1、2.2 线性方程与常数变易法线性方程与常数变易法0)()()(xcyxbdxdyxa一阶线性微分方程的区间上可写成在0)(xa)1()()(xQyxPdxdy的连续函数在考虑的区间上是这里假设xxQxP)(),(变为则若)1(,0)(xQ)2()(yxPdxdy称为一阶齐次线性方程)2(称为一阶非齐线性方程则若)1(,0)(xQ一一 一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法-常数变易法解对应的齐次方程01()(2)dyp x ydx得对应齐次方程解常数变易法求解02)1(),(的解使它为的待定函数变为将常数xcxc为任意常数cdxceyxp,)(则的解为令,)1()()(dxxpexcy)
2、1()()(xQyxPdxdydxxpdxxpexpxcedxxdcdxdy)()()()()(代入(1)得dxxpexQdxxdc)()()(积分得)()()(cdxexQxcdxxp的通解为故)1(30)3()()()(cdxexQeydxxpdxxp注 求(1)的通解可直接用公式(3)例1 求方程1)1()1(nxxenydxdyx通解,这里为n常数解:将方程改写为nxxeyxndxdy)1(1首先,求齐次方程yxndxdy1的通解从yxndxdy1分离变量得dxxnydy111lnlncxny两边积分得故对应齐次方程通解为nxcy)1(其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,代入得为原
3、方程的通解令,)1)(nxxcynxnnnxexxncxxncxdxxdc)1()1)()1)()1()(11即xedxxdc)(积分得)(cexcx故通解为为任意常数),()1(ccexyxnndxxndxxpxccecey)1(1)(例2 求方程22yxydxdy通解.解:，y的线性方程原方程不是未知函数但将它改写为yyxdydx22 即yxydydx2，yx为自变量的线性方程为未知函数它是以,故其通解为)()()(cdyeyQexdyypdyyp)(22cdyeyedyydyy。ccyy为任意常数),ln(2例3 求初值问题1)1(,1432yxyxdxdy的解.解:先求原方程的通解)(
4、)()(cdxexQeydxxpdxxp)14(323cdxexedxxdxx)1)14(323cdxxxx)21ln4(23cxxx3432lnxcxxx代入后得将初始条件1)1(y23c故所给初值问题的通解为223ln343xxxxy)1)14(323cdxxxx解解.012的的通通解解先先求求对对应应齐齐次次方方程程 xydxdy 12 xdxydy)0(y,1ln2ln:1Cxy 2)1(1 xeyC:,0通通解解就就得得到到对对应应齐齐次次方方程程的的 y记记 ,并允许并允许 C 取零而包含特解取零而包含特解1CeC 2)1(xCy堂练堂练1 1 解方程解方程.)1(1225 xxy
5、dxdy 用用常数变易法常数变易法求原非齐次方程通解，求原非齐次方程通解，2)1)(xxCy令令252)1()1)(xxxC代代回回原原方方程程得得：)1()(xxC即即得得：CxxC 23)1(32)(.)1(32)1(:272 xxCy原原方方程程通通解解解解 先求对应齐次方程先求对应齐次方程 的通解。的通解。01 yxydxxdyy11 分分离离变变量量,lnln:1xCyCxy 两两边边积积分分,)(xxCy 解解：另另设设非非齐齐次次方方程程有有一一个个堂练堂练2 2 求定解问题求定解问题.1)2(,12 yxyyx4011)()1()(1)(22 xxCxxxCxxCx.ln)(,
6、1)(CxxCxxC 取取.|lnxxxCy 再根据初条件求特解再根据初条件求特解,将将 代入通解代入通解1)2(y,2ln2121 C.2ln2:C41得原方程的通解为：得原方程的通解为：堂练堂练3 3 求解方程求解方程.02)6(2 yyxy解解 此方程的正规形式是：此方程的正规形式是：262yxyy 它是非线性的，又不能分离变量，现将它是非线性的，又不能分离变量，现将方程改写为：方程改写为：0262 dydxyxy.ln1)2ln2(xxxy 于是得原方程特解：于是得原方程特解：这已是以这已是以 x 为未知函数的、标准的一为未知函数的、标准的一阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程,先求得先求
7、得 齐次齐次 通通解，解，3)3(CyCexdyy 代代回回上上述述方方程程再再令令 x3)(yyC进而化成进而化成23yxydydx 2)(33)()(323yyyCyyyCyyC 2)(3yyyC CyydyyC 212)(:2)0(y原方程的通解原方程的通解2321yCyx ).0(y加加上上有解。解就是非齐次方程的所出的通题，然后证明公式法给页：先证明堂练5504方程伯努利二)(Bernoulli形如nyxQyxpdxdy)()(的方程,称为伯努利方程.。xxQxP的连续函数为这里)(),(解法:方程变为引入变量变换,110nyz)()1()()1(xQnzxPndxdz求以上线性方程
8、的通解02变量还原03例4 求方程yxxydxdy222的通解.解:,1,nBernoulli方程这是代入方程得令,2yz 21xzxdxdz解以上线性方程得)(121cdxexezdxxdxx321xcx:2为代入得所给方程的通解将yz 3221xcxy作业 49页1（1）（8）（12）（14）（16）例5 R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数,试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.二 线性微分方程的应用举例电路的电路的Kirchhoff第二定律第二定律:在闭合回路中在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零所有支路上的电压的代数和为零.则电流经过电感L,电阻R的电压降分别为 ,RIdtdIL.ERIdtdIL解线性方程:解:于是由Kirchhoff第二定律,得到 设当开关K合上后,电路中在时刻t的电流强度为I(t),取开关闭合时的时刻为0,.0)0(I即.LEILRdtdI得通解为:REcetItLR)(故当开关K合上后,电路中电流强度为)1()(tLReREtI,0)0(得由初始条件IREcREcetItLR)(作业P37 7,8,11,12,15,16,20
