1、1第三章第三章 流体运动学流体运动学 在连续介质假设下，从几何学的角度研究流体的运在连续介质假设下，从几何学的角度研究流体的运动参数动参数(如速度、加速度等如速度、加速度等)随空间位置和时间的变化规随空间位置和时间的变化规律。律。第一节研究流体运动的两种方法第一节研究流体运动的两种方法第二节基本概念第二节基本概念第三节连续性方程第三节连续性方程第四节流体微团的运动分解第四节流体微团的运动分解第五节势函数和流函数第五节势函数和流函数第六节平面势流及叠加第六节平面势流及叠加2第一节第一节 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法 流场：流场：充满运动流体的空间。充满运动流体的空间。研究流体运动
2、的方法：研究流体运动的方法：拉格朗日拉格朗日法和法和欧拉欧拉法。法。一、拉格朗日法拉格朗日法拉格朗日法是着眼于流体质点，先跟踪个别流体拉格朗日法是着眼于流体质点，先跟踪个别流体质点，研究其位移、速度、加速度等随时间的变化，质点，研究其位移、速度、加速度等随时间的变化，然后将流场中所有质点的运动情况综合起来，就得到然后将流场中所有质点的运动情况综合起来，就得到所有流体质点的运动。所有流体质点的运动。xyz 用用t0时刻该流体质点的空间时刻该流体质点的空间坐标坐标x0、y0、z0标识该流体质点，标识该流体质点，并记为并记为a、b、c，称为拉格朗，称为拉格朗日变数。日变数。a、b、c是确定的数，是确
3、定的数，是不变的。是不变的。3第一节第一节 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法 一、拉格朗日法拉格朗日法在直角坐标系中，流体质点在在直角坐标系中，流体质点在x、y、z方向的坐标方向的坐标可描写成可描写成 x=x(a，b，c，t)ux=dx/dt=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)uy=dy/dt=y(a，b，c，t)z=z(a，b，c，t)uz=dz/dt=z(a，b，c，t)用用t0时刻该流体质点的空间坐时刻该流体质点的空间坐标标x0、y0、z0标识该流体质点，标识该流体质点，并记为并记为a、b、c，称为拉格朗日，称为拉格朗日变数。变数。a、b、c是确定的数，是是确定的数
4、，是不变的。不变的。4 二、欧拉法二、欧拉法欧拉法着眼于流场中的空间点，研究欧拉法着眼于流场中的空间点，研究流体质点流体质点经过经过这些空间点时，运动参数随时间的变化，并用同一时刻这些空间点时，运动参数随时间的变化，并用同一时刻所有点上的运动情况来描述流体质点的运动。所有点上的运动情况来描述流体质点的运动。第一节第一节 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法 xyz 在该直角坐标系中，在该直角坐标系中，该空间点的坐标是用该空间点的坐标是用x、y、z。在在t时刻某流体质时刻某流体质点占据了该空间点。点占据了该空间点。所以该流体质点的速所以该流体质点的速度可表述为度可表述为同时把它赋给该空间
5、同时把它赋给该空间点，所以说该空间点点，所以说该空间点的速度也是的速度也是tzyxvv,对流体质点来说对流体质点来说x、y、z是是t的函数，而对空间点来说的函数，而对空间点来说x、y、z不是不是t的函数，而是固定值。的函数，而是固定值。,tttvv x y z t5 二、欧拉法二、欧拉法第一节第一节 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法 xyz 问题：该空点的问题：该空点的速度是速度是求：占据该空间求：占据该空间点的流体质点的速度？点的流体质点的速度？tzyxvvttt,tzyxvv,对流体质点来说对流体质点来说x、y、z是是t的函数，而对空间点来说的函数，而对空间点来说x、y、z不是
6、不是t的函数，而是固定值。的函数，而是固定值。6 二、欧拉法二、欧拉法),(),(),(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxxzxyxxxxxxxxxxuzuuyuxuutudtdzzudtdyyudtdxxudtdttudtdua第一节第一节 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法 tzyxazuuyuuxuutuatzyxazuuyuuxuutuatzyxazuuyuuxuutuazzzzyzxzzyyzyyyxyyxxzxyxxxx,流体质点的速度流体质点的速度流体质点流体质点的加速度的加速度7第一节第一节 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法 质点加速度时变加速
7、度由流速由流速不恒定不恒定性引起性引起 位变加速度由流速不均由流速不均匀性引起匀性引起8着眼于流体质点，跟踪着眼于流体质点，跟踪质点描述其运动历程质点描述其运动历程着眼于空间点，研究着眼于空间点，研究质点流经空间各固定质点流经空间各固定点的运动特性点的运动特性第一节第一节 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法 9例题已知拉格朗日描述已知拉格朗日描述x=aet，y=be-t 求速度及加速求速度及加速度的欧拉描述。度的欧拉描述。解：速度及加速度的拉格朗日描述解：速度及加速度的拉格朗日描述速度及加速度的欧拉描述速度及加速度的欧拉描述tytxxtytxbetyaaetuabetyuaetxuy
8、axayuxuyxyxtytxtytxyaxayuxu空间点空间点流体质点流体质点10例题已知欧拉描述已知欧拉描述ux=x，uy=-y，求速度的拉格朗日描，求速度的拉格朗日描述。述。解：空间点的速度解：空间点的速度流体质点的速度流体质点的速度设：设：t=0时，时，x=a，y=b，则，则c1=a，c2=btytxbetyuaetxuyuxuyxtytxyuxutytxydtdyuxdtdxuttecyecx21ttbeyaex11第二节第二节 基基 本本 概概 念念一、一、定常流动和非定常流动定常流动和非定常流动 流场中各点的流动参数与时间无关的流动称为流场中各点的流动参数与时间无关的流动称为定
9、常定常流动流动。u=u(x，y，z)，p=p(x，y，z)例如，恒定流的例如，恒定流的流速场：流速场：恒定流的时变加速恒定流的时变加速度为零，但位变加速度为零，但位变加速度度可以不为零。可以不为零。12第二节第二节 基基 本本 概概 念念二、二、迹线与流线迹线与流线 1.迹线迹线 迹线就是流体质点的运动轨迹。迹线只与流体质点迹线就是流体质点的运动轨迹。迹线只与流体质点有关，对不同的质点，有关，对不同的质点，迹线的形状可能不同。但对一迹线的形状可能不同。但对一确定的质点而言，其迹线的形状不随时间变化。确定的质点而言，其迹线的形状不随时间变化。x=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)z=z
10、(a，b，c，t)13 2.流线流线 流线是同一时刻流场中连流线是同一时刻流场中连续各点的速度方向线。续各点的速度方向线。第二节第二节 基基 本本 概概 念念t 是参数是参数14 2.流线流线流线具有以下两个特点：流线具有以下两个特点：非定常流动时，流线的形状非定常流动时，流线的形状随时间改变；定常流动时，其形状随时间改变；定常流动时，其形状不随时间改变。此时，流线与迹线不随时间改变。此时，流线与迹线重合，流体质点沿流线运动。重合，流体质点沿流线运动。流线是一条光滑曲线。流线之间不能相交。如果流线是一条光滑曲线。流线之间不能相交。如果相交，交点的速度必为零。否则，同一时刻在交点上将相交，交点的
11、速度必为零。否则，同一时刻在交点上将出现两个速度，这显然是不可能的。出现两个速度，这显然是不可能的。第二节第二节 基基 本本 概概 念念15第二节第二节 基基 本本 概概 念念 流线是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的一条曲线，该瞬时位于流线上的流体质点之速度矢量都和流线相切。流线是与欧拉观点相对应的概念。有了流线，流场的空间分布流线是与欧拉观点相对应的概念。有了流线，流场的空间分布情况就得到了形象化的描绘。情况就得到了形象化的描绘。16例题 已知直角坐标系中的速度场已知直角坐标系中的速度场 ux=x+t；uy=-y+t；uz=0,试求试求t=0 时过时过 M(-1,-1)(-1,-1)点
12、的点的流线流线。解解：ux=x+t；uy=-y+t；uz=0(x+t)(-y+t)=Ct=0 时过时过 M(-1,-1)(-1,-1)：C=-1 xy=1 由流线的微分方程：由流线的微分方程：t=0 时过时过 M(-1,-1)(-1,-1)点的流线点的流线17例题t=0 时过时过 M(-1,-1)(-1,-1)：C1=C2=0 已知直角坐标系中的速度场的欧拉描述已知直角坐标系中的速度场的欧拉描述 ux=x+t；uy=-y+t；uz=0,试求试求t=0 时过时过 M(-1,-1)(-1,-1)点的点的迹线迹线。解解：x+y=-2 由迹线的微分方程：由迹线的微分方程：txtxddtytyddx=-
13、t-1y=t-1消去消去t，得迹线方程：得迹线方程：18例题迹线流线xyot=0 时过时过 M(-1,-1)(-1,-1)点的流线和迹线示意图点的流线和迹线示意图M(-1,-1)19三、三、流管、流束及总流流管、流束及总流1.流管流管 在流场中作一条与流线不重合的封闭曲线，则通在流场中作一条与流线不重合的封闭曲线，则通过该曲线上所有点的流线组成的管状表面就称为流管。过该曲线上所有点的流线组成的管状表面就称为流管。当流管的断面很小时称为微小流管。在流管的侧面没当流管的断面很小时称为微小流管。在流管的侧面没有流体出入。有流体出入。流线流线L流管流管20三、三、流管、流束及总流流管、流束及总流2.流
14、束流束 流管中的所有流体称为流束。当流束的断面很小流管中的所有流体称为流束。当流束的断面很小时称为微小流束。时称为微小流束。3.总流总流 流动边界内所有流束的总和称为总流。流动边界内所有流束的总和称为总流。在微小流束的截在微小流束的截面上可以认为所有的面上可以认为所有的参数是均匀分布的。参数是均匀分布的。21四、四、过流断面和水力直径过流断面和水力直径 1.过流断面过流断面 与总流或流束中的流线与总流或流束中的流线处处垂直的断面称为过流断处处垂直的断面称为过流断面面(或过流截面或过流截面)。2.湿周、水力半径、水力直径湿周、水力半径、水力直径 总流的过流断面上，流体与固体接触的长度称为总流的过
15、流断面上，流体与固体接触的长度称为湿周湿周，用，用表示。表示。总流过流断面的面积总流过流断面的面积A与湿周与湿周之比称为之比称为水力半径水力半径R，水力，水力半径的半径的4倍称为倍称为水力直径。水力直径。di=4A/=4R 22五、五、流量及平均速度流量及平均速度 通过流场中某曲面通过流场中某曲面 A 的流速通量的流速通量 称为称为质量流量质量流量，记为，记为Qm，单位为，单位为 kg/s.流量计算流量计算公式中，曲面公式中，曲面 A 的法线指向应予明确，指向相反，流量将反号。的法线指向应予明确，指向相反，流量将反号。闭曲面的法向一般指所围区域的外法向。闭曲面的法向一般指所围区域的外法向。AA
16、dnuAdAnu称为称为流量流量，记为，记为 Q，它的物理意，它的物理意义是单位时间穿过该曲面的流体义是单位时间穿过该曲面的流体体积，所以也称为体积，所以也称为体积流量体积流量，单，单位为位为 m3/s.dAuAn23五、五、流量及平均速度流量及平均速度 总流过流断面上的流速总流过流断面上的流速与法向一致，所以穿过与法向一致，所以穿过过流断面过流断面 A 的流量大小的流量大小为为 ，其中，其中 u 为流速的大小。为流速的大小。AAuQd 定义体积流量与断面面积定义体积流量与断面面积之比之比 为为断面平均流速，它是过水断面上不均匀流速它是过水断面上不均匀流速u 的一个平均值，假设过水的一个平均值
17、，假设过水断面上各点流速大小均等于断面上各点流速大小均等于v，方向与实际流动方向相，方向与实际流动方向相同，则通过的流量与实际流同，则通过的流量与实际流量相等。量相等。AQv 24六、一元流动、二元流动和三元流动流量及平均速度流量及平均速度 一维流动一维流动二维流动二维流动三维流动三维流动平面流动轴对称流动 任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便分析处理。分析处理。25六、一元流动、二元流动和三元流动流量及平均速度流量及平
18、均速度 例如，以下的流动例如，以下的流动0,)(zyxxuuyuuuxazyxo26六、一元流动、二元流动和三元流动流量及平均速度流量及平均速度uu x y tuux y tuxxyyz(,)(,)0 直角系中的直角系中的平面流动平面流动：00zuz 流场与某一空间流场与某一空间坐标变量无关，且沿该坐标坐标变量无关，且沿该坐标方向无速度分量的流动。方向无速度分量的流动。xyoxyzou0u0大展弦比机翼绕流 二维流动27六、一元流动、二元流动和三元流动流量及平均速度流量及平均速度 柱坐标系中的柱坐标系中的轴对称流动轴对称流动：zro液体在圆截面管道中的流动子午面子午面28七、系统和控制体众多流
19、体质点的集合称为系统。系统一经确定，它众多流体质点的集合称为系统。系统一经确定，它所包含的流体质点都将确定。系统的大小、位置和形状所包含的流体质点都将确定。系统的大小、位置和形状是可以变化的。是可以变化的。系统系统控制体是指流场中某一确定控制体是指流场中某一确定的空间。这一空间的边界称的空间。这一空间的边界称为控制面。控制体一经选定，为控制面。控制体一经选定，它在某坐标系中的大小、位它在某坐标系中的大小、位置和形状都不再变化。置和形状都不再变化。控制体控制体29第三节第三节 连续性方程连续性方程 连续性方程的物理学本质：质量不灭定律在流体力学中的反映。在拉格朗日方法体系中有：在欧拉方法体系中有
20、：0dtdm系统tmmttm流出流入控制体30第三节第三节 连续性方程连续性方程 一、一、定常总流连续性方程定常总流连续性方程 在欧拉方法体系中有：tmmttm流出流入控制体定常流动时有定常流动时有0t0tmmttm流入流出控制体tAvmt222流出，tAvmt111流入，=C31第三节第三节 连续性方程连续性方程 在有分流汇入及流出的在有分流汇入及流出的情况下，连续方程只须情况下，连续方程只须作相应变化。质量的总作相应变化。质量的总流入流入=质量的总流出。质量的总流出。2mQ1mQ3mQ一、一、定常总流连续性方程定常总流连续性方程 321mmmQQQ321vvvQQQ=C32第三节第三节 连
21、续性方程连续性方程 二、二、直角坐标系中的微分形式连续性方程直角坐标系中的微分形式连续性方程xyzodxdydzuxabcdabcd净流入前后这一对表面的流净流入前后这一对表面的流体质量为体质量为 在时间段在时间段dt 里，从里，从 abcd 面流入微元体的流体质量面流入微元体的流体质量为为tzyuxdddtzyxxuuxxdddd)(tzyxxuxdddd)(从从abcd面流出的流体质面流出的流体质量为量为tmmttm流出流入控制体33第三节第三节 连续性方程连续性方程xyzodxdydzuzabcdabcd和和uy 二、二、直角坐标系中的连续性方程直角坐标系中的连续性方程 同理可知，在时间
22、段同理可知，在时间段dt 里，里，沿着沿着 y 方向和方向和 z 方向净流入方向净流入左右和上下两对表面的流左右和上下两对表面的流体质量分别为体质量分别为tzyxyuydddd)(tzyxzuzdddd)(34第三节第三节 连续性方程连续性方程0)()()(zuyuxutzyx三维流动三维流动的连续性的连续性微分方程微分方程 在时间段在时间段dt 里，微元控制体内流里，微元控制体内流体质量的增加体质量的增加 根据质量不灭定律根据质量不灭定律简化简化35第三节第三节 连续性方程连续性方程0)()()(zuyuxutzyx 二、二、直角坐标系中的连续性方程直角坐标系中的连续性方程0zuyuxuzy
23、x=C0)()()(zuyuxuzyx定常定常=C36第三节第三节 连续性方程连续性方程习题习题3-9 直径直径D=1.2m的水箱通过的水箱通过d=30 mm的小孔泄流。的小孔泄流。今测得水箱的液面在今测得水箱的液面在1s内下降了内下降了0.8 mm。求泄流量。求泄流量Q和小孔处的平均速度和小孔处的平均速度v。解：解：3220009.00008.02.144mhDVsmtVQ/0009.03smdQv/27.103.014.30009.044/2237第三节第三节 连续性方程连续性方程习题习题3-11 大管大管d1=150 mm和小管和小管d2=100 mm之间用之间用一变径接头连接。若小管中
24、的速度一变径接头连接。若小管中的速度v2=3m/s，求流量，求流量Q和大管中的平均速度和大管中的平均速度v1。解：解：设流体不可压，根据连续方程，有设流体不可压，根据连续方程，有38第三节第三节 连续性方程连续性方程习题习题3-15判断流动判断流动 ux=xy；uy=-xy 是否满足不可压是否满足不可压缩流动的连续性条件缩流动的连续性条件。解：解：因为因为 ux=xy；uy=-xy 与时间无关，所以流动定与时间无关，所以流动定常，根据定常不可压微分形式连续方程，有常，根据定常不可压微分形式连续方程，有0zuyuxuzyxyxuxxuy因为（因为（yx）0，所以流动不满足不可压流动的连续条件。，
25、所以流动不满足不可压流动的连续条件。39ABxyodxdyt CD 以以 oxy 平面上的运动为例，分析流体微团的运动。平面上的运动为例，分析流体微团的运动。ABCD第三节流体微团的运动分析t+dtABCDxudxxuuxx40ABxyodxdyt CD 以以 oxy 平面上的运动为例，分析流体微团的运动。平面上的运动为例，分析流体微团的运动。xu第三节流体微团的运动分析dddddddyudxxuuyydxxuuyy41xudxdtdxdtxuxxx方向线变形率ABCD第三节流体微团的运动分析线变形xudxxuuxxdxdtxuxyudydtdydtyuyyy方向线变形率xudzdtdzdtx
26、uzzz方向线变形率42第三节流体微团的运动分析旋转和角变形ddddddddddddd43第三节流体微团的运动分析旋转和角变形ABxyodxdyt CDxuyudxyuuxxdxxuuyydtxxuyddddtxuddytandtyuddxtan2zdddt2zdddtyuxuxyz21yuxuxyz2144第三节流体微团的运动分析旋转和角变形yuxuxyz21yuxuxyz21zuyuyzx21xuzuzxy21zuyuyzx21xuzuzxy2112v45第三节流体微团的运动分析有旋和无旋 唯一的标准是看流速场是否满足唯一的标准是看流速场是否满足 ，写成分，写成分量形式为：量形式为：判别：
27、判别：yuxuxuzuzuyuxyzxyz,0 有旋流动和无旋流动有旋流动和无旋流动 无旋流动无旋流动有旋流动有旋流动?0这个分类是这个分类是 很重要的很重要的46第五节第五节 势函数和流函数势函数和流函数可以证明：可以证明：当流动为无旋当流动为无旋(即有势即有势)时，函数时，函数(x，y，z)必存在，且上式一定成立。必存在，且上式一定成立。为流场的速度势函数。则称函数，或，若有设函数zyxdzudyudxuduzuyuxzyxzyxzyx,一、势函数一、势函数47第五节第五节 势函数和流函数势函数和流函数为流场的流函数。则称函数，或，若有设函数yxdyudxuduyuxyxxyxy,二、流函
28、数二、流函数等流函数等流函数(x，y)C是流线。是流线。可以证明：可以证明：当流动当流动为不可压时，函数为不可压时，函数(x,y)必存在，且上式一定成必存在，且上式一定成立。立。48第六节第六节 平面势流及其迭加平面势流及其迭加一、几种简单的平面势流一、几种简单的平面势流 1.平行流平行流 oxuxUyuy2142353451)cossin()sincos(yxUyxU49第六节第六节 平面势流及其迭加平面势流及其迭加一、几种简单的平面势流一、几种简单的平面势流2.点源和点汇点源和点汇 设平面上有一涌出流体设平面上有一涌出流体的源泉点的源泉点O(称为源点称为源点)。单位。单位时间内流出体积为时
29、间内流出体积为Q的流体。的流体。如果流体只在相距为如果流体只在相距为1的平行的平行平板间向四周均匀扩散，这平板间向四周均匀扩散，这种流动就称为点源流动。若种流动就称为点源流动。若流体是从四周均匀汇集到流体是从四周均匀汇集到O点，则称为点汇流动。此时点，则称为点汇流动。此时的汇集点的汇集点O称为汇点。称为汇点。ruoxy214233150第六节第六节 平面势流及其迭加平面势流及其迭加一、几种简单的平面势流一、几种简单的平面势流2.点源和点汇点源和点汇 22ln2ln2yxQrQxyQQ1tan22ruoxy214233151第六节第六节 平面势流及其迭加平面势流及其迭加一、几种简单的平面势流一、
30、几种简单的平面势流3.纯环流纯环流 设一半径为设一半径为r0的无限的无限长圆柱体竖直地浸在流体长圆柱体竖直地浸在流体中。当它以等角速度中。当它以等角速度转动转动时，将带动周围的流体流时，将带动周围的流体流动。像这种速度方向与径动。像这种速度方向与径向垂直，大小与半径成反向垂直，大小与半径成反比比(即即u1/r)的平面流动的平面流动就称为纯环流就称为纯环流(或自由涡或自由涡)。xo21y2331u52第六节第六节 平面势流及其迭加平面势流及其迭加一、几种简单的平面势流一、几种简单的平面势流3.纯环流纯环流 xo21y2331uxy1tan2222ln2ln2yxr53第六节第六节 平面势流及其迭
31、加平面势流及其迭加二、平面势流的叠加二、平面势流的叠加两种或两种以上的简单平面势流迭加在一起形成两种或两种以上的简单平面势流迭加在一起形成一种新的流动。一种新的流动。这种合成流动仍是势流，其流函数和这种合成流动仍是势流，其流函数和势函数等于各简单势流的势函数代数和，势函数等于各简单势流的势函数代数和，各方向的速各方向的速度也是各简单势流的迭加。这称为势流迭加原理，即度也是各简单势流的迭加。这称为势流迭加原理，即 nn2121ynyyyxnxxxuuuuuuuu212154第六节第六节 平面势流及其迭加平面势流及其迭加二、平面势流的叠加二、平面势流的叠加 源环流动和汇环流动源环流动和汇环流动:点
32、源与纯环流的合成流动称为源环点源与纯环流的合成流动称为源环流动流动,根据势流迭加原理，源环流动的流函数为：根据势流迭加原理，源环流动的流函数为：rQln22 理想情况下，离理想情况下，离心式水泵心式水泵(或通风机或通风机)外壳中的流动就可外壳中的流动就可看作源环流动。看作源环流动。55第三章小结1.研究流体运动一般可采用拉格朗日法和欧拉法研究流体运动一般可采用拉格朗日法和欧拉法。2.流线是同一时刻流场中连续各点的速度方向线，它是表现流线是同一时刻流场中连续各点的速度方向线，它是表现和分析流场的重要工具。流线微分方程为：和分析流场的重要工具。流线微分方程为：dx/ux=dy/uy=dz/uz3.
33、连续性的方程。连续性的方程。4.流体微团的运动一般可分解为平动、转动和变形运动等三流体微团的运动一般可分解为平动、转动和变形运动等三部分。部分。5.势函数和流函数是解析流场的两个重要函数；势流叠加原势函数和流函数是解析流场的两个重要函数；势流叠加原理；。理；。作业：作业：3-2，3-6，3-10，3-14（2），），zuyuxuzyx;xuyuyx;56第三节流体微团的运动分析 考察和分析流体考察和分析流体质点之间的相对位质点之间的相对位移和相对运动。移和相对运动。谈及相对运动就必须把谈及相对运动就必须把讨论问题的尺度从流体质讨论问题的尺度从流体质点扩大到流体微团。点扩大到流体微团。给出在同一给出在同一时刻流体微团时刻流体微团中任意两点速中任意两点速度之间的关系。度之间的关系。分析流体微团分析流体微团的运动形式。的运动形式。57第三节流体微团的运动分析)d,d,d(zzyyxxC1u),(zyxAudr角变形线变形旋转变形旋转uuuuuuuu1
