1、北京理工大学宇航学院力学系 韩斌25/II22121iinivmT(8-1)或或 iiinivvmT211各质点的动能之和定义为质点系的动能：各质点的动能之和定义为质点系的动能：nig)o(K iD1D2DimiryxzO8.1 8.1 动能动能质点的动能质点的动能vvmmvT21212imivni,2,1n个质点个质点 ,质点系：质点系：rieiiaivvvv3iD1D2DimiryxzO设质点系的质设质点系的质心位于心位于，:；zyxC 定系定系:建立固定的直角坐标系建立固定的直角坐标系 ；Oxyz由各质点的速度合成关系，有：由各质点的速度合成关系，有：iiiaivvvvreiCvvr质点
2、系的动能等于将质点系的质量全部都集中于质心质点系的动能等于将质点系的质量全部都集中于质心时质心的动能，再加上质点系各质点相对于质心平移时质心的动能，再加上质点系各质点相对于质心平移坐标系的动能，称为柯尼希定理。坐标系的动能，称为柯尼希定理。niiivmT12212r122121iiniCvmmvT计算质点系动能的柯尼希定理：计算质点系动能的柯尼希定理：(8-2)(推导过程推导过程 见书见书p291)Cr),(CCCzyx4以速度以速度 作平移的刚体，由于其上各点的速度都相同，作平移的刚体，由于其上各点的速度都相同，因而根据定义因而根据定义,为为:v2212121mvvmTiini(8-3)式中
3、式中 为平移刚体的总质量。为平移刚体的总质量。inimm1xyCv重点掌握特殊的质点系重点掌握特殊的质点系2.2.动能动能的计算的计算即平移刚体可视为一个质点计算其动能即平移刚体可视为一个质点计算其动能5z以角速度以角速度 绕绕z轴作定轴转动的刚体，设轴作定轴转动的刚体，设其上质点其上质点 至至z轴的距离为轴的距离为 ，则，则 iDiiiv 式中式中 为为。mJvzd2iiv 2222121)d(2121zvniiiJmmT(8-4)根据质点系动能的定义得：根据质点系动能的定义得：iiDmi6Cv可应用柯尼希定理计算：可应用柯尼希定理计算：2212r1212121CiiniiiniJmvm式中
4、式中 为该刚体对过其质心的为该刚体对过其质心的C轴轴的转动惯量。的转动惯量。21iiniCmJ2r122121iiniCvmmvT柯尼希定理柯尼希定理:建立建立 ；Oxy：；yxC在在xy平面内作平面内作CviiDim刚体的相对运动为绕质心的定轴转动刚体的相对运动为绕质心的定轴转动刚体上的微元刚体上的微元 (质量质量mi)到到 轴的距轴的距iDzC i离为离为 ,则微元的相对速度则微元的相对速度 ，iivryx7故故注意：注意：和和 分别为刚体质分别为刚体质心的心的和刚体的和刚体的。Cv222121CCJmvT(8-5)可见一般平面运动时的动能可见一般平面运动时的动能不可按质点动能公式计算！不
5、可按质点动能公式计算！一般平面运动一般平面运动的刚体的动能的刚体的动能绕质心定轴绕质心定轴转动的动能转动的动能质心平动质心平动 动能动能=+CviiDimyx8CviiDimyx若能找出一般平面运动刚体的速度瞬心若能找出一般平面运动刚体的速度瞬心P,则：则：PCvC2221PCmJC221PJT(8-6)式中式中 为为(即过速即过速度瞬心度瞬心P并并垂直于其运动垂直于其运动平面的轴平面的轴)的转动惯量。的转动惯量。PJ222121CCJmvT222121CJPCm转动惯量的转动惯量的 平行轴定理平行轴定理PJ一般平面运动刚体可按绕一般平面运动刚体可按绕速度瞬心的瞬时定轴转动速度瞬心的瞬时定轴转
6、动计算该时刻动能计算该时刻动能9若点若点A为平面运动刚体上为平面运动刚体上，则将一，则将一般平面运动刚体的动能写成般平面运动刚体的动能写成 通常是通常是 的；的；，除了个别特殊情况外，除了个别特殊情况外，将它写成将它写成 一般也是一般也是的。的。222121AAJmvTddPJT 为什么？为什么？222121CCJmvT一般平面运动刚体的动能计算公式一般平面运动刚体的动能计算公式1 1：(8-5)一般平面运动刚体的动能的计算公式一般平面运动刚体的动能的计算公式2 2：221PJT(8-6)注意注意103.3.刚体系统的动能的计算刚体系统的动能的计算动能的计算可用叠加原理，总动能为各部分动能之和
7、：动能的计算可用叠加原理，总动能为各部分动能之和：iiTT(8-7)(2)求求时，要时，要及及，常需要用到运动学中的，常需要用到运动学中的或或点的点的。注意注意(1)动能并不陌生动能并不陌生,但求动能极易出错但求动能极易出错,应特别注意系统应特别注意系统中各个刚体是平移？定轴转动？一般平面运动？不要中各个刚体是平移？定轴转动？一般平面运动？不要一律计算为一律计算为2/2mvT(3)动能表达式中常需要计算动能表达式中常需要计算 (如由两点速度关系计如由两点速度关系计算算vC 时时),可利用余弦定理、矢量的点积或投影法。可利用余弦定理、矢量的点积或投影法。2Cv11例例 题题 8-1滑块滑块O：质
8、量：质量m1，均质杆，均质杆OA：长：长 l，质量，质量m2，均质圆盘均质圆盘A：质量：质量 m3,半径半径R,求系统任意时刻动能求系统任意时刻动能 T（以广义坐标（以广义坐标 x，表示）。表示）。,xOOA12xOOA例例 题题 8-1解：解：系统有系统有3个自由度，个自由度，系统包含三部分系统包含三部分:1.滑块滑块O：平移：平移2.均质杆均质杆OA：一般平面运动，质心为杆的中点：一般平面运动，质心为杆的中点C212112121xmvmTO22222121OACCJvmT杆3.均质圆盘均质圆盘A：一般平面运动，质心为点：一般平面运动，质心为点A取广义坐标取广义坐标 x，,22332121A
9、AAJvmT盘AOACOv13xOOAAOACOvCOv (2)求求 ：Cv由由O,C两点速度关系两点速度关系COOCvvvx 2l？大小大小方向方向注意注意 与与 不是正交！不是正交！OvCOvcos2242222222lxlxvvvvvvvCOOCOOCCC2222222222212121)cos224(212121lmlxlxmJvmTOACC杆（1）求杆）求杆OA的的OAOA（）例例 题题 8-114xOOAAOACOv(3)圆盘圆盘A：求求 ：AvAOOAvvvcos22222222lxlxvvvvvAOOAOOA2232222332121)cos2(21Rmx llxmT 而而 应
10、为圆盘质心应为圆盘质心A的的AvAOv22332121AAAJvmT盘例例 题题 8-1式中式中A为圆盘绝对角速度为圆盘绝对角速度15223322232232132141cos)2(21 )26()(21 RmxlmmlmmxmmmTTTT系统任意时刻的动能为：系统任意时刻的动能为：本题易错之处：本题易错之处：（1）求）求 或或 时出错。时出错。2Cv2Av（2）将圆盘的动能写为：）将圆盘的动能写为：23233)(21)(21lmlmTOA例例 题题 8-1xOOAACOvOA16思考思考1:本题若将圆轮改为与本题若将圆轮改为与OA杆铰接的小球杆铰接的小球(质量仍为质量仍为m3,半径大小不计半
11、径大小不计:例例 题题 8-1xOOAOA则小球的动能为：则小球的动能为：22223233)cos2(2121x llxmvmTA其余计算不变。其余计算不变。xOOAACOvOAOv17思考思考2:本题若将圆轮改为与本题若将圆轮改为与OA杆焊接杆焊接(仍为质量仍为质量m3,半径半径R)例例 题题 8-1xOOAOA2轮2332121轮AAJvmT其余计算不变。其余计算不变。OA轮且xOOAACOvOAOv则圆轮与则圆轮与OA杆同为一般平面运动杆同为一般平面运动,角速度也为角速度也为 ,动能为：动能为：OA18 习题习题8-1(d)坦克履带重坦克履带重 P,两个车轮的重量为两个车轮的重量为 W,
12、车轮可视为均质车轮可视为均质圆盘圆盘,其半径为其半径为 r,两车轮轴间距离为两车轮轴间距离为 ,坦克前进速度为坦克前进速度为 。rv解：解：轮轮1动能：动能：212112121轮OJvgWT222)(212121rvrgWvgW243vgW轮轮2动能：动能：12TT 243vgW履带履带AB段动能：段动能：23)2(21vmTAB222)2(421vgPvgPO1O2v12ADCBrvvvvOO21 )(21()速度分析：速度分析：)(2vvvvABBA 0CDDCvvv履带履带=AB+CD+AC+BD19 轮轮1,轮轮2动能：动能：21TT 243vgW履带履带AB段动能：段动能：232vg
13、PT 履带履带CD段动能：段动能：04T履带履带AC弧和弧和BD弧段动能：弧段动能：O1O2v12ADCBBDAC22222521)(222121vgPrvrgPrgPJTP（环54321TTTTTT故故)32(23224322222PWgvvgPvgPvgWP 习题习题8-1(d)坦克履带重坦克履带重 P,两个车轮的重量为两个车轮的重量为 W,车轮可视为均质车轮可视为均质圆盘圆盘,其半径为其半径为 r,两车轮轴间距离为两车轮轴间距离为 ,坦克前进速度为坦克前进速度为 。rv20 一质量为一质量为 ，长度为，长度为 的均质细杆的均质细杆OA在力偶矩为在力偶矩为 的的主动力偶的作用下可绕水平轴主
14、动力偶的作用下可绕水平轴O作定轴转动，一质量作定轴转动，一质量为为 ，半径为，半径为 的均质圆盘的均质圆盘C在杆上相对于杆作纯滚在杆上相对于杆作纯滚动，试以图示动，试以图示 ，为广义坐标，写出系统的动能。，为广义坐标，写出系统的动能。2m1mlMsrOACsMC例例 题题 8-221解：解：（1）2222121CCCCJvmTOA杆定轴转动杆定轴转动,C轮一般平面运动轮一般平面运动(相对于杆纯滚动相对于杆纯滚动)1.OA杆杆221221261)31(2121lmlmJTOAOOA2.C轮轮关键是求轮关键是求轮C质心绝对速度和轮质心绝对速度和轮C绝对角速度。绝对角速度。Cvrvev大小大小？s
15、OA/OCOC方向方向(1)OACsMCrvev例例 题题 8-222沿沿 ，方向分别投影得到：方向分别投影得到：sinsinOCsvvverC rscoscosOCvveCssrsrs22222222CCCvvv22srsC轮轮C相对于杆作纯滚动，相对于杆作纯滚动，设轮设轮C的绝对角速度为的绝对角速度为 CCvrvevOACsMCrvev例例 题题 8-223COACsMC根据轮上根据轮上C,P两点速度关系有：两点速度关系有：CvPvCPv(2)由式由式(1),(2)得到得到上式中各项沿上式中各项沿 方向投影得到：方向投影得到：（2）求）求 ：C设轮上与杆接触点为设轮上与杆接触点为P，轮在杆
16、上纯滚动，故轮在杆上纯滚动，故svvPP杆轮CPvPvPCrrs 即PvCPvrvevrsC例例 题题 8-2大小大小方向方向sOACrOA/可求可求已求已求rvevCvrvev大小大小？s OA/OCOC方向方向(1)PCPervcosvv243.3.系统的总动能为系统的总动能为COATTT2222212121CCCOAOJvmJ轮杆22222222221212122161rsrms rsrsmlms rsrsmlm62334161222222221rs 注意注意rCrs例例 题题 8-2rsCs rsrsvC22222222161lmTOAOACsMC25OACsMC。轮轮C相对角速度相对角速度,动系牵连角速度分别为动系牵连角速度分别为根据两点速度关系根据两点速度关系CvPvCPv大小大小方向方向？sOACrOA/222CPPCvvv22rsrss rsrs2222rsrvrCre()()eCrCCPvPvP轮轮C绝对角速度为绝对角速度为rsC()例例 题题 8-2由角速度合成定理由角速度合成定理reaC
