1、3.2 三维波动方程初值问题三维波动方程初值问题三维齐次波动方程的球对称解三维齐次波动方程的球对称解三维齐次波动方程的泊松公式和三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法球平均法泊松公式的物理意义泊松公式的物理意义三维非齐次波动方程的初值问题三维非齐次波动方程的初值问题和推迟势和推迟势2.2.三维波动方程初值问题三维波动方程初值问题基本思路：将三维问题转化为一维问题三维波动方程可描述声波、电磁波和光波等在空间中的传播，称为球面波。考虑初值问题其中 满足一定的光滑性条件。23300(),(,),0(2.1)(,),(,),(,)ttxxyyzztttua uuux y zR tux y z ux y
2、zx y zR2.1 2.1 三维齐次波动方程的球对称解三维齐次波动方程的球对称解,引入球坐标系 即sincos,sinsin,cosxryrzr(,),r 0,0,02,r 则方程(2.1)可化为2222222111 sin (2.2)sinsinttuuarrrruurr所谓球对称解球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心为原点)，即 与 和 无关。(,)(,)u x y z tu r t故当 u 是球对称函数时，方程(2.2)可化为22,0,0(2.3)ttrruuaurtrr或者等价地写成22()(2)(),ttttrrrrrruruaruuaru令 ru=v,则有 其通解可表
3、示为 2,ttrrva v()(),0,0,vF ratG ratrt其中F(r+at)是沿 r 负方向传播，为收敛波，G(r-at)是沿 r 正方向传播的行波，为发散波。从而，()()(,),0,0,F ratG ratu r trtr其中 F,G 是任意两个二阶连续可微函数。若考虑初始条件(,0)(),(,0)(),0,(2.4)tu rr u rrr则类似于半界弦的振动情况，可得初值问题(2.3)-(2.4)的解1()()()()21 (),;2(,)1()()()()21 (),00 .2at rr atr atr atatraratratratratrdaru r tratratrr
4、atarrtratd 2.2 2.2 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法(1)主要结果一维齐次波动方程的达朗贝尔解11(,)()()+()22x atx atu x txatxatda 可改写成1()21()2(,)+x atx atxxtataddatx ttttaut 其中 为初始位移 在 上的算术平均值，1()2x atx atdat,xat xat 为初始速度 在 上的算术均值,xat xat1()2x atx atdat 受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初始函数 和 的平均值，分别为2 22 211(,),(,).44
5、MMatatSSdSdSa ta t 则问题(2.1)的解应该是(待证)2 22 211(,)(,)+(,)44MMatatSSu x y z ttdStdSta ta t 221(,)1(,)+,(2.5)44MMatatSSdSdSattat 其中 为M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面。MatS为简化计算，将公式(2.5)在球坐标下化为累次积分，球面的方程为MatS2222()()()().xyzat设 为球面上的点，则(,)P sincos,sinsin,cos,xatyatzat三维齐次波动方程初值问题的三维齐次波动方程初值问题的Poisson公式公式2 2sindSa td
6、d 于是22 22 20022 22 2001(,)(,)sin41 +(,)sin4u x y z tta td dta tta td da t 200200(sin cos,sin sin,4cos)sin(sin cos,4 sin sin,cos)sin.(2.6)txatyatttzatd dxatyatzatd d (2)Poisson公式(5)的推导推导思路推导思路球平均法球平均法一般情况下，ru 未必满足一维波动方程。设法找一个与u有关的球对称函数 通过 把 u 求出来。,uu考虑 u 在球面 上的平均值，即MrS1211(,)(,),(2.7)44MMrSSu r tudSu
7、t dr 其中sincos,sinsin,0,0,02,cos,xryrrzr是球面 上的点的坐标，是单位球面上的面积元，且有 ，则MrS22sindSrd dr d 0(,)(,)lim(,)(0,)ru M tu x y z tu r tut球平均法下面证明 满足一维波动方程ru2(,)(,)(2.8)ttrrru r ta ru r t设 表示中心在 M 的半径为r的球域。对方程(2.1)的两边在 上积分，并利用高斯公式及(2.7)，有MrBMrB2()()()MMrrttxxyyzzBBu dxdydzauuudxdydzd22(,)MMrrxyzSSuau u undSadSn122
8、224.MSuuar da rrr 另一方面，由于220MMrrttBSu dxdydzudSdt 1222222004,MrrSud dudtt 故有222220.ruuda rtr此式两端关于 r 求导，有22222().ur uartrr于是 满足22222,uaurtrrru即22222()().ruruatr所以(,)()()(2.9)ru r tF ratG rat即 满足一维波动方程。ru对(2.9)两边分别关于 r 和 t 求导，有()()(,)()(),ruuru r tF ratG ratrr1()()(),ruF ratG ratat将此二式相加，得()1()()1(,)
9、2(),ruruuuru r tF ratratrat令 有0,r(,)(0,)2().u x y z tutF at另一方面，在上式中取 t=0，有0()1()2()truruF rrat22011144MMrrSStrudSrudSrra tr01144MMrrtSStuudSdSrrar11.44MMrrSSdSdSrrar从而，用 at 取代 r，Poisson公式得证。定理定理1 1.若 则Poisson公式(2.5)表达的 u(x,y,z,t)在 内二阶连续可微，且为三维齐次波动方程初值问题的古典解。33(,),(,),x y zCx y zC3(0,)R 例例1 1.求解初值问题
10、233(),(,),0(,0),(,0)0,(,)ttxxyyzztua uuux y zR tu x y zxyz u x y zx y zR解解.由Poisson公式(2.6)得2001(,)4(sincossinsincos)sinu x y z ttxyztatd d 2001()sin4t xyzddt 22200(sincos)sinatdd 2200sincosatdd.xyz例例2 2.求解初值问题233(),(,),0(,0),(,0),(,)ttxxyyzztua uuux y zR tu x y zyz u x y zxzx y zR解解.法一法一.此处 由Poisson
11、公式(2.6)得200(,)1sin(sinsin)(cos)4u x y z ttyatzatd dt ,yzxz2001sin(sincos)(cos)4xatzatd d 20022 2002 21sin(sinsincos4sincos sin)sin(4cossincossincoscos).tyzzatyattta td dxzxatzata td d 由三角函数的周期性和正交性，有2200sincos0,dd 00cossincos0.dd 因此00(,)12sin2sin44u x y z tttyzdxzdt .yztxz法二法二.由于定解问题是线性的，故可由叠加原理，令12
12、3,uuuu其中 分别满足如下定解问题123,u u u1211010,00,tttxxttuaxR tuxuuxRz2220022,0,0,yytttttuuyzuayR tuyR3330032,0,0,0zztttttuuuazR tuzR由达朗贝尔公式可分别求得以上三个定解问题的解，为11,2x atx atuz dxzta 21()(),2uz yatz yatyz30,u 因此.uxztyz2.3 2.3 泊松公式的物理意义泊松公式的物理意义由泊松公式可见，定解问题(2.1)的解在M(x,y,z)点 t 时刻的值，由以 M 为中心，at 为半径的球面 上的初始值而确定。MatS这是由
13、于初值的影响是以速度 a 在时间 t 内从球面 上传播到 M 点的缘故。MatS设初始扰动限于空间某区域 内，(即在 外 ),记 d 和 D 分别为 M 点到区域 的最近和最远距离，则0,0(1)当 时，即 时，与 不相交，上的初始函数 为0，故u(M,t)=0。这说明扰动的前锋尚未达到 M 点。atddtaMatS,MatS(2)当 即 时，上的初始函数 不为0，故u一般不为0。这表明扰动正在经过M点。,datDdDtaa MatS,(3)当 时，即 时，与 也不相交，因而同样 u(M,t)=0，这说明扰动的阵尾已传过M点，M又恢复到静止状态。atDDtaMatS三维空间的初始局部扰动，在不
14、同的时间内对空间每一点发生影响，且波的传播有清晰的前锋和阵尾，这种现象物理上称为惠更斯(Huygens)原理或无后效现象。现实生活中声音的传播就是一例：从某处发出声音，经过一段时间后，才能听到，再经过一段时间之后恢复到静止状态。例例3 3.高空大气中有一半径为1的球形薄膜，薄膜内的压强超过大气的数值为 假定该薄膜突然消失，将会在大气中激起三维波，试求球外任意位置的附加压强P。0,P解解.设薄膜球心到球外任意一点的距离为d，则其定解问题为2303(),(,),0,1,(,0)(,0)0,(,)0,1,ttxxyyzztPaPPPx y zR tPdP x y zP x y zx y zRd当 时
15、，由泊松公式(2.5)有11datd 21(,)(,)4MatSP x y z tdSatt 22 202001sin4Pda tdatt 20212(1 cos)4Pa tat22 2202112142da tPa tatdat2021()14Padatatd 0()2Pdatd当atd+1 时，(,)0.P x y z t 2.4 2.4 三维非齐次波动方程的初值问题和推迟势三维非齐次波动方程的初值问题和推迟势考虑非齐次波动方程的初值问题23300()(,),(,),0(2.10)(,),(,),(,)ttxxyyzztttua uuuf x y z tx y zR tux y z ux
16、y zx y zR该问题可分解为下面两个问题23300(),(,),0(,(,),(,)2.11,),(,ttxxyyzztttva vvvx y zR tvx y z vx y zx y zR23300()(,),(,),(2.1200,(,)0,)ttxxyyzztttwawwwf x y z tx y zR twwx y zR问题(2.11)(2.12)的解分别为v(x,y,z,t),w(x,y,z,t),由叠加原理，问题(2.10)的解 u=v+w.对于问题(2.12)，齐次化原理同样成立，即()201(,)(,)4Ma ttSfw x y z tdSdat 作代换 上式为 20(,)
17、1(,)4MrrtaSftw x y z tdSdrar ,rta 2(,)1(2.13)4rar atftd d dar 因此，在时刻 t 位于M(x,y,z)处的函数 w 的值由 f 在时刻 的值在 M 为中心，at 为半径的球体中的体积分表示，故称积分(2.13)为推迟势。rta 定理定理2 2.若 则三维非齐次波动方程的解 u 可表示为333323(),(),0,),C RC RfCR2221(,)(,)4(,)1(,)144MatMatSrar atSu x y z tdSattftdSd d datar 三维非齐次波动方程初值问题的三维非齐次波动方程初值问题的Kirchhoff 公
18、式公式例例4 4.求解初值问题233()2(),(,),0(,0),(,0)0,(,)ttxxyyzztua uuuytx y zR tu x y zxyz u x y zx y zR解解.由例例1，仅需计算推迟势2222000(,)142(sinsin)1sin4rar atrataftd d daryrtrd d drar 231.3ytt因此231(,).3u x y z txyzytt例例5 5.求解二维初值问题2222(),(,),0(,0)(,),(,0)0,(,)tttxxyyuac ux yR tu xuuyx y u x yx yR解解.令 则 v 满足三维波动方程的初值问题
19、(,)(,)czav x y z tu x y te233(),(,),0(,0)(,),(,)0,(,)ttczxxyyzzatvax y zR tv x yex y v x yxZRvyvv由泊松公式(2.5)，有球面 的方程为MatS2222()()()(),xyzat即222()()(),zatxy故222221,()()()atatxy将曲面积分化为 平面上的二重积分，并注意到球面上下两半都投影于同一圆面，有(,)MatS21(,)(,)4MatcaSev x y z tdSatt 222222222()()()2()()()()()()22211(,)4(,)()()()czatx
20、yaxyatczatxyav x y z teattateatxyd d 222()()()2222222()()()(,)()()()czaxyateatcchatxyad datxy 所以222()()()2222221(,)2()()()(,)()()()xyatu x y tatcchatxyad datxy 3.3 二维波动方程初值问题二维波动方程初值问题二维齐次波动方程的初值问题与二维齐次波动方程的初值问题与降维法降维法二维非齐次波动方程的初值问题二维非齐次波动方程的初值问题二维泊松公式的物理意义二维泊松公式的物理意义3.3.二维波动方程的初值问题二维波动方程的初值问题3.1 3.
21、1 二维齐次波动方程的初值问题二维齐次波动方程的初值问题考虑初值问题222(),(,),0(3.1)(,0)(,),(,0)(,),(,)ttxxyytua uux yR tu x yx y u x yx yx yR采用降维法降维法，即采用三维波动方程初值问题的解来求得二维波动方程相应定解问题的解的表达式。把初始函数 和 分别看成三元函数(,)x y(,)x y(,)(,),(,)(,),x y zx yx y zx y则由泊松公式可知，定解问题23300(),(,),0(3.2)(,),(,),(,)ttxxyyzztttUa UUUx y zR tUx y z Ux y zx y zR 的
22、解221(,)1(,)(,)44MMatatSSU x y z tdSdSattat 其中球面2222(,)|()()()().MatSxyzat 现计算球面 上的积分MatS(,)(,)(,)MatSSSdSdSdSttt 下上其中上半球面222()()(),Szatxy上：下半球面222()()(),Szatxy下：它们的面积元222221 ,()()()dSd datd datxy 且 在平面 上的投影区域均为圆域,SS下上(,)222(,)|()()(),MatCxyat 所以222(,)(,)2.()()()MMatatSCatdSd dttatxy 同理222(,)(,)2.()(
23、)()MMatatSCatdSd dttatxy 从而2222221(,)(,)2()()()1(,)(3.3)2()()()MatMatCCU x y z td da tatxyd daatxy 易见，U与 z 无关。因此(3.3)式即为二维齐次波动方程初值二维齐次波动方程初值问题问题(3.1)的解的解，即2222221(,)(,)2()()()1(,)(3.4)2()()()MatMatCCu x y td da tatxyd daatxy 二维波动方程初值问题的泊松公式二维波动方程初值问题的泊松公式利用极坐标变换 可将上式写成cos,sinxryr22200222001(cos,sin)
24、(,)2()1(cos,sin)(3.5)2()atatxrru x y trd dra tatrxrrrd draatr 3.2 3.2 二维非齐次波动方程的初值问题二维非齐次波动方程的初值问题考虑非齐次波动方程初值问题222()(,),(,),0(3.6)(,0)(,),(,0)(,),(,)ttxxyytua uuf x y tx yR tu x yx y u x yx yx yR利用叠加原理和齐次化原理叠加原理和齐次化原理，可得其解为222222222201(,)(,)2()()()1(,)2()()()(,)1(3.7)2()()MatMatMCCatCu x y td da tat
25、xyd daatxyaftd d daxy 其中圆域222(,)|()().MCxy 利用极坐标变换并令 进一步有),(a ts22200222002()2220001(cos,sin)(,)2()1(cos,sin)2()1(cos,sin,)(3.8)2()atatta t sxrru x y trd dra tatrxrrrd draatrf xrrsrd drdsaa tsr 3.3 3.3 二维泊松公式的物理意义二维泊松公式的物理意义二维空间波的传播与三维空间波的传播有所不同,三维空间的泊松公式的积分是球面上的曲面积分,而二维空间的泊松公式的积分是圆域上的二重积分。设初始扰动在 xo
26、y 平面上某一有界区域 S 内，而其它处没有初始扰动(即在 S 外，),考察 S 外的点 M(x,y)在时刻 t 的状态 u(x,y,t)。0,0由泊松公式知：解 u 依赖于以 M 为中心，at 为半径的圆域 上的初始函数。MatC记 d 和 D 分别为 M 点到区域 S 的最近和最远距离，则(1)当 时，即 时，积分区域 与初始扰动区域 S 不相交，此时 u(M,t)=0。表明 U 处于静止状态，扰动尚未达到 M 点。atd0dta MatC(2)当 即 时，积分区域 与初始扰动区域 S 相交，此时 表明扰动到达 M 点。,datDdDtaa 0,u MatC(3)当 时，即 时，积分区域
27、包含了扰动区域 S，所以积分值一般不为0。只有当 时，才有atDDtaMatCt 0.u 这是因为被积函数的分母中含有 at 的缘故。平面上初始局部扰动的这种传播现象，即对平面上每一点的扰动不是在有限时间内发生的影响，而是有持久的效果，波的传播有清晰的前锋但没有阵尾，称为波的弥散或有后效现象。例如，在平静的湖面上，投入一石子，可以清楚地看见波传播的前阵面，但没有后阵面。例例1 1.已知二维波动和初始速度为零，初始位移集中在单位圆内为1，即22221,1,(,0)(,)0,1,xyu x yx yxy求 u(0,0,t)的值。当 即 时，区域 在单位圆内，这时 于是，由泊松公式(3.5)有1,a
28、t 2220011(0,0,)2()atutrd dratatr 解解.采用(3.5)式，分两种情况计算：1ta222:()MatCat(,)1,22012()2atatrat1()1.ata t当 即 时，有1,at 1ta12220011(0,0,)2()utrd dratatr 12201()atra t 21.()1atat 这说明此波动有后效现象,且当 时,t(0,0,)0.ut 例例2 2.求解初值问题2222(),(,),0,(,0)(),(,0)0,(,).ttxxyytua uux yR tu x yx xy u x yx yR解解.利用二维泊松公式(3.5)，有222001
29、(cos,sin)(,)2()atxryru x y trd dratatr 2222001(cos)(cossin)2()atxrxryrrd dratatr 22222001()(cossin)2()atrdrxxyx rdatatr2222()cos2cos2sincosxr xyxrxr2233()coscossin xy rrd2311()()(3)3xxy atatxya t 32()()(3).xxyatxy3.4 3.4 依赖区域、决定区域、影响区域和特征锥依赖区域、决定区域、影响区域和特征锥(1)(1)二维情形二维情形任取一点 由二维齐次波动方程的初值问题的泊松公式0000(
30、,),Mxy t0000222000222001(,)(,)2()()()1(,)(3.4)2()()()MatMatCCu x y td da tatxyd daatxy 可见，只依赖于初值函数 在圆域000(,)u xy t,00222000(,)|()()()MatCx yxxyyat上的值，而与该圆域外初值函数的值无关，称圆域 为点 的依赖区域。它是锥体00MatC0000(,)Mxy t222210000(,)|()()(),0Kx y txxyya tttt 与平面 t=0 相交所截得的圆域。对于锥体 中的任一点 它的依赖区域 都包含在圆域 内.因此，圆域 内的初值函数决定了 内每
31、一点 u 处的值，故称锥 为圆域 的决定区域。1K1111(,),Mx y t11MatC00MatC00MatC1K1K00MatC在平面 t=0 上任给一点 作一锥体00(,0)xy222 2200(,)|()(),0Kx y txxyya tt锥体 中任一点(x,y,t)的依赖区域都包含给定点即解受到 上定义的初值 和的影响，而 外任一点的依赖区域都不包含点2K00(,0),xy00(,0)xy00(,0)xy00(,0)xy2K00(,0).xy称锥体 为点 的影响区域。2K00(,0)xy从上面的讨论可以看出，锥面22220000()()(),0 xxyya tttt 起着重要作用，
32、称为特征锥面。特征锥面连同其内部称为特征锥。(1)(1)三维情形三维情形类似于二维情形的分析，对于三维波动方程，由泊松公式知，解 u 在任一点 的依赖区域为球面00000(,)Mxyz t0022220000(,)|()()()()MatSx y zxxyyzzat它是锥面22222300000(,)|()()()(),0Kx y z txxyyzza tttt 与超平面 t=0 相交所截得之球面。这个锥面称为三维波动方程的特征锥面。特征锥面连同其内部称为特征锥，即为22222400000(,)|()()()(),0Kx y z txxyyzza tttt 特征锥 中任一点的依赖区域都落在以 为球心，以 为半径的球域4K0 x0at0022220000(,)|()()()()MatBx y zxxyyzzat中。因此，球域 中的初值函数决定了 内每一点处 u 的值，故称特征锥 为球域 的决定区域。00MatB4K4K00MatB在超平面 t=0 上任取一点 锥面000(,0),xyz2222 25000(,)|()()(),0Kx y z txxyyzza tt
