1、第第6 6章章空间问题的基本理论空间问题的基本理论与解答与解答目录目录目录目录主要内容主要内容6-1 6-1 平衡微分方程平衡微分方程6-2 6-2 几何方程及物理方程几何方程及物理方程6-3 6-3 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程6-4 6-4 按位移求解空间问题按位移求解空间问题6-5 6-5 半空间体受重力及均布压力半空间体受重力及均布压力6-6 6-6 半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力6-7 6-7 按应力求解空间问题按应力求解空间问题6.1 6.1 平衡微分方程平衡微分方程 在空间问题中，应力、形变和位移等基在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数
2、共有本知函数共有1515个，且均为个，且均为x,y,z的函数。的函数。空间问题的空间问题的基本方程，边界条件，以基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法及按位移求解和按应力求解的方法，都是，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。从平面问题推广得到。6.1 6.1 平衡微分方程平衡微分方程取出微小的平行六面体，取出微小的平行六面体，zyxvdddd 考虑其考虑其平衡条件平衡条件:,0 xF,0yF;0zF,0 xM,0yM.0zM(a)(b)6.1 6.1 平衡微分方程平衡微分方程6.1 6.1 平衡微分方程平衡微分方程 由由
3、x 轴向投影的轴向投影的平衡微分方程平衡微分方程 ,得得 0,(,).(c)yxxzxxfx y zxyz0 xF 因为因为 x,y,z 轴互相垂直，均为定向，量轴互相垂直，均为定向，量纲均为纲均为L，所以所以 x,y,z 坐标具有对等性，其坐标具有对等性，其方程也必然具有方程也必然具有对等性对等性。因此，式。因此，式(a)的其余的其余两式可通过式两式可通过式(c)的坐标轮换得到。的坐标轮换得到。6.1 6.1 平衡微分方程平衡微分方程 由由3个力矩方程得到个力矩方程得到3个个切应力互等定理切应力互等定理，0 xMzyyz，空间问题的平衡微分方程精确到三阶空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量微
4、量。)dd(dzyx6.1 6.1 平衡微分方程平衡微分方程 设在设在 边界上，给定了面力分量边界上，给定了面力分量 则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。斜面应力分量面与边界重合。斜面应力分量 应应代之为面力分量代之为面力分量 ，从而得出，从而得出空间空间问题的应力边界条件问题的应力边界条件:在在 上的应力边界条件上的应力边界条件s,zyxfffs),(zyxppp),(zyxfff(),(,;,).()()xyxzx sxlmnfx y z l m nSd在 上6.1 6.1 平衡微分方程平衡微分方程如果边界面如果边界面 是坐标面，则边界
5、条件可以是坐标面，则边界条件可以得到简化。例如边界面为正、负得到简化。例如边界面为正、负x面，则面，则l=1，m=n=0，应力边界条件简化为：，应力边界条件简化为：s,xxxxyyxxzzxfff 面面面6.1 6.1 平衡微分方程平衡微分方程如果某一小部分边界上，如如果某一小部分边界上，如S1上，精确的应力边上，精确的应力边界条件（界条件（d）式）难以满足时，按照）式）难以满足时，按照圣维南原理圣维南原理，可以用可以用等效的主矢量等效的主矢量和和等效的主矩等效的主矩的条件来代替。的条件来代替。有两种表达方式：有两种表达方式：（1）在同一小边界面）在同一小边界面S1上，应力是主矢量和主矩上，应
6、力是主矢量和主矩分别等于对应的面力主矢量和主矩（分别等于对应的面力主矢量和主矩（6个等式条个等式条件）；件）；（2）在小边界）在小边界S1附近，切出附近，切出一小部分的脱离体一小部分的脱离体，列出脱离体的力的平衡条件。列出脱离体的力的平衡条件。6.1 6.1 平衡微分方程平衡微分方程思考题思考题 在图中，若点在图中，若点o的的x向正应力分向正应力分量为量为 ，试表，试表示点示点 A,B 的的x向向正应力分量。正应力分量。xxdzdxAdyoyBz6.2 6.2 几何方程及物理方程几何方程及物理方程 空间问题的几何方程，空间问题的几何方程，可以从平面问可以从平面问题推广得出：题推广得出：,xux
7、,yzwvyz),;,(wvuzyx(a),;,(wvuzyx6.2 6.2 几何方程及物理方程几何方程及物理方程 从几何方程同样可得出形变与位移从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系：之间的关系：若位移确定，则形变完全确定。若位移确定，则形变完全确定。从数学上看，由位移函数求导数是从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。完全确定的，故形变完全确定。6.2 6.2 几何方程及物理方程几何方程及物理方程-沿沿x,y,z 向的刚体平移；向的刚体平移；若形变确定，则位移不完全确定。若形变确定，则位移不完全确定。由形变求位移，要通过积分，会出现待定的由形变求位移，要通过积分，会出现
8、待定的函数。若函数。若 ，还存在对应的位，还存在对应的位移分量，为：移分量，为：0yzx),(zyx 0,yzuuzy(,;,).x y z u v w(b)000,wvuzyx,-绕绕x,y,z轴的刚体转动。轴的刚体转动。6.2 6.2 几何方程及物理方程几何方程及物理方程 若在若在 边界上给定了约束位移分量边界上给定了约束位移分量 ，则，则空间问题的位移边界条件为：空间问题的位移边界条件为：uswvu,(),suu(,).u v w(c)6.2 6.2 几何方程及物理方程几何方程及物理方程zyxzyxzzyyxxzyxdddddd)d)(dd)(dd(d1)1)(1)(1(zyx.zyx(
9、d)其中由于小变形假定，略去了形变的其中由于小变形假定，略去了形变的2 2、3 3次幂。次幂。体积应变体积应变定义为：定义为：dvdvvd6.2 6.2 几何方程及物理方程几何方程及物理方程空间问题的物理方程空间问题的物理方程 ),(1zyxxE2(1),yzyzE(x,y,z).(e)可表示为两种形式：可表示为两种形式：6.2 6.2 几何方程及物理方程几何方程及物理方程 应力用应变表示，用于按位移求解方法：应力用应变表示，用于按位移求解方法：),21(1xxE,(1)yzyzE (x,y,z).(f)由物理方程可以导出由物理方程可以导出,21E（g）是第一应力不变量，又称为体积应力。是第一
10、应力不变量，又称为体积应力。21 E-称为体积模量。称为体积模量。6.2 6.2 几何方程及物理方程几何方程及物理方程 空间问题的应力，形变，位移等空间问题的应力，形变，位移等15个未个未知函数，它们都是知函数，它们都是(x,y,z)的函数。这些函数的函数。这些函数在区域在区域V内必须满足内必须满足3个平衡微分方程，个平衡微分方程，6个个几何方程及几何方程及6个物理方程，并在边界上满足个物理方程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。个应力或位移的边界条件。结论：结论：6.2 6.2 几何方程及物理方程几何方程及物理方程思考题思考题 若形变分量为零，若形变分量为零，试导出对应的位移分量。试导
11、出对应的位移分量。,)(0 x,y,zyzx6.3 6.3 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程 采用柱坐标采用柱坐标 表示。表示。(,)z 如果弹性体的几何形状，约束情况和所如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。移也是轴对称的。空间轴对称问题空间轴对称问题 6.3 6.3 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程 对于对于空间轴对称问题：空间轴对称问题：应力中只有应力中只有,zz。0;0;0uzz(a)形变中只有形变中只有,zz位移中只有位移中只有,zuu所有物理量仅为所有物理量仅为(,z,z)的函数。的
12、函数。6.3 6.3 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程而由而由,0F得出为得出为 。0,0,(b)0,0.zzzzZzFfzFfz平衡微分方程：平衡微分方程：6.3 6.3 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程 几何方程：几何方程：其中其中,00zu，几何方程为几何方程为,(c)zzzzuuuzuuz。6.3 6.3 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程物理方程：物理方程：应变用应力表示：应变用应力表示：。，（zzZEzE)1(2),)(1(d)6.3 6.3 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程 应力用应变表示：应力用应变表示：(),),112 (e).2(1)zzEzE
13、，（其中其中。zuuuzz6.3 6.3 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程边界条件：边界条件：一般用柱坐标表示时，边界面均为坐一般用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。标面。所以边界条件也十分简单。在柱坐标中，坐标分量在柱坐标中，坐标分量 的量的量纲、方向性、坐标线的性质不是完全相同纲、方向性、坐标线的性质不是完全相同的。因此，相应的方程不具有对等性。的。因此，相应的方程不具有对等性。z,6.3 6.3 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程思考题思考题 试由空间轴对称问题的基本方程，简试由空间轴对称问题的基本方程，简化导出平面轴对称问题的基本方程。化导出平面轴对
14、称问题的基本方程。6.4 6.4 按位移求解空间问题按位移求解空间问题 1.取取u,v,w为基本未知函数。为基本未知函数。2.将应变用位移来表示将应变用位移来表示，可以引用几，可以引用几何方程。何方程。在直角坐标系中，按位移求解空间问在直角坐标系中，按位移求解空间问题，与平面问题相似，即题，与平面问题相似，即 将应力将应力先用应变表示（应用物理方程），先用应变表示（应用物理方程），再代入几何方程，也用位移来表示：再代入几何方程，也用位移来表示：6.4 6.4 按位移求解空间问题按位移求解空间问题其中体积应变其中体积应变 ,112 (,;,).(a),2 1xyzEuxx y z u v wEw
15、vyz。zwyvxu 3.将式将式(a)代入平衡微分方程，得代入平衡微分方程，得在在V内求解位移的基本方程：内求解位移的基本方程：6.4 6.4 按位移求解空间问题按位移求解空间问题其中拉普拉斯算子其中拉普拉斯算子,0211122xfuxE(,;,).(b)x y z u v w2222222.xyz 6.4 6.4 按位移求解空间问题按位移求解空间问题4.4.将式将式 代入应力边界条件，得用位移表代入应力边界条件，得用位移表示的示的应力边界条件应力边界条件：,11222xsEumvunwulfxxyxz (,;,).x y z u v w(c)(上在s,suu()(d)us在 上(a)位移边
16、界条件仍为位移边界条件仍为:(,;,).x y z u v w6.4 6.4 按位移求解空间问题按位移求解空间问题（2）上的应力边界条件上的应力边界条件(c)；（3）上的位移边界条件上的位移边界条件(d)。sus这些条件也是校核位移是否正确的全部条这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。件。（1）V内的平衡微分方程内的平衡微分方程(b)；归结：归结：按位移求解空间问题，位移按位移求解空间问题，位移 必须满足：必须满足：wvu,6.4 6.4 按位移求解空间问题按位移求解空间问题 在空间问题中，按在空间问题中，按位移位移求解方法求解方法尤为尤为重要：重要：3.近似解法中，按位移法求解得到广泛的近
17、似解法中，按位移法求解得到广泛的 应用。应用。2.未知函数及方程的数目少。而按应力求未知函数及方程的数目少。而按应力求 解时，没有普遍性的应力函数存在。解时，没有普遍性的应力函数存在。1.能适用于各种边界条件。能适用于各种边界条件。6.4 6.4 按位移求解空间问题按位移求解空间问题 按位移求解空间轴对称问题按位移求解空间轴对称问题:在柱坐标在柱坐标 中，可以相似地导出：中，可以相似地导出：位移位移 应满足：应满足：),(zzuu,22210,2 112 (e)10,2(1)12zzuEufEufz（1 1）V内的平衡微分方程，内的平衡微分方程，6.4 6.4 按位移求解空间问题按位移求解空间
18、问题 轴对称的拉普拉斯算子为轴对称的拉普拉斯算子为222221.zSuS其中体积应变其中体积应变;zuuuz（2 2）上的应力边界条件。上的应力边界条件。（3 3）上的位移边界条件。上的位移边界条件。6.4 6.4 按位移求解空间问题按位移求解空间问题1、试导出空间问题中上的应力边界条件试导出空间问题中上的应力边界条件 （式（式（c）。）。2、试导出空间轴对称问题中用位移表示的试导出空间轴对称问题中用位移表示的 平衡微分方程（书中式平衡微分方程（书中式（8-4），并将），并将 上的应力边界条件上的应力边界条件 用位移来用位移来 表示。表示。Sfs)(思考题思考题s6.5 6.5 半空间体受重力
19、及均布压力半空间体受重力及均布压力 设有设有半空间体，受自重体力半空间体，受自重体力 及边界的均布压力及边界的均布压力q。gfz6.5 6.5 半空间体受重力及均布压力半空间体受重力及均布压力 采用采用按位移求解：按位移求解：,0u0,v.(a)ww z 考虑考虑对称性对称性：本题的任何：本题的任何x面和面和y面均面均为对称面，可设为对称面，可设 位移位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界应满足平衡微分方程及边界条件。条件。6.5 6.5 半空间体受重力及均布压力半空间体受重力及均布压力（1）将位移将位移(a)代入平衡微分方程代入平衡微分方程,前两式前两式 自然满足，第三式成为常微分方程，自然
20、满足，第三式成为常微分方程，22221dd0.2 112ddEwwgzz2112.(b)21wzABE 积分两次积分两次,得得6.5 6.5 半空间体受重力及均布压力半空间体受重力及均布压力,1Azgyx,Azgz。0 xyzxyz(c)相应的应力为相应的应力为6.5 6.5 半空间体受重力及均布压力半空间体受重力及均布压力（2）在在z=0=0的负的负z面，应力边界条件面，应力边界条件为为00,0,(d)().zxzyzzzq,1(),(e)0.xyzyzzxxyqgzqgz 由式由式(d)求出求出A，得得应力解应力解为为6.5 6.5 半空间体受重力及均布压力半空间体受重力及均布压力位移解位
21、移解为为2112.(f)21gqwzBEg 0)(hzw其中其中B为为z向向刚体平移，刚体平移，须由约束条件确定。须由约束条件确定。若若z=h为刚性层，则由为刚性层，则由 可以确可以确定定 B。若为半无限大空间体，则没有约束条若为半无限大空间体，则没有约束条件可以确定件可以确定 B；6.5 6.5 半空间体受重力及均布压力半空间体受重力及均布压力 侧面压力与铅直压力之比，称为侧面压力与铅直压力之比，称为侧压侧压力系数力系数。即。即。1zyzx(g)6.5 6.5 半空间体受重力及均布压力半空间体受重力及均布压力 当当 时，时，侧向变形最侧向变形最大，侧向压力也最大大，侧向压力也最大,说明物体的
22、刚度极说明物体的刚度极小，接近于流体。小，接近于流体。当当 时，正应力不引起侧向变形。时，正应力不引起侧向变形。说明物体的刚度极大，接近于刚体。说明物体的刚度极大，接近于刚体。21。zyx0讨论：讨论：6.5 6.5 半空间体受重力及均布压力半空间体受重力及均布压力思考题思考题1、如果图如果图中中的问题改为平面应力问题，的问题改为平面应力问题，或平面应变问题，试考虑应如何按位或平面应变问题，试考虑应如何按位 移求解移求解？6.6 6.6 半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力本题为本题为空间轴对称问题。空间轴对称问题。应用柱坐标求解，应用柱坐标求解，位移位移 而而 和和 应满
23、足应满足:,0u uzu设有设有半空间体半空间体,在在o点受有法向集中力点受有法向集中力F。6.6 6.6 半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力（1）平衡微分方程平衡微分方程（书中（书中（8-4）22210,1 2 (a)10,1 2zuuuz.zuuuz其中其中6.6 6.6 半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力（2）在在 z=0 的边界上，除原点的边界上，除原点o以外的应力以外的应力 边界条件为边界条件为。00,0zz,00,0zz,0zF;0d20Fzzz(c)(b)（3）由于）由于 z=0 边界上边界上o点有集中力点有集中力F的作用，的作用，取出
24、取出 z=0至至 z=z的平板脱离体的平板脱离体，应用圣，应用圣 维南原理，考虑此脱离体的维南原理，考虑此脱离体的平衡条件：平衡条件：6.6 6.6 半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力,21212zRRzERFu;122122RzERFuz 布西内斯克布西内斯克得出满足上述全部条件的得出满足上述全部条件的解答解答为为(d)由于轴对称，其余的由于轴对称，其余的5个平衡条件均为个平衡条件均为自然满足。自然满足。6.6 6.6 半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力,3212322RzzRRRF,221zRRRzRF,2353RFzz253,2zFzR 122
25、2.Rz其中其中(e)（2）水平截面上的应力）水平截面上的应力 与弹性常与弹性常 数无关。数无关。（1）当）当 当当6.6 6.6 半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力 应力特征：应力特征：;0,应力R。应力,0Rzz 和201.(f)zzFuE（3）水平截面上的全应力，指向）水平截面上的全应力，指向F作用点作用点O。边界面上任一点边界面上任一点的的沉陷：沉陷：6.6 6.6 半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力 若单位力均匀分布在若单位力均匀分布在 的矩形面积上，的矩形面积上，其沉陷解为：其沉陷解为：将将F代之为代之为 ，对，对 积分，便得到书上公式。
26、积分，便得到书上公式。baybaFdd1dy,6.7 6.7 按应力求解空间问题按应力求解空间问题 按应力求解空间问题的方法：按应力求解空间问题的方法：形变可以通过物理方程用应力表示。位形变可以通过物理方程用应力表示。位移要通过对几何方程的积分，才能用形变或移要通过对几何方程的积分，才能用形变或应力表示，其中会出现待定的积分函数。应力表示，其中会出现待定的积分函数。2.其他未知函数用应力表示其他未知函数用应力表示:1.取取x yz为基本未知函数为基本未知函数。6.7 6.7 按应力求解空间问题按应力求解空间问题 因此因此,位移边界条件等用应力表示时，位移边界条件等用应力表示时，既复杂又难以求解
27、。所以既复杂又难以求解。所以按应力求解按应力求解通常通常只解只解 全部为全部为 应力边界条件应力边界条件 的问题的问题().SS6.7 6.7 按应力求解空间问题按应力求解空间问题3.在在V内导出求应力的方程内导出求应力的方程:;,222222222222222yxxyxzzxzyyzxyyxzxxzyzyz.2,2,2222yxyxzzxzxzyyzyzyxxzzxyzxyyyzxyzxxxyzxyz从几何方程消去位移，导出从几何方程消去位移，导出6个相容方程：个相容方程：（2）相容方程（相容方程（6个）个）:（1）平衡微分方程（平衡微分方程（3个）。个）。6.7 6.7 按应力求解空间问题
28、按应力求解空间问题 再代入物理方程，导出用应力表示的再代入物理方程，导出用应力表示的相容方程。相容方程。(书中（书中（8-12）。）。4.假设全部为应力边界条件假设全部为应力边界条件，在，在 上，应满足书中式（上，应满足书中式（7-5）。）。SS 6.7 6.7 按应力求解空间问题按应力求解空间问题（1）V内的内的3个平衡微分方程；个平衡微分方程；SS 其中：其中：(1),(3)是静力平衡条件；是静力平衡条件；(2),(4)是位移连续条件。是位移连续条件。按应力求解归纳为按应力求解归纳为,应力分量应满足：应力分量应满足：（4）对于多连体，还应满足位移单值条件。）对于多连体，还应满足位移单值条件
29、。（3）上的上的3个应力边界条件（假设个应力边界条件（假设 全部为应力边界条件）；全部为应力边界条件）；（2）V内的内的6个相容方程；个相容方程；6.7 6.7 按应力求解空间问题按应力求解空间问题（2）形变满足相容方程形变满足相容方程 ,对应的位移存对应的位移存 在且连续物体保持连续；在且连续物体保持连续；形变不满足相容方程形变不满足相容方程,对应的位移对应的位移 不不存在存在,物体不保持连续物体不保持连续。（1）物体满足连续性条件物体满足连续性条件,导出形变和导出形变和 位移之间的几何方程位移之间的几何方程,导出相容方程导出相容方程。对于对于相容方程相容方程说明如下：说明如下：所以所以相容
30、方程是位移的连续性条件。相容方程是位移的连续性条件。6.7 6.7 按应力求解空间问题按应力求解空间问题（3）相容方程的导出及对相容方程的导出及对(2)的证明，可参见的证明，可参见 有关书籍有关书籍。22d0,(a)dffABxx的解,323d0.(b)dffABxcxx的解,例如例如：（4）相容方程必须为相容方程必须为6个。相容方程和平衡微个。相容方程和平衡微 分方程的数目大于未知函数的数目，是分方程的数目大于未知函数的数目，是 由于微分方程提高阶数所需要的。由于微分方程提高阶数所需要的。6.7 6.7 按应力求解空间问题按应力求解空间问题式式 是由方程是由方程 提高阶数得出的，但式提高阶数
31、得出的，但式 增加的解增加的解 不是原式不是原式 的解。的解。2cx(b)(a)(b)(a)几何几何 方程中，形变为方程中，形变为 0 阶导数；但在阶导数；但在相容方程中形变以相容方程中形变以 2 阶导数出现。因为微阶导数出现。因为微分方程提高阶数会增加解答，所以增加的分方程提高阶数会增加解答，所以增加的方程数目正好用来消去增加的解答。方程数目正好用来消去增加的解答。6.7 6.7 按应力求解空间问题按应力求解空间问题 在按应力求解空间问题中，力学家提在按应力求解空间问题中，力学家提出了几种应力函数出了几种应力函数，用来表示应力并简化，用来表示应力并简化求解的方程。求解的方程。应用这些应力函数
32、，也已求出了一些应用这些应力函数，也已求出了一些空问题之解。但这些应力函数不具有普遍空问题之解。但这些应力函数不具有普遍性（不是普遍存在的）。性（不是普遍存在的）。例题1例题2例题3例题4例题例题 1 1设物体的边界面方程为设物体的边界面方程为 试求出边界面的应力边界条件；若试求出边界面的应力边界条件；若面力为法向的分布拉力面力为法向的分布拉力 应力应力边界条件是什么形式？边界条件是什么形式？,0),(zyxF),(zyxq,/kFnxx（x,y,z)，其中其中1/2222,.xxyzFFxkFFF 解解：当物体的边界面方程为当物体的边界面方程为时，它的表面法线的方向余弦时，它的表面法线的方向
33、余弦 为为zyxnnn,0),(zyxF当面力为法向分布拉力当面力为法向分布拉力q时，时，,xflq(x,y,z).因此，应力边界条件为因此，应力边界条件为,().xxyxyzzxxsFFFF qx,y,z代入应力边界条件，得代入应力边界条件，得,xxyyxzzxsxF F F kf(x,y,z).例题例题2 2 试求图示空间弹性体中的应力分量。试求图示空间弹性体中的应力分量。(a)(a)正六面体弹性体置于刚体中，上边正六面体弹性体置于刚体中，上边界受均布压力界受均布压力q q作用，设刚性体与弹性体之作用，设刚性体与弹性体之间无摩擦力。间无摩擦力。(b)(b)半无限大空间体，其表面受均布压半无
34、限大空间体，其表面受均布压力力q的作用。的作用。qqooxxzz解：解：图示的图示的(a),(),(b)两问题是相同的应力两问题是相同的应力状态：状态：x向与向与y向的应力、应变和位移都是向的应力、应变和位移都是相同的，即等。相同的，即等。yx 0yx0yx对于对于(a)，有约束条件；，有约束条件；对于对于(b)，有对称条件。，有对称条件。则可解出：则可解出：,0)(1,0)(1zxyyzyxxEE.11qzyx而两者的，因此，由物理方程：而两者的，因此，由物理方程：qz例题例题 图示的弹性体为图示的弹性体为一长柱形体，在顶面一长柱形体，在顶面 z=0 z=0 上有一集中力上有一集中力 F 作
35、用于角点，试写作用于角点，试写出出z=0 z=0 表面上的边界表面上的边界条件。条件。xyobbaaz图图7-5P解解：本题是空间问题，本题是空间问题，z=0 z=0 的表面是小边的表面是小边 界，可以应用界，可以应用圣维南原理圣维南原理列出应力的边界列出应力的边界条件。即在条件。即在z=0z=0的表面边界上，使应力的主的表面边界上，使应力的主矢量和主矩，分别等于面力的主矢量和主矢量和主矩，分别等于面力的主矢量和主矩，两者数值相等，方向一致。矩，两者数值相等，方向一致。由于面力的主矢量和主矩是给定的，由于面力的主矢量和主矩是给定的，因此，应力的主矢量和主矩的数值，应等因此，应力的主矢量和主矩的
36、数值，应等于面力的主矢量和主矩的数值；于面力的主矢量和主矩的数值；而面力主矢量和主矩的方向，就是而面力主矢量和主矩的方向，就是应力主矢量和主矩的方向。应力主矢量应力主矢量和主矩的方向。应力主矢量和主矩的正负号和正负方向，则根据应和主矩的正负号和正负方向，则根据应力的正负号和正负方向来确定。力的正负号和正负方向来确定。对于一般的空间问题，列积分的应力对于一般的空间问题，列积分的应力边界条件时，应包括边界条件时，应包括6个条件。对于图示个条件。对于图示问题这问题这6个积分的边界条件是：个积分的边界条件是：.0dd)()(:,dd)(:,dd)(:;dd)(:,0dd)(:,0dd)(:000000
37、0 yxyxMFayxxMFbyxyMFyxFyxFyxFzzxzaabbzyzzaabbzyzaabbzxzaabbzzzaabbzyyzaabbzxx例题例题4 平面应力解答的近似性平面应力解答的近似性试从空间试从空间问题按应力求解的方法，来导出和考察平问题按应力求解的方法，来导出和考察平面应变问题和平面应力问题的基本理论。面应变问题和平面应力问题的基本理论。解解：（1）对于）对于平面应变问题平面应变问题，在常截面的，在常截面的很长柱体（可以假设为无限长），只有很长柱体（可以假设为无限长），只有x,y方向的体力、面力和约束且沿方向的体力、面力和约束且沿z方向不变的方向不变的条件下，由于任一
38、横截面（条件下，由于任一横截面（z面）均为对称面）均为对称面，可以推论出，面，可以推论出，从式从式 可以得出，可以得出，在式在式 中，中，表示等式左边的表示等式左边的物理量仅为物理量仅为 x,y 的函数。的函数。0,0,(,).zzxzyxyxyf x y (b)(a)(b)、。),()(),(,yxfyxfyxzxyyx(c)(a)(b)(c)、),(yxf);,(,0yxfvuw(a)将式将式 代入空间问题的平衡代入空间问题的平衡微分方程、相容方程、应力和位移边界微分方程、相容方程、应力和位移边界条件，可以得出平面应变问题的全部方条件，可以得出平面应变问题的全部方程和条件，而其余的方程和条
39、件均为自程和条件，而其余的方程和条件均为自然满足。例如，将式然满足。例如，将式 代入空间问题的代入空间问题的相容方程（书中式（相容方程（书中式（8-10）、（）、（8-11）得出得出(a)(b)(c)、(b),22222yxxyxyyx(d)而其余而其余5式全部自然满足。式全部自然满足。因此，因此，从空间问题的基本理论，可从空间问题的基本理论，可以导出平面应变问题的理论。以导出平面应变问题的理论。（2）对于）对于平面应力问题平面应力问题，在很薄的，在很薄的板中板中,只受只受 x,y 方向的体力、面力和约束，方向的体力、面力和约束，且不沿板厚方向（且不沿板厚方向（z向）变化；又在板面向）变化；又
40、在板面上无任何面力的条件下，由上无任何面力的条件下，由板面的边界板面的边界条件条件,0),(2zzyzxz及及板很薄的条件，假设在弹性体内板很薄的条件，假设在弹性体内因此，只有平面应力因此，只有平面应力 和和 存在；并存在；并进一步假设进一步假设这就是平面应力问题。由上两式，还可得出这就是平面应力问题。由上两式，还可得出(,)0,zzxzyyx,xy(,)(,).xyxyf x y(e)(f),(),(yxfxyyx(g)()(,).zxyf x yE 将式将式 代入空间问题的相容方程代入空间问题的相容方程（书中式（书中式 ），除了得出式），除了得出式 外，还得出外，还得出(e)(f)(g)、)118()108(、(d)222220,0,0.zzzyxx y(h)在一般的情况下，由式在一般的情况下，由式 得出的得出的 显然不能满足相容方程显然不能满足相容方程 。由此可见，由此可见，平面应力问题的假设平面应力问题的假设 不能保证不能保证所有的相容条件都得到满足所有的相容条件都得到满足。因此，平面。因此，平面应力问题的理论是近似的。应力问题的理论是近似的。(g),(yxfz(h),(),(,0(yxfxyyxzyzxz
