaxyzddsina目录 上页 下页 返回 结束 三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点,),(kkkzyx其质量分别,),2,1(nkmk由力学知,该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有空间域 ,),(zyx有连续密度函数则 公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心 目录 上页 下页 返回 结束 将 分成 n 小块,),(kkk将第 k 块看作质量集中于点),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小区域的最大直径,0zyxzyxzyxzy
7、xxxddd),(ddd),(系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点目录 上页 下页 返回 结束 同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常数时当zyx则得形心坐标：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd目录 上页 下页 返回 结束 若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片,),(yx为yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDAyxyyDdd(A 为D 的面积
8、)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为MMyMMx其面密度 xMyM 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩目录 上页 下页 返回 结束 4例例5.求位于两圆sin2rsin4r和的质心.2D解解:利用对称性可知0 x而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之间均匀薄片0dsin3143212OyxC目录 上页 下页 返回 结束 Vzyxzzddd例例6.一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为,30,)3(922zzzx内储有高为 h 的均质钢液,解解:利用对称性可知质心在 z 轴上，,0 yx采用柱坐标,则炉壁方程
9、为,)3(922zzrzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此故自重,求它的质心.Oxzh若炉不计炉体的其坐标为目录 上页 下页 返回 结束 hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)51233(923hhh225409043060hhhhhz)41229(923hhhVOxzh目录 上页 下页 返回 结束 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 ,有连续分布的密度函数.),(zyx该物体位于(x,y,z)处的微元 vzyxyxd),()(22因此物体 对 z 轴 的转动惯量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdOxyz对 z
10、轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故 连续体的转动惯量可用积分计算.目录 上页 下页 返回 结束 类似可得:zyxzyxIxddd),(zyxzyxIyddd),(zyxzyxIOddd),()(22zy)(22zx)(222zyx对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量目录 上页 下页 返回 结束 如果物体是平面薄片,面密度为Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),(DOyxyxIdd),(则转动惯量的表达式是二重积分.xDyO2y2x)(22yx DyyxyxIdd),(目录 上页 下页 返回 结束 rraddsin0302例例7.求半径为 a
11、 的均匀半圆薄片对其直径解解:建立坐标系如图,0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圆薄片的质量221aM 2212的转动惯量.OxyDaa目录 上页 下页 返回 结束)sinsincossin(222222rr解解:取球心为原点,z 轴为 l 轴,:2222azyx则zIzyxyxddd)(22552aMa252dddsin2rr 132220d球体的质量334aM dsin03rrad04例例8.8.求密度为 的均匀球体对于过球心的一条轴 l 的设球所占 域为(用球坐标)lOzxy转动惯量.目录 上页 下页 返回 结束 l)sinsincossin(
12、222222rr解解:取球心为原点,z 轴为 l 轴,:2222azyx则zIzyxyxddd)(22552aMa252dddsin2rr 132220d球体的质量334aM dsin03rrad04例例8.8.求密度为 的均匀球体对于过球心的一条轴 l 的设球所占 域为(用球坐标)Ozxy转动惯量.目录 上页 下页 返回 结束 202020)()()(zzyyxxr,G 为引力常数五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域,，连续),(zyx物体对位于点P0(x0,y0,z0)处的单位质量质点的引力为vrxxzyxGFxd)(),(d30vryyzyxGFyd)(),(d30vrzzzy
13、xGFzd)(),(d30其密度函数引力元素在三坐标轴上分量为),(zyxFFFF 其中rzxvdyFd0PO目录 上页 下页 返回 结束 vrxxzyxGFxd)(),(30vryyzyxGFyd)(),(30vrzzzyxGFzd)(),(30若求 xOy 面上的平面薄片D,对点P0处的单位质量质点的引力分量,),(yxDzrzyxGFd)0(),(30因此引力分量为 则上式改为D上的二重积分,密度函数改为 即可.例如,其中:202020)()()(zzyyxxr目录 上页 下页 返回 结束 aaR1122xyzRO例例9.设面密度为,半径为R的圆形薄片求它对位于点解解:由对称性知引力zF
14、ddaG,222Ryx)0(),0,0(0aaMDzaGFaGaG2处的单位质量质点的引力.2ddGdaR020da0M。,0z),0,0(zFF 23222)(dayx23222)(dayx2322)(darrr目录 上页 下页 返回 结束 RxyzO例例10.求半径为R的均匀球2222Rzyx对位于)(),0,0(0RaaM的单位质量质点的引力.解解:利用对称性知引力分量0yxFFzFRRzazGd)(vazyxazGd)(23222RRzazGd)(200232222)(ddzRazrrr点zDazyxyx23222)(dd0MazD目录 上页 下页 返回 结束 RRzazd )(zFG
15、222211azaRza200232222)(ddzRazrrrRRzazGd)(G2RRaza)(1222daazR2aMGR2343RM 为球的质量目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P153 7，10,17 P173 1，3，6,11,13,14习题课 目录 上页 下页 返回 结束)(th(t 为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程,)()(2)(22thyxthz设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时?(2001考研)备用题备用题yxzO目录 上页 下页 返回 结束)(
16、)(222)(thyxthz侧面方程:yxzO提示提示:记雪堆体积为 V,侧面积为 S,则)(:221220thyxD)()(:22122zththyxDzVzDyxdd)(0dthz)(0221d)()(thzzththS0Dyxzzyxdd)()(1220D)()(162221thyx)(2thrrrthd16)(2202)(th)(43thyxdd(用极坐标)(12132th目录 上页 下页 返回 结束)(12132thS,)(43thV 由题意知StV9.0dd1013ddth130)0(h1301013)(tth令,0)(th得(h)100t 因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需的时间为 100小时.
