1、华罗庚教授曾举过一个例子：华罗庚教授曾举过一个例子：从一个袋子里摸出来一个红玻璃球，第二个是红玻璃球，从一个袋子里摸出来一个红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们立刻会出现一种猜想：立刻会出现一种猜想：“是不是袋里的东西全部都是红玻是不是袋里的东西全部都是红玻璃球？璃球？”但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候，但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候，这个猜想失败了；这时我们会出现另外一个猜想：这个猜想失败了；这时我们会出现另外一个猜想：“是不是不是袋里的东西全部都是玻璃球？是袋里的东西全部都是玻璃球
2、？”但是，当我们有一次摸但是，当我们有一次摸出一个木球的时候，这个猜想又失败了；那时我们又会出出一个木球的时候，这个猜想又失败了；那时我们又会出现第三个猜想：现第三个猜想：“是不是袋里的东西全部都是球？是不是袋里的东西全部都是球？”这个这个猜想对不对，还必须加以检验猜想对不对，还必须加以检验从上面的情境中，我们看到了探索活动是一个不断地提从上面的情境中，我们看到了探索活动是一个不断地提出猜想出猜想验证猜想验证猜想再提出猜想再提出猜想再验证猜想的再验证猜想的过程过程1.1.1 归纳推理归纳推理 古时候一个地主有古时候一个地主有4 4个儿个儿子，大儿子叫大宝，二儿子子，大儿子叫大宝，二儿子叫二宝，
3、三儿子叫三宝，那叫二宝，三儿子叫三宝，那小儿子叫什么名字呢小儿子叫什么名字呢？小宝小宝 当看到天空乌云密布，燕子低飞，当看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得到一个蚂蚁搬家等现象时，我们会得到一个判断：判断：谚语说：谚语说：“八月十五云遮月，八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯。来年正月十五雪打灯。”天要下雨了天要下雨了。由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：猜想：蛇是用肺呼吸的蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的鳄鱼是用肺呼吸的，海龟也是用肺呼吸的，蛇、鳄鱼、海龟、海龟也是用肺呼吸的，蛇、鳄鱼、海龟、都是爬行动物，猜想：都是爬行动物，猜想：所
4、有的爬行动物都是用肺呼吸的所有的爬行动物都是用肺呼吸的一切金属都能导电一切金属都能导电 三角形的内角和是三角形的内角和是180180度，凸四边形的内角度，凸四边形的内角和是和是360360度，凸五边形的内角和是度，凸五边形的内角和是540540度，度，由此猜想：由此猜想：凸凸n边形的内角和是边形的内角和是(n-2)1800部分部分个别个别整整 体体一一 般般 由某类事物的由某类事物的部分部分对象具有某些特对象具有某些特征，推出该类事物的征，推出该类事物的全部全部对象都具有这对象都具有这些特征的推理，或者由些特征的推理，或者由个别个别事实概括出事实概括出一般一般结论的推理，称为归纳推理（简称结论
5、的推理，称为归纳推理（简称归纳）。归纳）。归纳推理归纳推理1.定义定义 半个世纪之后，欧拉发现：42949672971252猜想：.122是质数n6700417641,1712,5122122都是质数,6553712,257124322注意：归纳推理的结论不一定正确注意：归纳推理的结论不一定正确.归纳推理的作用归纳推理的作用（1）发现新事实，获得新结论）发现新事实，获得新结论（2）提供研究方向）提供研究方向 你能举出归纳推理的例子吗?1.已知数列已知数列an中，中，a1=1，且，且 an+1=(n=1,2,)nna1a问题引入问题引入(1)计算计算a1,a2,a3,a4;(2)猜想猜想an=？
6、.归纳归纳推理推理32?2132121.14321naaaaa猜想拓展例122242n2例例1 拓展拓展2则可归纳出：观察下列式子：474131211,3531211,23211222222112)1(131211222 nnn例例2.2.根据给出的数塔猜测根据给出的数塔猜测1234561234569+7=_9+7=_19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=111111111111例例.平面上平面上2条直线最多有条直线最多有1个交点，个交点，3条直线最多有条直线最多有3个交点，个交点，4条直线最多有条直线最多有6个交点，个交点，5条直线最多有条直线最多有10个交点
7、，个交点，则则n条直线最多交点数比条直线最多交点数比n-1条直线最多交点数多条直线最多交点数多_个个.（nN,n2）分析：1)2(,2fn3)3(,3fn2)2(f6)4(,4fn3)3(f 1)1()(nnfnf1、当、当 上述推理是归纳推理吗？所得结论正确吗？上述推理是归纳推理吗？所得结论正确吗？3,2,1,0n822 nn822 nn时，时，成立成立，所以对于所有的自然数所以对于所有的自然数n,都成立。都成立。不正确不正确，当，当n=6时不成立。时不成立。归纳推理的基础归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理的作用归纳推理归纳推理观察、分析观察、分析发现新事实、发现新事实、获得新结论获得新结
8、论由部分到整体、由部分到整体、个别到一般的推理个别到一般的推理注意注意归纳推理的结论不一定成立归纳推理的结论不一定成立1、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子桩倒霉事却使他发明了锯子.鲁班的思路是这样的：鲁班的思路是这样的：茅草是齿形的茅草是齿形的；茅草能割破手茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的它也可以是齿形的.2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的
9、沉浮原理，、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇发明了潜水艇.ba ba ba cbcabcac 22ba a bab ab ab 112233(,)a bab ab ab 112233(,)aaaaR 123(,)()a b ababab 1 12 23 3 a bab ab abR 112233/,()ababa ba b 1 12 23 30若若 ，则则 aa a a123(,)bb b b123(,)abab ab1122(,)1122abab ab(,)aaaR 12(,)()a ba ba b1 122 若若 ，则则 12aa a(,)bb b12(,)a bab
10、 abR 1122/,()aba ba b1 12202212|aaa222123|aaaa空间向量空间向量平面向量平面向量答案：答案：12345654321.1111111111111266的值猜想拓展例个个分析：111121111112321111111 归纳推理的基础归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理的作用归纳推理归纳推理观察、分析观察、分析发现新事实、发现新事实、获得新结论获得新结论由部分到整体、由部分到整体、个别到一般的推理个别到一般的推理注意注意归纳推理的结论不一定成立归纳推理的结论不一定成立从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比
11、类比提出提出猜想猜想通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理.合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理21nn继续继续尝试证明尝试证明思考思考1:1:如图有三根针和套在一根针上的若干金属如图有三根针和套在一根针上的若干金属片片.按下列规则按下列规则,把金属片从一根针上全部移把金属片从一根针上全部移到另一根针上到另一根针上.要求要求(1)(1)每次只能移动一个金属每次只能移动一个金属片片;(2);(2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测试推测:把把n个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3号针号针,
12、最少需要最少需要移动多少次移动多少次?解解:设设an表示移动表示移动n块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数.当当n=1=1时时,a1 1=1=1当当n=2时时,a2 2=3 3123当当n=1=1时时,a1 1=1=1当当n=2=2时时,a2 2=3 3解解:设设an表示移动表示移动n块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数.当当n=3=3时时,a3 3=7 7当当n=4=4时时,a4 4=1515猜想猜想 an=2 2n -1-1123你能否证明刚才的猜想你能否证明刚才的猜想?例例3.有三根针和套在一根针上的若干金属片有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下按下列规则列规则,把金属片从一
13、根针上全部移到另一根针上把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动一个金属片每次只能移动一个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测试推测:把把n个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针号针,最少需要最少需要移动多少次移动多少次?123123(1)1f n=1时时,123(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f 123(3)7f n=3时时,(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f 1233(2)1(2)ff 1 3(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f(3)fn=3时时,123(3)f 15 n=4时时,
14、n=3时时,(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f(3)7f(2)1(2)ff 1(3)f(4)f(4)f 15n=4时时,n=3时时,(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f(3)7f(2)1(2)ff 1,1()2(1)1,2nf nf nn (3)1(3)ff 归纳归纳:()21nf n 123 要证明刚才的猜想要证明刚才的猜想,需要进一步去探究需要进一步去探究:一般地一般地,完成移动完成移动n块金属片的任务的移动次块金属片的任务的移动次数数an与完成移动与完成移动(n-1)块金属片的任务的移动次数块金属片的任务的移动次数an-1的关系的关系.*121(2)nnaanNn
15、且且 练习归纳能力练习归纳能力123123例例2拓展拓展2的值猜想个个nn2221112 ._,76121122102.2201011aaaaaaaannnnnn则若满足设数列73哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach(Goldbach Conjecture)Conjecture)世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于中学教师，也是一位著名的数学家，生于16901690年，年，17251725年当选为俄国彼得堡科学院院士。年当选为俄国彼得堡科学院院士。17421742年，哥年，哥德巴赫在教学中发现，每个不
16、小于德巴赫在教学中发现，每个不小于6 6的偶数都是两的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6 63 33 3，12125 57 7等等。等等。公元公元17421742年年6 6月月7 7日哥德巴赫日哥德巴赫(Goldbach(Goldbach)写信给当时写信给当时的大数学家欧拉的大数学家欧拉(Euler)(Euler)，提出了以下的猜想，提出了以下的猜想:(a)(a)任何一个任何一个=6=6之偶数，都可以表示成两个奇质之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。数之和。(b)(b)任何一个任何一个=9=9之奇数，都可以表示成三个奇质之奇数，都可以表
17、示成三个奇质数之和。数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6 6月月3030日给他的回信中说日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如体的验证
18、工作，例如:6=3+3,8=3+5,10=5+5=:6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18 3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13,.=5+13,.等等。有人对等等。有人对3333108108以内且大过以内且大过6 6之偶数之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)(a)都成立。但验格的数学证明都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。意。2
19、00200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的学皇冠上一颗可望不可及的“明珠明珠”。到了。到了2020世纪世纪2020年代，才年代，才有人开始向它靠近。有人开始向它靠近。19201920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（9999）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9 9十十9 9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个
20、数，直到最）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫哥德巴赫”。哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)目前最佳的结果是中国数学家陈景润於目前最佳的结果是中国数学家陈景润於19661966年年证明的，称为陈氏定理证明的，称为陈氏定理(Chens Theorem)?(Chens Theorem)?“任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶
21、数可表示为通常都简称这个结果为大偶数可表示为“1+1+2”2”的形式。的形式。哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)在陈景润之前，关於偶数可表示为在陈景润之前，关於偶数可表示为 s s个质数的乘积个质数的乘积 与与t t个质数的乘积之和个质数的乘积之和(简称简称“s+t”s+t”问题问题)之进展情况如下之进展情况如下:19201920年，挪威的布朗年，挪威的布朗(Brun(Brun)证明了证明了“9+9”9+9”。19241924年，德国的拉特马赫年，德国的拉特马赫(Rademacher(Rademacher)证明了证明了“7+7”7+7”。19321932年，英国
22、的埃斯特曼年，英国的埃斯特曼(Estermann(Estermann)证明了证明了“6+6”6+6”。19371937年，意大利的蕾西年，意大利的蕾西(Ricei(Ricei)先後证明了先後证明了“5+7”,“4+9”,“3+5+7”,“4+9”,“3+15”15”和和“2+366”2+366”。19381938年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao(Byxwrao)证明了证明了“5+5”5+5”。19401940年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao(Byxwrao)证明了证明了“4+4”4+4”。19481948年，匈牙利的瑞尼年，匈牙利的瑞尼(Re
23、nyi(Renyi)证明了证明了“1+c”1+c”，其中，其中c c是一很大的自然是一很大的自然 数。数。19561956年，中国的王元证明了年，中国的王元证明了“3+4”3+4”。19571957年，中国的王元先後证明了年，中国的王元先後证明了“3+3”3+3”和和“2+3”2+3”。19621962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH(BapoaH)证明了证明了“1+5”1+5”，中中国的王元证明了国的王元证明了“1+4”1+4”。19651965年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao(Byxwrao)和小维诺格拉多夫和小维诺格拉多夫(BHHopappB(BHHopappB)，及，及 意大利的朋比利意大利的朋比利(Bombieri(Bombieri)证明了证明了“1+3”1+3”。19661966年，中国的陈景润证明了年，中国的陈景润证明了“1+2”1+2”。最终会由谁攻克最终会由谁攻克“1+1”1+1”这个难题呢？现在还没法预测。这个难题呢？现在还没法预测。
