1、第3章 向量组的线性相关性3.1 维向量 n3.2 向量组的线性相关性3.2.1向量组的线性组合定义定义3设有 维向量 ，若存在一组数 ，使 或 则称 为向量组 的线性组合，或称可由向量组 线性表示（表出），称为此线性组合的组合系数 n12,m12,mk kk1122mmkkk1212(,)mmkkk 12,m 12,m12,mk kk3.2.2 向量组的线性相关与线性无关定义定义4 设有 维向量组 ，若存在一组不全为零的数 ，使则称向量组 线性相关，否则称此向量组线性无关换言之，若 线性无关，成立当且仅当 n12,m12,mk kk 1122 0mmkkk 12,m12,m1122 0mmk
2、kk120mkkk由此定义可知：（1）仅含一个零向量的向量组必线性相关（2）仅含一个非零向量的向量组必线性无关（3）任何包含零向量在内的向量组必线性相关 3.2.3 向量组线性相关的充分必要条件定理定理1 向量组 线性相关的充分必要条件是：向量组 中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示例例1 讨论向量组的线性相关性解解设有一组数，使 12,m(2)m12,m1m1232133,2,2111 123,x xx112233 0 xxx则有方程组因其系数行列式所以方程组有非零解，从而线性相关 123123123230,3220,0.xxxxxxxxx2132153223150111100D123,
3、例例 讨论维向量组的线性相关性，通常称为基本单位向量组解解 设有一组数，使12100010,001eee n12,e een12,nk kk1 122eee 0nnkkk即得，从而，故线性无关 12100001000010nkkk T12(,)0nk kk120nkkk12,e een例例 设向量组线性无关，讨论向量组的线性相关性解解 设有一组数，使即从而有 12,n 112223,111,nnnnn1122 0nnxxx12,nx xx1122231()()()0nnxxx111221()()()0nnnnxxxxxx由线性无关，得齐次方程组将其系数行列式按第一行展开得12,n 11210,
4、0,0,nnnxxxxxx110001110001(1)0110000011 nA当为奇数时，因此故线性无关；当 为偶数时，因此故 线性相关 n20A12,n T12(,)0nx xx0A12,n nT12(,)0nx xx3.3 线性相关性的判别定理定理定理2 向量组 线性相关的充分必要条件是（有非零解）它所构成的矩阵 的秩小于向量个数 ；该向量组线性无关的充分必要条件是 .推论推论 1 个 维向量线性无关的充分必要条件是它们所构成的方阵的行列式不等于零.推论推论2 个 维向量组成的向量组，当维数 小于向量个数 （即 ）时一定线性相关定理定理3（1）若 线性相关，则 也线 性相关；（2）线性
5、无关的向量组的任何部分组必线性无关12,m12(,)mAm()R AmA 0 xnnmnmnnm12,r 11,rrm 定理定理4 设 线性无关，而 线性相关，则 能由线性表示，且表示式惟一定理定理5 设有两个向量组 ：其中 是自然数 的某个确定的排列，则向量组 与向量组 的线性相关性相同定理定理6 设有两个向量组12,m12,m 12,m12(,)(1,2,)jjjnjaaajm 12(,)(1,2,)njp jp jp jaaajm 12np pp1,2,n ：；：，即向量 加上一个分量得到向量 若向量组 线性无关，则向量组 也线性无关；反之，若向量组 线性相关，则向量组 也线性相关 12
6、(,)(1,2,)jjjrjaaajm 121(,)(1,2,)jjjrjrjaaaajm j j 3.4 向量组的秩 3.4.1 向量组等价的概念定义定义5 设两个向量组和 :若向量组 中的每个向量都可由向量组 线性表示，则称向量组 可由向量组 线性表示；若向量组 与向量组 能相互线性表示，则称这两个向量组等价等价向量组具有下面三个性质：自反性：向量组 与自身等价；对称性：若向量组 与向量组 等价，则向量组 与向量组 等价；：12,r12,s 传递性：若向量组 与向量组 等价，向量组 与向量组 等价，则向量组 与向量组等价CC3.4.2极大线性无关组与向量组的秩定义定义6 设向量组 的一个部
7、分组 满足 线性无关；向量组 中每一个向量均可由 线性表示，则称 是向量组 的一个极大线性无关组，简称极大无关组；极大线性无关组所含向量的个数 称为向量组 的秩，向量组 的秩记为 由定义6可证明:12,r 12,r 12,r 12,r r12,m12(,)mR(1)只含零向量的向量组没有极大线性无关组，规定它的秩为 ；(2)任何非零向量组必存在极大无关组；(3)向量组的极大无关组与向量组本身等价；(4)线性无关向量组的极大无关组为其本身（线性无关向量组的秩等于它所含向量的个数）.例例1 求向量组 的一个极大无关组 01232133,2,2111 解解 由3.2节例1知 线性相关，下面讨论其中任
8、两个向量 的线性相关性 设有数 ，使 ，即 因为由前两个方程构成的齐次线性方程组的系数行列式故方程组有惟一解，即 ，所以 线性无关123,13,12,k k1123 0kk121212230,320,0.kkkkkk23032120kk13,同理可验证 ；也线性无关可取 作为原向量组的一个极大无关组，也可取 或 作为原向量组的极大无关组一般来说，向量组的极大无关组不是惟一的，但可以证明每一个极大无关组所含向量的个数是惟一的求向量组的极大无关组的意义之一在于：当用向量组表示方程组时，其极大无关组中的向量对应方程组中那些独立的方程，而独立的方程构成的方程组与原方程组同解12,23,13,12,23
9、,定理定理7 若向量组 的秩为 ，向量组 的秩为 ，且向量组 能由向量组 线性表示，则 推论推论 等价向量组的秩相等 rsrs3.4.3向量组的秩与矩阵秩的关系设 矩阵 称矩阵 的 个列向量所构成的向量组的秩为 的列秩；的 个行向量所构成的向量组的秩为 的行秩矩阵的秩与其行、列秩的关系有如下定理:定理定理8 矩阵的秩等于其行秩，也等于其列秩 Am n111212122212,nnmmmnaaaaaaAaaaAnAmA3.4.4 初等变换求向量组的秩将所讨论的 维向量组 写成一个 行 列的矩阵，并对此矩阵施行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，其非零行的行数就是向量组 的秩（即极大无关组所含向量的个数
10、）例例2 求向量组 ，的秩及一个极大无关组解解 将向量按列构成矩阵 ，用初等行变换化其为行阶梯形矩阵：n12,mnm12,mTT12(1,4,1,0,2),(2,5,1,3,2),T3(1,2,5,6,2)T4(0,2,2,1,0)A121012101210452203620120115203620001036103610000222002400000A显然，非零行数为 ，知 ，故 3()3R A 1234(,)3R 3.5 向量空间 3.5.1 向量空间的概念定义定义7 设 是非空的 维向量集合，若集合对于向量的加法和数乘运算满足 对任意的 ，有 ；对任意的 ，有 ，则称集合 为向量空间Vn
11、V,V V ,VR V V3.5.2 向量空间的基与维数定义定义8 设 是向量空间，若向量组满足（1）线性无关；（2）中的任一向量都可由线性表示，则称为向量空间的一个基，称为的维数，记为，并称是维向量空间 只含一个零向量的集合 也是一个向量空间，称为零空间，零空间没有基，规定它的维数为 ，所以也可称为 维向量空间 V12,rV 12,r V12,r rdimVr12,r VVVr 000 例例 证明是 的一个基 证证 由定义8及定理2的推论1知，只要证明 线性无关即可 将 写成矩阵 ，则 1234(1,1,1,1),(1,3,1,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)4R1234,123
12、4(,)A 1234,111113003011101001A 由定理2的推论1知，线性无关，故 是 的一个基1234,4R1234,3.1.1 维向量的定义定义定义1 由 个数组成的有序数组 ，称为一个 维向量，记为 ，即 其中 称为向量 的第 个分量（或坐标）维向量可以写成一行 ，称为行向量，即 行矩阵；也可以写成一列n12(,)na aa 12(,)na aaiai(1,2,)inn n1 n 12(,)na aa12naaa=称为列向量，即 列矩阵 列向量通常用黑体小写字母 等表示，行向量用其转置 等表示 分量全为零的向量，称为零向量，记作 即 .向量 的各分量的相反数所组成的向量，称为
13、 的负向量，记为 ，即 设 维向量 ，1n,a b TTTT,ab0T(0,0,0)0 T12(,)na aa T12(,)naaa n T12(,)nb bb T12(,)na aa若 ，则称向量 与 相等，记为，即当且仅当同维数的行向量或列向量所组成的集合称为（行或列）向量组 iiab(1,2,)in T12(,)na aaT12(,)nb bb(1,2,)iiab in3.1.2维向量的线性运算定义定义2 设维向量，为任意实数，则两向量的加法+及数与向量的乘法（数乘）分别定义为向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算，其运算规律如下：+=+nn T12(,)na aa T12(,)nb bbk k 11(,ab22,ab,T)nnabk 1(,k 2k,T)nk ()()00 ()0 1 ()()klk l ()klkl ()kkk 其中都是维向量，,n,k lR
