1、计数部分加法原理与枚举法如果完成一件事情有n 类方法，而每一类方法中分别有m1，m2，mn 种方法，而不论采用这些方法中的任何一种，都能单独地完成这件事情，那么要完成这件事情共有N=m1+m2+mn 种方法。这就是加法原理，也是利用分类法计数的依据。而在分类计数的过程中，往往要把各类方法中的总的数量加以枚举，因此，加法原理常和枚举法结合运用。所谓枚举法， 就是把所要求计数的所有对象一一列举出来，最后计算总数的方法。运用枚举法进行列举时，必须注意无一重复，也无一遗漏。乘法原理如果完成一件事必须分n 个步骤，而每一个步骤分别有m1，m2，mn 种方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn 种方法。这就
2、是乘法原理，它是分步法的依据。乘法原理和加法原理被称为是计数的基本原理。我们应注意它们的区别，也要注意二者的联合使用。利用乘法原理解决一些较难问题时，一定要注意各个步骤的先后次序的选择。排 列在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法。这就是排列问题。在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关一般地，从 n 个不同的元素中任取出m 个（mn）元素，按照一定的顺序排成一列叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。从 n 个不同元素中取出m 个（mn）元素的所有排列的个数，叫做从组合日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比
3、赛中，把参赛队分为几个组，从全班同1学中选出几人参加某项活动等等.这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题.一般地，从n 个不同元素中取出m 个（mn）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合.从 n 个不同元素中取出m 个元素（mn）的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数.记作c m .n综合应用前面我们已讨论了加法原理、
4、乘法原理、排列、组合等问题.事实上，这些问题是相互联系、不可分割的.例如有时候，做某件事情有几类方法，而每一类方法又要分几个步骤完成.在计算做这件事的方法时，既要用到乘法原理，又要用到加法原理.又如，在照相时，如果对坐的位置有些规定，那么就不再是简单的排列问题了.类似的问题有很多， 要正确地解决这些问题，就一定要熟练地掌握两个原理和排列、组合的内容，并熟悉它们所解决问题的类型特点.1、运用两个加法原理和乘法原理时要注意：抓住两个基本原理的区别，千万不能混.不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数.不同步的方法（全程分成几个阶段（步
5、），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数.在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的.2、运用排列与组合时要注意：排列与组合都是从若干个元素中选出一些元素，共有多少种选法的问题，其中排列要求选出的这些元素有顺序要求，而组合没有顺序要求。包含与排除集合通常用大写的英文字母A、B、C、表示。构成这个集合的事物称为这个集合的元素。如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A 的一个元素。又如任何一个自然数
6、都是集合B 的元素。像集合B 这种含有无限多个元素的集合称为无限集合。像集合C2这样含有有限多个元素的集合称为有限集合。有限集合所含元素的个数常用符号|A|、|B|、|C|、表示。记号 AB 表示所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合。就是右边示意图中两个圆所覆盖的部分。集合AB 叫做集合A 与集合B 的并集。“”读作“并”，“AB”读作“A 并B”。设集合A=1，2，3，4，集合B=2，4，6，8，则AB=1，2，3，4，6，8。元素 2、4 在集合A、B 中都有，在并集中只写一个。记号AB 表示所有既属于集合A 也属于集合B 中的元素的全体。就是上图中阴影部分所表示的集合。即是由
7、集合A、B 的公共元素所组成的集合。它称为集合A、B 的交集.符号“”读作“交”，“AB”读作“A 交B”。如上例中的集合A、B，则AB=2，4。关于两个集合的容斥原理：集合A 与 B 的并集的元素个数，等于集合A 的元素个数与集合B 的元素个数的和，减去集合A 与 B 的交的元素个数。即：|AB|=|A|+|B|-|AB|关于三个集合的容斥原理：右图中三个圆A、B、C 分别表示具有三种不同性质的集合，并如图用M1、M2、M3、M7 表示由三个圆形成的内部互不重叠的部分所含元素的个数， 可见：ABCM1M2+M7（M1M4M6M7）+（M2M4M5M7）+（M3M5M6M7）-（M4+M7）+
8、（M5+M7）+（M6M7）M7ABC-AB-BC-AC+ABC，事实上这个规律还可推广到按多种性质来分类的情形。设集合M 中的每个元素至少具有 t 种性质中的一种，用n 表示各个具有 1 种性质的集合中的元素个数的和，n 表示12各个具有 2 种性质的集合中元素个数的和，n 表示具有t 种性质的集合中元素的个数，t则集合M 中元素的个数m 为：m=n -n n -n +n1234t最后一项当t 为偶数时取“”号，否则取“”号。枚举法一内容概述:掌握枚举的一般方法，学会按照一定顺序，有规律地进行枚举，做到“不重不漏”；应用字典排列法解决整数分拆的问题，学会分辨“计次序”与“不计次序”的情形。3
9、教学一对一：1. 冬冬在一张纸上画了一些图形，如图4-1 所示，每个图形都是由若干条线段连接组成的。请你数一数， 纸上一共有多少条线段？（最外面的大长方形是纸的边框，不算在内）2. 要沿着如图 2-4 所示的道路从 A 点走到 B 点，并且每段路最多只能经过一次，一共有多少种不同的走法？3. 小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游，要走遍这三个景点，他一共有多少种不同的游览顺序？4. 小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4 个地方中选 2 个去旅游，小王有多少种不同的选择方式？如果小王想去其中的 3 个地方，又有多少种选择方式？5. 小烧饼每个 5 角钱，大烧饼每个2 元钱，冬冬一共有6
10、元钱，如果把这些钱全部用来买烧饼，一共有多少种不同的买法？小悦的总分冬冬的总分6. 在一次知识抢答比赛中，小悦和冬冬两个人一共答对了 10 道题，并且每人都有答对的题目。如果每道题 1 分，那么小悦和冬冬分别可能得多少分？请把所有的可能填写到下面的表格里：7. 两个海盗分 20 枚金币。请问：（1） 如果每个海盗最少分 5 枚金币，一共有多少种不同的分法？（2） 如果每个海盗最多分到 16 枚金币，一共有多少种不同的分法？8. 有 15 个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有几种不同的分法？这两堆球的个数可能相差几个？9. 张奶奶去超市买了 12 盒光明牛奶，发现这些牛奶需要装在 2 个相同的袋子
11、里，并且每个袋子最多只能4装 10 盒。张奶奶一共有几种不同的装法？10. 小悦、冬冬、阿奇三个人一共有 7 本课外书，每个人至少有一本。小悦、冬冬、阿奇分别有几本课外书？请写出全部可能的情况。11. 如图 4-3，小悦画了一个小房子，如果每画一笔都不能拐弯，那么她最少画了几笔？12. 小悦把 8 块绿豆糕摆成如图 4-4 所示的图形，让冬冬挑两块挨在一起的绿豆糕。请问：冬冬一共有多少种不同的挑法？13. 小悦、冬冬、阿奇三个人去看电影，他们买了三张座位相邻的票。他们三人的座位顺序一共有多少种不同的安排方法？14. 小李摆摊卖货，小木偶每个卖 1 元，大木偶每个卖 2 元。他今天一共卖出了 5
12、 个木偶。小李今天一共可能卖了多少钱？15. （1）老师给小悦 14 个相同的练习本。如果小悦把这些本子全都分给冬冬和阿奇，有多少种不同的分法？（2）老师给小悦 14 个相同的练习本，如果小悦只需要把这些本子分成2 堆，又有多少种不同的分法？16. 盘子里一共有 20 颗花生，小悦和冬冬一起吃，每人一口吃2 颗，两个人一起把花生吃完（每人至少吃一口），他们分别可能吃了多少颗花生？17. 如图 4-5，有 7 个按键，上面分别写着：1、2、3、4、5、6、7 这七个数字。请问：（1） 从中选出 2 个按键，使它们上面数字的差等于2，一共有多少种选法？（2） 从中选出 2 个按键，使它们上面数字的
13、和大于9，一共有多少种选法？518. 小王有 5 个相同的飞机模型，他要把它们放在一个 3 层的货架上，每层至少要放 1 个。小王一共有多少种不同的放法？过了几天，他又要把18 个相同的汽车模型放到另一个 3 层货架上，每层最少要放5 个， 这时有多少种不同的放法？19. （1）小明买回了一袋糖豆，他数了一下，一共有10 个。现在他要把这些糖豆分成 3 堆，一共有多少种不同的分法？（2）如果小明有两袋糖豆，每袋10 个。要把这两袋糖豆分成 3 堆，每堆最少要有 5 个，一共有多少种不同的分法？20. A、B、C、D、E 这五个人一起回答一道题目，结果只有两个人答对了。所有可能的回答情况一共有多
14、少种？21. (1)有 2 个相同的白球和 1 个红球。如果把这 3 个小球排成一排，有多少种不同的排法？（2）有 2 个相同的白球和 3 个相同的红球，把这 5 个小球排成一排，有多少种不同的排法？22. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊这五个小朋友里面选出四个人参加乒乓球赛，有多少种不同的选法？ 如果已尼选出甲、乙、丙、丁，现在要把他们分成两组，进行双打比赛，有多少种不同的分法？内容概述:枚举法二巩固字典排列的方法；使用树形图的方法解决更复杂的计数问题；熟练掌握分类枚举的方法。教学一对一：1. 有一些三位数的各位数字都不是0，且各位数字之和为 6，这样的三位数共有多少个？2. 汤姆、杰瑞和得鲁
15、比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病，医生发现他们一共有8 颗蛀牙，他们三人可能分别有几颗蛀牙？63. 老师让小明写出 3 个非零的自然数，且 3 个数的和是 9，如果数相同、顺序不算同一种写法，例如 1+2+6、2+1+6 还有 6+1+2 都算是同一种写法。请问：小明共有多少种不同的写法？4. 生物老师让大家观察蚂蚁的习性。第二天小悦在小区的广场上发现了12 只黑蚂蚁，这 12 只蚂蚁恰好凑成了 3 堆，每堆至少有 2 只。请问：这 3 堆蚂蚁可能各有几只？5. 一个三位数，每一位上的数字都是1、2、3 中的某一个，并且相邻的两个数字相同，一共有多少个满足条件的三位数？6. 如图 12-1，
16、一只小蚂蚁要从一个正四面体的顶点A 出发，沿着这个正四面体的棱依次走遍 4 个顶点再回到顶点A。请问：这只小蚂蚁一共有多少种不同的走法？7. 5 块六边形的地毯拼成了图 12-2 中的形状，每块地毯上都有一个编号。现在阿奇站在1 号地毯上，他想要走到 5 号地毯上，如果阿奇每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形如果有公共边就称为相邻），并且只能向右边走，例如 1235 就是一种可能的走法。请问：阿奇一共有多少种不同的走法？8. 在图 12-3 中，一共能找出多少个长方形（包括正方形）？9. 如果只能用 1 元、2 元、5 元的纸币付款，那么要买价格是 13 元的东西，一共有多少种不同的付款
17、办法？（不考虑找钱的情况）710. 有一类小于 1000 的自然数，每个数由若干个1 和若干个 2 组成，并且在每个数中，1 的个数比 2 的个数多，这样的数一共有多少个？11. 小悦、冬冬、阿奇三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中发现了 5 件宝物，这三个人可能分别找到了几件宝物？12. 小悦、冬冬和阿奇三个人一起吃完了一盘薯条，这盘薯条总共有 20 根，并且每个人吃的薯条都比5 根多。请问：每个人可能吃了几根薯条？13. 老师要求每个同学写出 3 个自然数，并且要求这 3 个数的和是 8。如果两个同学写出的的 3 个自然数相同，只是顺序不一样，就算是同一种写法。试问：同学们最多能给出多少种不同
18、的写法？14. 费叔叔准备去打羽毛球，他拿了 3 个一模一样的球桶，每个球桶最多能装 8 个羽毛球，他数了一下， 发现 3 个球桶里面一共有 16 个羽毛球。请问：3 个球桶里面有可能分别有几个羽毛球？15. 商店里有 12 种不同的签字笔，价格分别是 1，2，3，4，11，12 元。小悦准备买 3 支不同价格的签字笔，并且希望恰好花掉 15 元。请问：小悦一共有多少种不同的买法？16. 费叔叔提着一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码，只记得密码是一个三位数。这个三位数的个位数比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比5 大的数字。请问：费叔叔最多只需要试多少次就肯定能打开这个公文包？1
19、7. 常昊与古力两人进行围棋赛，谁先胜三局谁就会取得比赛的胜利。如果最后常昊获胜了，那么比赛的进程有多少种可能？18. 从图 12-4 的左下角的 A 点走到右上角的 B 点，如果要求只能向上或者向右走，一共有多少种不同的走法？如果要求只要不走重复的路线就可以，那么从A 点走到B 点一共有多少种不同的走法？19. 妈妈买来了 7 个鸡蛋，每天至少吃 2 个，吃完为止，如果天数不限，可能的吃法一共有多少种？820. 老师拿来三块木板，上面分别写着数字1、2、3。小悦可以用这些木板拼出多少个不贩数？21. 午餐的时候，食堂给同学们准备了苹果、香蕉和桔子这三种水果，每种都有很多个，冬冬想要挑3 个水
20、果吃。请问：冬冬一共有多少种选择？22. (1)如图 12-5（a），方格纸的黑点位置上有一只小蚂蚁，它沿着方格纸上的横线和竖线爬行，方格纸上每一小段的长度都是 1 厘米。试问：小蚂蚁爬了2 厘米之后，可能在哪些位置？把可能的位置在图上标出来。（2）如图 12-5（b），方格纸上每一小段的长度也是 1 厘米，黑点的位置上有一只小蚂蚁，如果它爬了 3厘米之后，恰好在黑线上。请问：这只小蚂蚁爬行的路线一共有多少种不同的可能？内容概述:加法原理与乘法原理理解加法原理和乘法原理，体会分类计数与分步计数的区别；能够根据题目条件，对问题进行合理的分类与分步；学习用标数法解决各类路径问题教学一对一：1. 阿
21、奇去吃午饭，发现附近的中餐厅有9 个，西餐厅有 3 个，日式餐厅有 2 个他准备找一家餐厅吃饭， 一共有多少种不同的选择?2. 阿奇进人一家中餐厅后，发现主食有3 种，热菜有 20 种他打算主食和热菜各买1 种，一共有多少种不同的买法?3. 老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位数，冬冬共有多少种不同的写法?4. 传说地球上有 7 颗不同的龙珠，如果找齐这 7 颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现邪恶的沙鲁找到了这 7 颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序请问：运气不好的沙鲁最坏要试几次才能遇9见神龙?5. 用红、黄、蓝三种颜色给图 15-1 的三
22、个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?6. 在图 152 中，从“北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会”那么一共有多少种不同的读法？7. 运动会中有四个跑步比赛项目，分别为50 米、100 米、200 米、400 米，规定每个参赛者只能参加其中的一项甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，请问：(1) 如果每名同学都可以任意报这四个项目，一共有多少种报名方法? (2)如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法?8. 冬冬的书包里有 5 本不同的语文书、6 本不同的数学书、3 本不同的英语书请问：(1) 如
23、果从中任取 1 本书，共有多少种不同的取法?(2) 如果从中取出语文书、数学书、英语书各1 本，共有多少种不同的取法?9. 如图 15-3，甲、乙两地之间有 4 条路，乙、丙两地之间有 2 条路，甲、丙两地之间有 3 条路，那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线?10. 图15-4 中有一个从A 到B 的公路网络，一辆汽车从A 行驶到B，可以选择的最短路线一共有多少?条11. 阿奇一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机经过网上查询，出发的那一天中火车有 4 班，汽车有 3 班，飞机有 2 班他们乘坐这些交通工具，一共可以有多少种不同的选择?12. “IMO”是“国际数学奥林匹克
24、”的缩写，要求把这三个字母涂上三种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色现有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同颜色搭配的“IMO”?13. 书架上有三层书，第一层放了15 本小说，第二层放了10 本漫画，第三层放了 5 本科普书，并且这些书各不相同请问：(1) 如果从所有的书中任取 1 本，共有多少种不同的取法? (2)如果从每一层中各取l 本，共有多少种不同的取法?10(3)如果从中取出 2 本不同类别的书，共有多少种不同的取法?14. 如图 15-5，从甲地到乙地有3 条路，从乙地到丙地有3 条路，从甲地到丁地有2 条路，从丁地到丙地有 4 条路如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到
25、丙地共有多少条不同的路线?15. 如图 15-6，四张卡片上写有数字 2、4、7、8从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数 请问：一共可以组成多少个不同的三位数?其中有多少个不同的三位奇数?16. 奥运场馆实行垃圾分类处理每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉罐、不可再造，如图 15-7. 现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这3 种颜色之一，要求相邻两个垃圾筒颜色不同，且回收废纸的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色方法？17. 如图15-8，把A、B、C、D、E 这五部分用 4 种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色， 不相邻的部分可以使用同一种
26、颜色请问：这幅图共有多少种不同的染色方法?18. 如图 15-9，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色请问： (1)如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法?(2)如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法?19. 甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E 这五辆不同型号的汽车会驾驶汽车A 的只有甲和乙，汽车E 必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶，则一共有多少种不同的安排方案?20. 如图 15-10，4 枚相同的棋子放人 44 的方格内，每个方格只能放 1 枚，且要求每行每列最多只能放1 枚，一共有多少种不同的放法?1121. 图 15
27、-11 是一个阶梯形方格表，在方格中放入 5 枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有1 枚棋子， 这样的放法共有多少种?22. 如图 15-12 和图 15-13，蚂蚁在线段上爬行，只能按照箭头的方向行走，请问： (1)按图 15-12 所示，从A 点走到B 点的不同路线有多少条?(2)按图 15-13 所示，从A 点走到B 点的不同路线有多少条?内容概述:排列组合了解排列、组合公式的来由及含义，掌握具体的计算方法；辨析排列、组合之间酌区别与联系，并能够合理应用教学一对一：1.计算： (1)P 2(2) P 4(3)3 P 3+ P 3410362. 费叔叔、小悦、冬冬和阿奇四个人站成一排照相，
28、一共有多少种不同的排列方法?3. 体育课上，老师从 10 名男生中挑出 4 人站成一排，共有多少种不同的排列方法?4. 费叔叔、小悦、冬冬、阿奇四个人一块乘公共汽车去公园，上车后发现有 8 个空座位，他们一共有多少种不同的坐法?125. 用 1 至 7 这 7 个数字一共能组成多少个没有重复数字的三位数?如果把这些三位数从小到大排起来，312是其中第几个?6.计算： (1)C 2(2)C 4(2)P 3 C 357667. 图 21-1 中有六个点，任意三个点都不在一条直线上请问： (1)以这些点为端点，一共可以连出多少条线段?(2)以这些点为顶点，一共可以连出多少个三角形?8. 费叔叔把 1
29、0 张不同的游戏卡片分给冬冬和阿奇，并且决定给冬冬8 张，给阿奇 2 张一共有多少种不同的分法?9. 小悦要从八门课程中选学三门，一共有多少种选法?如果数学课与钢琴课时间冲突，不能同时学，她一共有多少种选法?10. 象棋兴趣小组一共有 9 名同学，请问：(1) 如果从中选 3 名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日，共有多少种选法? (2)如果从中选 3 名同学去参加一次全市比赛，共有多少种选法?11.计算： (1)P 2(2) P 3(3)P 4 - P 2576612如图21-2 所示，有 5 面不同颜色的小旗，任取 3 面排成一行表示一种信号，用这5 面小旗一共可以表示出多少种不同的
30、信号?133 名同学一块去图书馆借科幻小说，发现书架上只剩下9 本，且各不相同如果每人只借 1 本，那么共有多少种不同的借法?1314用 1、2、3、4、5 这五个数码可以组成多少个没有重复数字的四位数?将这些四位数从小到大排列起来，4125 是第几个?15. 计算： (1)C 3(2)C 3 - 2 C 2(3)C 4 ， C 1(4)C 7 ， C 39101055101016. 如图 21-3 所示，从端点O 出发的射线共有 7 条，图中一共有多少个锐角?17. 如图 21-4 所示，在一个圆周上有 8 个点，以这些点为顶点或端点，一共可以画出多少条线段?多少个三角形?多少个四边形?18
31、9 支球队进行足球比赛，实行单循环制，即每两队之间只比赛一场每场比赛后胜方得3 分，平局双方各得 1 分，负方不得分请问：一共要举行多少场比赛?9 支队伍的得分总和最多为多少?19. 学校十佳歌手大赛的 10 名获奖选手中，每 3 人都要照一张合影问：需要拍多少张照片?20. 在新学期的班会上，大家要从11 名候选人中选出班干部请问： (1)选出三人组成班委会，那一共有多少种选法?(2)从剩下的候选人中，选出三人分别担任语文、数学、英语的课代表，一共有多少种选法?21. 费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇去参加一次聚会，主持人要求每个人从 12 个颜色不同的彩球中领取一个请问：(1) 小悦是第一个取球
32、的人，她一共选出了4 个球，准备回头分给大家，那一共有多少种选法? (2)小悦回到座位后，把这 4 个球分给大家，一共有多少种分法?(3)最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能?22. 周末大扫除，老师要从第一组的10 名男生和 10 名女生中选出 5 人留下打扫卫生请问：(1) 如果老师随意选择，一共有多少种选择方法?(2) 如果老师决定选出 2 名男生和 3 名女生，一共有多少种选择方法?14内容概述:计数综合一巩固以前学过的各种方法，综合运用分类与分步思想、排列与组合公式及枚举法来解决较复杂的计数问题；学会使用排阵法、捆绑法、插空法解决排队问题教学一对一：1. 现有面值1 元的钞票 3
33、 张，面值5 元的钞票 1 张，面值10 元的钞票 2 张如果从中取出一些钞票(至少取 1 张)，可能凑出多少种不同的总钱数?2. 一本书从第 1 页开始编排页码，到最后一页结束时共用了1983 个数码这本书共有多少页?3. 费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇一起到圆明园游玩他们四人站成一排照相，其中费叔叔要站在最左边或者最右边，一共有多少种不同的站法?4. 有13 个球队参加篮球比赛比赛分两个组，第一组7 个队，第二组6 个队各组内先进行单循环赛(即每队都要与本组中其他各队比赛一场)，然后由两组的第 1 名再比赛一场决定冠亚军请问：一共需要比赛多少场?5. 从5 瓶不同的纯净水，2 瓶不同的可乐和
34、6 瓶不同的果汁中，拿出2 瓶不同类型的饮料，共有多少种不同的选法?6. 从 4 台不同型号的等离子电视和 5 台不同型号的液晶电视中任意取出 3 台，其中等离子电视与液晶电视至少要各有 1 台，共有多少种不同的取法?7. 从 1 至 9 中取出 7 个不同的数，要求它们的和是36，共有多少种不同的取法?8. 用 0、1、2、3、4 这五个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数?9. 用两个 1、一个 2、一个 3、一个 4 可以组成多少个不同的五位数?1510. 在所有不超过 1000 的自然数中，数字 9 一共出现了多少次?11把自然数 1 至 2008 依次写成一排，得到一个多位数 12
35、3456789101112130620072008请问：(1) 这个多位数一共有多少位?(2) 从左向右数，这个多位数的第 2008 个数字是多少?12. 商场里举行抽奖活动，在一个大箱子里放着9 个球其中红色的、黄色的和绿色的球各有3 个，而且每种颜色的球都分别标有 1、2、3 号顾客从箱子里摸出 3 个球，如果 3 个球的颜色全相同或者各不相同， 就可以中奖已知这两种中奖方式分别被设定为一等奖和二等奖，并且一等奖比二等奖少问：到底哪种中奖方式是一等奖，哪种是二等奖呢?13. 工厂某日生产的 10 件产品中有 2 件次品，从这 10 件产品中任意抽出 3 件进行检查，问：(1) 一共有多少种
36、不同的抽法?(2) 抽出的 3 件中恰好有一件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有多少种?14. 如图 22-1，在半圆弧及其直径上共有 9 个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形?156 名学生和 4 名老师分成红、蓝两队拔河，要求每个队都是3 名学生和 2 名老师，一共有多少种分队的方法?1610 个人围成一圈，从中选出 3 个人要求这 3 个人中恰有 2 人相邻，一共有多少种不同选法?17. 用 0、1、2、3、4、5 这六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数?其中偶数有多少个?18. 用l、2、3、4 这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?
37、这些三位数的和是多少?19. 用两个 1、两个 2、两个 3 可以组成多少个不同的六位数?205 名同学站成一排，在下列不同的要求下，请分别求出有多少种站法： (1)5 个人站成一排；16(2) 5 个人站成一排，小强必须站在中间；(3) 5 个人站成一排，小强、大强必须有一人站在中间； (4)5 个人站成一排，小强、大强必须站在两边；(5)5 个人站成一排，小强、大强都没有站在边上216 名小朋友A、B、C、D、E、F 站成一排若A，B 两人必须相邻，一共有多少种不同的站法?若 A、B 两人不能相邻，一共有多少种不同的站法?22. 学校乒乓球队一共有 4 名男生和 3 名女生某次比赛后他们站
38、成一排照相，请问：(1) 如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法? (2)如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法?包含与排除内容概述:有重叠部分的若干对象的计数问题能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；灵活处理具有一些不确定性的计数问题，以及其他形式的重复计数问题教学一对一：1. 暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是 两人都去过的如果小悦去过其中的卜二景，那么冬冬去过其中的几景？2. 在一群小朋友中，有 12 人看过动画片黑猫警长，有 21 人看过动画片大闹天宫，并且有
39、8 人两部动画片都看过请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？3. 五年级一班45 个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10 人，数学及语文均得满分的有3 人，这两科都没有得满分的有 29 人请问：语文成绩得满分的有多少人？4. 某餐馆有 27 道招牌菜小悦吃过其中的 13 道，冬冬吃过其中的 7 道，而且有 2 道菜是两人都吃过的 请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？5. 如图 4-I，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为 30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2请问：(1) 只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？ (2
40、)只被这 3 个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？176. 在一个由 30 人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种，其中有 10 个人爱喝红茶，12 个人不爱喝红茶却爱喝绿茶，请问：只爱喝花茶的有多少人？7. 光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是54 人、46 人、36 人同时参加体育小组和音乐小组的有 4 人，同时参加体育小组和书法小组的有7 人，同时参加音乐小组和书法小组的有 10 人，三组都参加的有 2 人光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？8. 卫生部对 120 种食物是否含有维生素A、C、E 进行调查，结果发现：含维生素A
41、 的有 62 种，含维生素 C 的有 90 种，含维生素E 的有 68 种，同时含维生素A 和 C 的有 48 种，同时含维生素A 和 E 的有 36 种，同时含维生素C 和E 的有 50 种，同时含这三种维生素的有25 种请问：(1) 这三种维生素都不含的食物有多少种？ (2)仅含维生素A 的食物有多少种？9. 操场上有 50 名同学在跑步或跳绳，其中女生有 18 名，跳绳的同学有 31 名，跑步的男生有 14 名跳绳的女生有多少名？10. 学校举行棋类比赛，分为象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加其中两项根据报名的人数，学校决定对象棋的前 9 名、围棋的前 10 名和军棋的前 11 名发放奖
42、品请问：最少有几人获得奖品？11. 在一个办公室中，有7 个人爱喝茶，10 个人爱喝咖啡，3 个人既爱喝茶又爱喝咖啡，如果每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，那么这个办公室里共有多少人？12. 五年级二班有 40 名同学，其中有25:人没参加数学小组，有18 人参加航模小组，有10 人两个小组都参加那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人？13. 在 1 至 100 这 100 个自然数中，既不能被 2 整除也不能被 3 整除的数有多少个？14. 渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共 305 人参加参加长跑比赛的有 150 名男生和 90 名女生，参加游泳比赛的有 120 名男生和 70 名女生，有
43、 110 名男生两项比赛都参加了，请问：只参加游泳比赛而没有参加长跑比赛的女生有多少人？15. 森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种爱吃萝卜的小白兔中有 12 只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有 23 只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有 34 只不爱吃萝卜如果三种食物都爱吃的小白兔有5 只，那么这群小白兔一共有多少只？1816. 三位基金经理投资若干只股票张经理买过其中 66 只，王经理买过其中 40 只，李经理买过其中 23 只张经理和王经理都买过的有 17 只，王经理和李经理都买过的有 13 只，李经理和张经理都买过的有 9 只，三个人都买过的有 6 只请
44、问：这三位经理一共买过多少只股票？17. 唐僧西天取经共经历了81 难，其中单独渡过了 3 难，与孙悟空一起渡过了77 难，与猪八戒一起渡过了 65 难，与沙和尚一起渡过了 62 难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了 64 难，同时与孙悟空和沙和尚一起渡过了 61 难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了60 难请问：师徒四人共同渡过的有多少难？18. 培英学校有学生1000 人，其中有500 人订阅了中国少年报，有 350 人订阅了少年文艺，有 250 人订阅了数学报，至少订阅两种报刊的有 400 人，订阅了三种报刊的有 100 人请问：培英学校有多少人没有订报？19. 五年级一班有46 名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组其中有24 人参加了数学小组，20 人参加了语文小组，既参加数学小组又参加语文小组的有 10 人参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的 3.5 倍，还是三项小组都参加的人数的 7 倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数等于三项
