1、 丰台区 2019 年高三年级第二学期综合练习（一） 理科数学 2019. 03 （本试卷满分共 150 分，考试时间 120 分钟） 注意事项： 1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字 迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴 区”贴好条形码。 2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式 将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须 使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。 3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写
2、的答案无效， 在试卷、草稿纸上答题无效。 4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。 1复数 1 1i z 的共轭复数是 （A） 11 i 22 （B） 11 i 22 （C）1i （D）1 i 2已知集合 2,3,1A ，集合 2 3,Bm若BA，则实数的取值集合为 （A）1 （B） 3 （C）1, 1 （D） 3,3 3设命题 p： (0,),ln1xxx ，则 p 为 （A） (0,) ,ln1xxx （B） 000 (0,),l
3、n1xxx （C） (0,), ln1xxx （D） 000 (0,),ln1xxx 4执行如图所示的程序框图，如果输入的1a，输出的 15S ，那么判断框内的条件可以为 （A）6k （B）6k （C）6k （D）7k 5下列函数中，同时满足：图象关于y轴对称； 1212 ,(0,)()x xxx ， 21 21 ()( ) 0 f xf x xx 的是 （A） 1 ( )f xx （B） 2 ( )log |f xx （C） ( )cosf xx （D） 1 ( )2xf x 6 已知和是两个不同平面， l，1 2 l l ,是与l不同的两条直线， 且 1 l ，2l ，1 2 ll， 那么
4、下列命题正确的是 （A）l与 12 ,l l都不相交 （B）l与 12 ,l l都相交 （C）l恰与 12 ,l l中的一条相交 （D）l至少与 12 ,l l中的一条相交 7已知 12 ,F F为椭圆 22 2 1 2 xy M m ：和双曲线 2 2 2 1 x Ny n ：的公共焦点，P为它们的一个公共点， 且 112 PFFF，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为 （A）2 （B）1 （C） 2 2 （D） 1 2 8在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多 边形为格点多边形若ABC是格点三角形，其中 (0,0)A, (4,0)B ，且面积为 8，
5、则该三角形 边界上的格点个数不可能为 （A）6 （B）8 （C）10 （D）12 a=-a 开始开始 输入输入a 结束结束 输出输出S 否否 是是 k=k+1 S=S+ak2 k=1, S=0 第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9已知平面向量(13)，a，( 2,)m b，且ab，那么m_ 10从 4名男生、2名女生中选派 3人参加社区服务如果要求恰有 1名女生，那么不同的选派 方案种数为_ 11 直线 1ykx 与圆 2cos , 32sin x y （为参数） 相交于,M N两点 若| 2 3MN ， 则k _ 12若ABC的面
6、积为2 3，且 3 A ，则AB AC _ 13已知函数( )cos(2)( 0) 2 f xx 函数 ( )f x的最小正周期为_； 若函数 ( )f x在区间 4 , 33 上有且只有三个零点，则的值是_ 14已知数列 n a 对任意的 * nN，都有 * n a N，且 1 31, , 2 nn n n n aa a a a ，为奇数 为偶数. 当 1 8a 时， 2019 a_； 若存在 * mN，当n m 且 n a为奇数时， n a恒为常数p，则p _ 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15（本小题 13分） 已知函数 2 ( )cos
7、(2)2sin() 3 f xxxa a R，且( )0 3 f . （）求a的值； （）若 ( )f x 在区间0, m上是单调函数，求m的最大值. 16（本小题 13分） 随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争吸引、 留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务在此背景下，某信息网站在 15 个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示 （）若某大学毕业生从这 15 座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪 资高于 8500 元的城市的概率； （）现有 2 名大学毕业生在这 15 座城市中各随机选择一
8、座城市就业，且 2 人的选择相互 独立记X为选中月平均收入薪资高于 8500 元的城市的人数，求X的分布列和数学期望()E X； （） 记图中月平均收入薪资对应数据的方差为 2 1 s， 月平均期望薪资对应数据的方差为 2 2 s， 判断 2 1 s与 2 2 s的大小（只需写出结论） 17（本小题 14 分） 如图，四棱柱 1111 ABCDA BC D中，底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC，平面 ABCD平面 11 ABB A， 1 60BAA， 1 =2=22AB AABCCD （）求证： 1 BCAA ； （）求二面角 1 DAAB的余弦值； （）在线段 1 DB上是否存在点M
9、，使得CM平面 1 DAA？若存在，求 1 DM DB 的值；若不存在，请说明理由 M C D B A 1 1 1 1 C D B A 18（本小题 13 分） 已知函数 32 11 ( )(2)e 32 x f xxaxax. （）当0a时，求函数( )f x的单调区间； （）当ea时，求证：1x是函数( )f x的极小值点. 19（本小题 14 分） 已知抛物线 2 :2C ypx过点(2,2)M，, A B是抛物线C上不同两点， 且AB OM（其中O是 坐标原点），直线AO与BM交于点P，线段AB的中点为Q. （）求抛物线C的准线方程； （）求证：直线PQ与x轴平行. 20（本小题 13
10、 分） 设 * nN且2n，集合 1211 ( ,) | 1,| 2|(1,2,1) nnii Sx xxxxxin . （）写出集合 2 S中的所有元素； （）设 12 (,) n a aa ， 12 ( ,) n b bb n S，证明：“ 11 nn ii ii ab ”的充要条件 是“(1,2,3, ) ii ab in”； （）设集合 12 1 |( ,) n ninn i Txx xxS ，求 n T中所有正数之和. （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 丰台区丰台区 20182019 学年度第二学期学年度第二学期综合练习（一）综合练习（一） 高三高三数学（理科）答案数
11、学（理科）答案 201920190303 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D A B A B C 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。有两空的小题，第一空分。有两空的小题，第一空 3 分，第二空分，第二空 2 分）分） 9 6 1012 11 3 12 4 13； 6 142；1 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 80 分）分） 15.（共 13 分） 解：（） 2 ( )cos(2)2sin 3 f xxxa
12、13 cos2sin2cos21 22 xxxa 33 cos2sin21 22 xxa 31 3(cos2sin2 )1 22 xxa 3sin(2)1 3 xa . 因为 ( )0 3 f , 所以 1a . （）解法 1：因为 函数sinyx的增区间为 2 ,2 , 22 kkkZ. 由 2 22 232 kxk，kZ， 所以 5 1212 kxk，kZ. 所以 函数( )f x的单调递增区间为 5 , 1212 kk，kZ. 因为 函数 ( )f x 在0, m上是单调函数， 所以 m的最大值为 12 . 解法 2：因为 0, xm ， 所以 22 333 xm . 因为 , 2 2
13、是函数 sinyx 的增区间， 所以 2 32 m . 所以 12 m. 所以 m的最大值为12 . 16（共 13 分） 解：（）设该生选中月平均收入薪资高于 8500 元的城市为事件 A. 因为 15 座城市中月平均收入薪资高于 8500 元的有 6 个， 所以 2 ( ) 5 P A . （）由（）知选中平均薪资高于 8500 元的城市的概率为 2 5 ，低于 8500 元的概率 为 3 5 ， 所以X 2 (2, ) 5 B. 2 39 (0)( ) 525 P X ； 1 2 2312 (1) 5525 P XC ； 22 2 24 (2)( ) 525 P XC. 所以随机变量X的
14、分布列为： P 0 1 2 X 9 25 12 25 4 25 所以X的数学期望为 24 ()2 55 E X . （） 22 12 ss . 17.（共 14 分） 解：（）因为 平面ABCD 平面 11 ABB A，平面ABCD 平面 11 ABB A AB，ABBC ， BC 平面ABCD ， 所以 BC 平面 11 ABB A. 因为 1 AA 平面 11 ABB A ， 所以 1 BCAA. （）取 11 AB的中点N，连结BN. 平行四边形 11 ABB A中 1 ABAA ， 1 60BAA .易证 BN 11 AB. 由（）知BC 平面 11 ABB A. 故以为B原点，BAB
15、NBC，所在直线为坐标轴， 建立如图所示空间直角坐标系B xyz. 依题意， 1 (2,0,0),(1, 3,0),(1,0,1)AAD ， 设平面 1 DAA的一个法向量为( , , )x y zn 则 1 ( 13,0AA ， ，），( 1,0,1)AD 则 1 0 0 AA AD n n ， 即 30 0 xy xz ， 令 =1y ，得= ( 3,1, 3)n 易知平面 11 ABB A的一个法向量为= (0,0,1)m ， N z y x M C D B A 1 1 1 1 C D B A 设二面角 1 DAAB 的平面角为，可知为锐角， 则 321 coscos, 7313 n m
16、 n m nm ， 即二面角 1 DAAB 的余弦值为 21 7 （）解：设 1 DMDB，0,1，(, )M x y z, 因为 (1,0,1)D ， 1( 1, 3,0) B ，(0,0,1)C ， 所以 1 ( 2, 3, 1),(1, ,1)DBDMxy z 所以12 ,3 ,1xyz . (12 , 3 ,1)M (12 , 3 ,)CM 因为CM平面 1 DAA 所以0CM=n 即3(12 )330，所以 1 = 2 所以存在点M，使得CM平面 1 DAA，此时 1 1 2 DM DB 18.（共 13 分） 解：（）因为0a ， Rx 所以( )(2)e x f xx ， 故(
17、)(1)e x fxx ， 令 ( )0fx ，得 1x ，所以单调递增区间为(1, ) ； 令 ( )0fx ，得 1x ，所以单调递区间为( ,1) （）由题可得( )(1)(e) x fxxax. 当0a时，对任意 (0,+)x ，都有e0 x ax恒成立， 所以当0 1x 时， ( )0fx ；当 1x 时，( )0fx . 所以函数 ( )f x 在 1x 处取得极小值，符合题意. 当0ea时，设g( ) = exxax，依然取 (0,+)x. 则g( ) = e x xa，令g ( ) = 0 x ，得= lnxa ， 所以g( ) x 在(0,ln ) a 上单调递减，在区间(l
18、n , )a 上单调递增， 所以 min g( )(ln )(1ln )xgaaa. 因为0ea，所以 min ( )(1ln )0g xaa （当且仅当 =ea 时，等号成立，此时 1x ）. 所以对任意 (0,1)(1,)x，都有e 0 x ax恒成立. 所以当0 1x 时， ( )0fx ；当 1x 时，( )0fx . 所以函数 ( )f x 在 1x 处取得极小值，符合题意. 综上可知：当ea时1x是函数 ( )f x的极小值点. 19（共 14 分） 解：（）由题意得 2 2 =4p ，解得1p 所以抛物线 C 的准线方程为 1 22 p x （）设 22 12 12 , 22 y
19、y AyBy ， 由AB OM得1 ABOM kk，则 21 22 2121 2 1 22 yy yyyy ，所以 21 2yy 所以线段AB中点Q的为纵坐标1 Q y 直线 AO 方程为 1 2 11 2 2 y yxx yy 直线 BM 方程为 2 2 22 22 222 2 2 2 y yxx yy 联立解得 1 2 1 y x y ，即点P的为纵坐标1 P y 如果直线 BM 斜率不存在，结论也显然成立 所以直线PQ与x轴平行 20（共 13 分） 解：（）因为 1 | 1x ，所以 2 | 2x ， 所以 2 S中的元素有(1,2),(1, 2),( 1,2),( 1, 2) . （
20、）先证充分性 因为对于任意的1,2,3, in，都有 ii ab，所以 11 nn ii ii ab 再证必要性 因为 11 | 1,| 2| ii xxx ，所以数列| i x是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 1 |2i i x 假设存在2,3, jn，使得| | jj ab 所以 jj ab或 jj ab 若 jj ab ，不妨设0 j a ，则0 j b ， 因为 11 | | |1ab， 111 -11 11 12 |21 | 2 12 jjj jj iij ii xxx 所以 1 0 j i i a ， 1 0 j i i b ，这与 11 jj ii ii ab 矛盾
21、 所以 jj ab 当 2j 时，必有 11 ab 所以 对于任意1,2,3, in，都有 ii ab 综上所述， “ 11 nn ii ii ab ”的充要条件是“ ii ab(1,2,3, )in” （）因为 1 11 -11 11 12 |21 | 2 12 n nn nn iin ii xxx ， 所以 1 n i i x 为正数，当且仅当0 n x 因为 对于任意的正整数kn， 1 2k k x 或 1 2k，所以集合 n T中，元素为正数 的个数为 1111 222 1 2n n C CC 个 ， 所以 所有的正数元素的和为 1111 2224 nnnn n x . （若用其他方法解题，请酌情给分）
