1、第四讲大洋环流模式设计初步张学洪()引言:模式设计过程 基本近似,方程组和边界条件 海表高度预报方程,表面重力波 C-F-L条件，计算稳定性 “刚盖”近似,B-C-S模式 自由面模式,模态分解算法 耗散和频散，典型差分方案 主 要 内 容海表高度预报方程和表面重力波年平均海表高度(LICOM1.0,cm)连续性方程垂直边界条件的提法0zwvHzHzHwv求解垂直速度要求自由表面.z0(x,y,t)z=0z=-H0zwv海表高度 z0 的预报方程00dzzwzHv00dzzwzHv00000ztztdzdwdzzwzzzHv000zdzdzzHzHvvvdztzzH00vyVxUtz0dzv,u
2、V,UzH0正压流的辐合辐散决定海表的升降正压流方程的推导 0zHdztuzuyuxuoFFFzuwyuvxuuxpvftu1u-动量方程右端项的分析zuwFzuSSH,T,u,averaged over 120-150W(LICOM)压力梯度的两个分量000zgpgzpzCzpzgdzgzgp00000压力的 external/internal 分量z=0z=z0(x,y,t)yVxUtz0,.dzpxzgHtUzHc0001典型重力波过程海表起伏对正压流的贡献表面重力波正压速度和海表压力的相互调整00 xzgH00 xzgH0 xVxUz0yVxUtz0表面波(External gravi
3、ty waves)yzHgtVxzHgtU00Hgcg 缓慢变化的海表高度 快速传播的表面波？表面波的计算问题？问 题yVxUtz0Xdzxp11VfxzzHgtU0zHC0 x,bx000Ydzyp11UfyzzHgtV0zHC0y,by000对正压模态方程组的分析纯粹的正压模态斜压对正压模态的贡献.dzxpVfxzHgtUzHCx000011垂直积分流 U 满足的方程已略：水平平流和粘性，底摩擦.在Boussinesq近似下,海表高度的变化由体积守恒决定.海表高度的大尺度分布取决于风应力和斜压压力梯度.表面重力波和地转调整.小 结0000zHzHzHzHvFdzyuFdzxFdztdzdt
4、dF练习题.证明恒等式：(F=u,v,T,.)并推导正压流方程(4.25)-(4.28).Xdzxp11VfxzzHgtU0zHC0 x,bx000Ydzyp11UfyzzHgtV0zHC0y,by000垂直积分流严格满足的方程其中X,Y只依赖于平流和水平湍流粘性.Courant-Friedrichs-Lewy 条件差分格式的计算稳定性xzgtuxuHtz00模型问题:一维行波方程xuctuHgc xuctuxuctu22222一般的波动方程xuctuUfHgHgc2西传的重力波非频散Rossby波基流输运过程一维波动方程解的dAlembert 公式 xfuctxfuxuctut 0 xt0A
5、 x+ct=constBxtc,uuuu0c,xuuctuun1jnjnj1njn1jnjnj1njxjtn不收敛的格式(downstream)jj-1j+1n+1n1xtc,uuuu0c,xuuctuunjn1jnj1njnjn1jnj1njxjtn不收敛的迎风(upstream)格式jj-1j+1n+1n1xtc,uu1u0c,xuuctuun1jnj1njnjn1jnj1njxitn收敛的迎风格式 和 CFL 条件jj-1j+1n+1n差分方程解的依赖区域Courant-Friedrichs-Lewy条件1xtc保证了迎风格式解的依赖区间包含微分方程解的依赖区间,这是近似解收敛的必要条件
6、.xtc,uuunjnjnj111迎风格式的稳定性分析 3,2,1,n,enTu,e0Tujjxminjxmij0 110 xmineG3,2,1,n,TGnT?xmcosG111212?f1141101f1xtc对迎风格式而言,CFL条件1xtc也是计算稳定性条件,它表明:时间步长要受到波速和空间网格距的限制.Rigid-lid 近似Bryan-Cox-Semtner 模式TypeAtmos.OceanGravity waves External First internal mode3001002003Currents Jets Interior150-1.50.2Velocities o
7、f physical phenomena which may limit the time step of a numerical integration in an atmospheric or ocean model in units of ms-1.From Bryan(1984)xct1计算稳定性条件C=200m/s(表面波)t 4 minC=3m/s(内波)t 4.6 hrs x=50 kmBryan,K.,1969:A numerical method for the study of the circulation of the World Ocean.J.Comp.Phys.,
8、4,347-376.(rigid-lid模式)Crowley,W.P.,1968:A Global numerical ocean model:Part I,J.Comp.Phys.,3,111-147.(free-surface模式)两篇海洋模式设计的论文yVxUtz0海表高度 z0 的预报方程刚盖近似正压流无辐散.=0U,V:垂直积分流速(正压流)Vertical displacements of the ocean surface are not allowed.This constraint is called the rigid-lid approximation.(Bryan,19
9、69)XdzxpVfxzzHgtUzHCx,bx0000011垂直积分流速U满足的方程其中X只依赖于平流和水平湍流粘性.xVyU,XdzxpxfxzgHytHCx,bx000011正压无辐散流可以用流函数表示XyYxdzxp1ydzyp1x1yx1xfyyfxtL0HC0HC0 x,bxy,by0yH1yxH1xL正压流函数的预报方程椭圆型算子0zCurlxt1风应力强迫下的正压涡度方程假定:1.H=const 是无运动深度;2.平流项和水平湍流项可略Sverdrup balance为什么rigid-lid模式较早获得成功？滤去了表面波，模式只包含慢过程，可用大时间步长积分，计算量较小;虽然要
10、求解关于正压流函数倾向的椭圆型方程，但早在1960年代椭圆型方程的迭代解法已经比较成熟.L4,4X5(1989)L20,4X5(1994)L30,T63(1999)LICOM(2004)LASG Semtner(1997)POPMOM“刚盖”近似模式的局限性 不能直接预报海表高度,因而不适用于海表高度资料的同化;滤去了表面重力波，不适用于潮汐研究.有必要发展自由面模式.自由面模式和模态分解算法 将表面波模态(external mode)从模式中分离出来,用小步长积分;对描写垂直结构的模态(internal mode)用大步长积分;正确描写两种模态的相互作用.如何减少自由面模式计算量？00zHV
11、vvvvzHUuuuu流速的斜压和正压分量U,V external mode 的速度场.dzxpVfxzHgtUzHCx000011垂直积分流 U 满足的方程缓变强迫项yVxUtz0Xdzxp11VfxzzHgtU0zHC0 x,bx000Ydzyp11UfyzzHgtV0zHC0y,by000对正压模态方程组的分析它们的贡献可以在一定时段内保持不变！刚盖近似模式自由面模式 去掉了表面波 分解算法+滤波海表高度不是预报量,不便同化可以直接同化海表高度资料两种处理表面波方法的比较FtvVvBlumburg,A.F.,and G.L.Mellor,1987:A description of a t
12、hree-dimensional coastal ocean circulation model(POM).刘海龙等：LICOM1.0用户手册模态分解算法的参考资料差分格式的耗散和频散(dissipation/dispersion)典型差分方案简介1,uu1un1jnj1nj迎风格式的单调性和强耗散性unun+1xij-2j-1j+1j+2j单调：极值点个数不增.xuctuknkjknjuau1 ,kka2100 单调性的充要条件单调(无频散)是保形的一个方面高精度格式的频散效应22212tuttutuunnininjnjnjnjnjniuuuxtcuuxtcu1122211222Lax-We
13、ndroff 格式(二阶精度,低耗散)22222xutcxutcunnixuctunjnjnjnjuuuu112112121Lax-Wendroff 格式不是单调格式1xtc 满足Courant条件的迎风格式是稳定和正定的,但耗散太强；Lax-Wendroff 格式具有二阶精度，耗散很小,但频散太强；推测:上述两种格式的适当组合可以构成高精度的保形格式.小 结 先用Lax-Wendroff 格式积分一步得到 试探解,用于检测出单调性有可能被破坏的格点；正式积分时,在那些被检测出来的格点上改用迎风格式.两种格式混合使用,扬长避短.两步保形方案的要点：宇如聪,1994:A Two-Step Sha
14、pe-Preserving Advection SchemeAdv.Atmos.Sci.,11,479-490.对两步保形平流格式的检验（Yu,R.-C.,1994）初值“迎风差分”Lax-WendroffTSPASafter 10 cycles克服高精度格式频散效应的其他方法举例:Leap-frog格式+时间滤波第四讲的回顾 大洋环流模式是建立在什么基础之上的？波动过程,特别是和海表高度变化有关的表面重力波.迎风格式和波动过程差分格式的基本问题.我们了解了那些模式原理？刚盖近似模式和自由面模式大洋环流模式的历史.差分格式设计追求的主要目标之一低耗散、弱频散.对常用的海洋模式(如MOM)的原理
15、有所了解.Equations of the model*Arrangement of variables General method of finite differencing Bryan(1969)的设计要点*其中包括rigid-lid近似.差分方法:用有限的格点系统逼近连续系统0180360赤道南极北极B-GridKirk BryanGFDL 模式的主要研究者 K.Bryan M.Cox A.Semtner R.Pacanowski S.GriffiesBryan-Cox-Semtner modelMOM2004年12月26日印度洋海啸http:/en.wikipedia.org/wiki/Tsunami
