1、 CBAFED 连接三角形两边连接三角形两边中点的线段中点的线段,叫做叫做 三角形的中位线三角形的中位线 理解三角形的中位线理解三角形的中位线定义的两层含义定义的两层含义:如果如果DEDE为为ABCABC的中位线，那么的中位线，那么 D D、E E分别为分别为ABAB、ACAC的的 。如果如果D D、E E分别为分别为ABAB、ACAC的中点，的中点，那么那么DEDE为为ABCABC的的 ；CBAED中位线中位线中点中点1、你能给、你能给“三角形中位线三角形中位线”下一个定义吗？下一个定义吗？ABC中点中点D中点中点E先看图，再认真思考答问题：先看图，再认真思考答问题：2、一个三角形有几条中位
2、线？、一个三角形有几条中位线？3、三角形的中位线与中线有什么区别？、三角形的中位线与中线有什么区别？答：三条。答：三条。答：中位线是连结三角答：中位线是连结三角形两边中点的线段；形两边中点的线段；中线是连结一个顶点和中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。它的对边中点的线段。F 定义：连结三角形定义：连结三角形两边中点两边中点的线段叫做的线段叫做三角形的中三角形的中位线位线。ABC先看图，再认真思考答问题：先看图，再认真思考答问题：4、三角形中位线有什么特殊的性质？三角形中位线有什么特殊的性质？中点中点D中点中点E猜想猜想1：DE/BC猜想猜想2：DE=BC21 结论结论1：三角形中位线平行于
3、第三边。：三角形中位线平行于第三边。ABCDE已知：如图，已知：如图，DE是是ABC的中位线的中位线求证：求证：DEBC DE=BC21证明：证明：DE是是ABC的中位线的中位线AAACAEABAD21ABCADEABC=ADEDEBCABCDE已知：如图，已知：如图，DE是是ABC的中位线的中位线求证：求证：DEBC DE=BC21ABCDE即即 DE =BC21结论结论2：三角形中位线：三角形中位线等于第三边的一半。等于第三边的一半。ABCADEDE：BC=1：2三角形中位线定理：三角形中位线定理：三角形中位线三角形中位线平行于平行于第三边第三边，并且，并且等于它的一半等于它的一半。三角形
4、中位线定理有两个结论：三角形中位线定理有两个结论：（1）表示位置关系）表示位置关系-平行于第三边；平行于第三边；（2）表示数量关系）表示数量关系-等于第三边的一半。等于第三边的一半。应用时要具体分析，需要哪一个就用哪一个。应用时要具体分析，需要哪一个就用哪一个。己知：如图己知：如图(1)D(1)D、E E分别为分别为ABAB、ACAC的中点。的中点。DEBC DEBC（根据（根据 ）(2)(2)若若BC=10cmBC=10cm，则则DE=DE=。(3)(3)若若DE=6cmDE=6cm，则则BC=BC=cmcm。ABCEF三角形中位线定理三角形中位线定理512EABCDE如图如图1：在：在AB
5、C中，中，DE是中位线是中位线 （1）若）若ADE=60，则则B=度，为什么？度，为什么？（2）若）若BC=8cm，则则DE=cm，为什么？，为什么？如图如图2：在：在ABC中，中，D、E、F分别分别 是各边中点是各边中点 AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，则则DEF的周长的周长=cm图图1 1图图2 260412A AB BC CD D E EB BA AC CD D E EF F5 54 43 38106345已知已知:三角形的各边分别为三角形的各边分别为6cm,8cm,6cm,8cm,10cm10cm，则连结各边中点所成三角形的，则连结各边中点所成三角形的周长为周长为 cmcm
6、。12【例题【例题】求证：顺次连结四边形四条边的中点，求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。所得的四边形是平行四边形。ABCDEFGH已知：在四边形已知：在四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是AB、BC、CD、DA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是平是平行四边形。行四边形。证明：证明：连结连结ACAH=HD，CG=GDHG/AC，HG=AC21（三角形中位线定理）（三角形中位线定理）同理：同理：EF/AC，EF=AC21且且EF=HG所以四边形所以四边形EFGH是平是平行四边形行四边形 EF/HG，求证：顺次连结矩形四条边中点，所得的四边形是菱
7、形。求证：顺次连结矩形四条边中点，所得的四边形是菱形。ABCDEFGH证明：证明：连结连结AC、BDAH=HD，CG=GDHG=AC21HE=GF=BD21HG=EF=HE=GF四边形四边形EFGH是菱形是菱形同理：同理：EF=AC21AC=BD已知：在矩形已知：在矩形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是AB、BC、CD、DA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是菱形。是菱形。求证：顺次连结矩形四条边中点，所得的四边形是菱形。求证：顺次连结矩形四条边中点，所得的四边形是菱形。ABCDEFGH已知：在矩形已知：在矩形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是AB、BC、CD、D
8、A的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是菱形。是菱形。EH=BD21证明：证明：连结连结AC、BDAH=HD，CG=GDHG=AC，HG/AC21同理：同理：四边形四边形EFGH是平行是平行四边形四边形EF=AC，EF/AC21 EF/HG，且，且EF=HGAC=BD HG=EH EFGH是菱形是菱形实际问题：实际问题：A、B两点两点被岛屿隔开，被岛屿隔开，如何才能知道如何才能知道它们之间的距它们之间的距离呢？离呢？AB（1）在在A、B外选一点外选一点C，连结，连结A C和和BC;CMN（2）并分别找出并分别找出A C和和BC的中点的中点M、N 。（3）连结连结MN ，并测量，并测
9、量MN的长度的长度。解决方案解决方案（4）因此）因此MN是是 ABC的中位线，根据三角形的中位线，根据三角形中位线定理中位线定理AB=2MN。A A、B B两点被池塘隔开，如何才两点被池塘隔开，如何才能知道它们之间的距离呢？能知道它们之间的距离呢？M MN N 在在ABAB外选一点外选一点C C，连结，连结ACAC和和BCBC，并分别找出，并分别找出ACAC和和BCBC的中点的中点M M、N N，如果测得，如果测得MN=20mMN=20m，那么，那么A A、B B两点的距离是多少？为什么？两点的距离是多少？为什么？例例1 1 求证三角形的一条中位线与第三边求证三角形的一条中位线与第三边上的中线
10、互相平分上的中线互相平分已知：如图2443所示，在ABC中，ADDB，BEEC，AFFC求证：AE、DF互相平分证明证明 连结连结DE、EF ADDB，BEEC，DEAC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）同理EFAB四边形ADEF是平行四边形AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）例例2 2如图如图24244 44 4，ABCABC中，中，D D、E E分别分别是边是边BCBC、ABAB的中点，的中点，ADAD、CECE相交于相交于G G求证：求证：31ADGDCEGE证明证明:连结连结ED，D、E分别是边BC、AB的中点，DEAC，21ACDE（三角形的中位线平行于第
11、三边并且等于第三边（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），的一半），ACGDEG，21ACDEAGGDGCGE31ADGDCEGE如果在图如果在图24244 44 4中，取中，取ACAC的中点的中点F F，假设，假设BFBF与与ADAD交于交于GG，如图，如图24.4.524.4.5，那么我们，那么我们同理有同理有 ，所以，所以有有 ，即两图中，即两图中的点的点G G与与GG是重合的是重合的31BFFGADDG31ADDGADGD 三角形三条边上的中线交三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的的长是对应中线长的313、证明线段倍分关系的方法常有三种：、证明线段倍分关系的方法常有三种：ABCDE中点中点中点中点（1）三角形中位线定理。）三角形中位线定理。ABCD中点中点（2）直角三角形斜边上的中）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。线等于斜边的一半。ABC300（3）直角三角形）直角三角形300角所对的角所对的直角边等于斜边的一半。直角边等于斜边的一半。作业：课本作业：课本184页第页第4小题，小题，188页第页第8小题小题
