1、2023年6月15日星期四第二章第二章 平面向量平面向量2.4 平面向量的数量积平面向量的数量积2.2.4 4.1.1 平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义2.2.4 4.2.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2023年6月15日星期四2.4.1 2.4.1 平面向量数量积平面向量数量积的物理背景及其含义的物理背景及其含义2023年6月15日星期四思思 考考 1.1.向量的模和夹角分别是什么概念？向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为当两个向量的夹角分别为0 0，9090，180180时，这两个向量的位置关系如何？
2、时，这两个向量的位置关系如何？2023年6月15日星期四思思 考考 2.2.任意两个向量都可以进行加、减运算，任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析算呢？对此，我们从理论上进行相应分析.向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月1
3、5日星期四 探探 究究平面向量数量积的背景与含义平面向量数量积的背景与含义 W|F|s|cos 1.1.如图，一个物体在力如图，一个物体在力F F的作用下产的作用下产生位移生位移s,且力且力F F与位移与位移s的夹角为的夹角为，那么力那么力F所做的功所做的功W W是多少？是多少？sF向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究平面向量数量积的背景与含义平面向量数量积的背景与含义 2.2.功是一个标量功是一个标量,它由力和位移两个它由力和位移两个向量所确定向量所确定,数学上，我们把数学上，我们把“功功”称为向量称为向量F与与s“数量积数量积”
4、.一般地，一般地，对于非零向量对于非零向量a与与b的数量积是指什么的数量积是指什么？向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究平面向量数量积的背景与含义平面向量数量积的背景与含义 3.对于两个非零向量对于两个非零向量a与与b，设其夹，设其夹角为角为，把，把|a|b|cos叫做叫做a与与b的数量的数量积（或内积），记作积（或内积），记作ab，即，即ab=|a|b|cos.那么那么ab的运算结果是的运算结果是向量还是数量？向量还是数量？向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究平面向量数
5、量积的背景与含义平面向量数量积的背景与含义 4.特别地，零向量与任一向量的数特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？量积是多少？0a=0=0向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究平面向量数量积的背景与含义平面向量数量积的背景与含义 5.对于两个非零向量对于两个非零向量a与与b，其数量积，其数量积ab何何时为正数？何时为负数？何时为零？时为正数？何时为负数？何时为零？ab=|a|b|coscos当当0 09090时，时，ab0 0；当当9090180180时，时，ab0 0；当当9090时，时，ab0.0.向量的数量积免费下载人教B版1
6、向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究平面向量数量积的背景与含义平面向量数量积的背景与含义 6.对于两个非零向对于两个非零向量量a与与b，设其夹角，设其夹角为为，那么，那么|a|cos的的几何意义如何？几何意义如何？ab bO OA AB BA A1 1|a|cos|cos向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究平面向量数量积的背景与含义平面向量数量积的背景与含义 7.对于两个非零向量对于两个非零向量a与与b，设其夹角为，设其夹角为，|a|cos叫做向量叫做向量a在在b方向上的投影方向上的投影.那那么该投影
7、一定是正数吗？向量么该投影一定是正数吗？向量b在在a方向方向上的投影是什么？上的投影是什么？不一定；不一定；|b|cos.向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究平面向量数量积的背景与含义平面向量数量积的背景与含义 8.根据投影的概念根据投影的概念,数量积数量积ab=|a|b|cos的几何意义如何？的几何意义如何？数量积数量积ab等于等于a的模与的模与b在在a方向上的投影方向上的投影|b|cos的乘积，或等于的乘积，或等于b的模与的模与a在在b方向上的方向上的投影投影|a|cos的乘积的乘积.向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免
8、费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究平面向量数量积的运算性质平面向量数量积的运算性质1.设设a与与b都是非零向量，若都是非零向量，若ab，则则ab等于多少？反之成立吗？等于多少？反之成立吗？abab0向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究平面向量数量积的运算性质平面向量数量积的运算性质2.当当a与与b同向时，同向时，ab等于什么？当等于什么？当a与与b反向反向时，时，ab等于什么？特别地，等于什么？特别地，aa等于什么？等于什么？当当a与与b同向时，同向时，ab|a|b|；当当a与与b反向时，反向时，ab|a|b|；
9、aaa2|a|2 或或|a|.a a向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究平面向量数量积的运算性质平面向量数量积的运算性质3.|ab|与与|a|b|的大小关系如何？为的大小关系如何？为什么？什么？|ab|a|b|向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究平面向量数量积的运算性质平面向量数量积的运算性质4.ab与与ba是什么关系？为什么？是什么关系？为什么？abba 向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究平面向量数量积的运
10、算性质平面向量数量积的运算性质5.对于实数对于实数，(a)b有意义吗？它有意义吗？它可以转化为哪些运算？可以转化为哪些运算？(a)b(ab)a(b)向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究平面向量数量积的运算性质平面向量数量积的运算性质7.对于非零向量对于非零向量a，b，c，(ab)c有意义吗？有意义吗？(ab)c与与a(bc)相等吗相等吗？为什么？为什么？(ab)ca(bc)向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究平面向量数量积的运算性质平面向量数量积的运算性质6.对于向量对于
11、向量a,b,c,(ab)c有意义吗？有意义吗？它与它与acbc相等吗？相等吗？为什么？为什么？A1B1ABOCabcab12向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究平面向量数量积的运算性质平面向量数量积的运算性质8.对于非零向量对于非零向量a，b，c，若，若abac，那么，那么 bc吗？吗？向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究平面向量数量积的运算性质平面向量数量积的运算性质9.对于向量对于向量a，b，等式，等式(ab)2 a22abb2和和(ab)(ab)a2b2是否成立？为
12、什么？是否成立？为什么？向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究平面向量数量积的运算性质平面向量数量积的运算性质10.对于向量对于向量a，b，如何求它们的，如何求它们的夹角夹角？cos|a ba b向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四例例1 1 已知已知|a|5,|b|4,a与与b的夹角为的夹角为120120,求求ab.1010 例例2 2 已知已知|a|6,6,|b|4,4,a与与b的夹角为的夹角为6060,求求(a2b)(a3b).72 72 例例3 3 已知已知|a|3,3,|b|
13、4,4,且且a与与b不共线不共线.求当求当k为何值时，向量为何值时，向量akb与与 akb互相垂直？互相垂直？34例例 题题向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四小小 结结1.1.向量的数量积是一种向量的乘法运算，它向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量是，数量积的运算结果是数量而不是向量
14、.向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四小小 结结2.2.实数的运算性质与向量的运算性质不实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非完全一致，应用时不要似是而非.3.3.利用利用a 可以求向量的模，可以求向量的模，在字符运算中是一种常用方法在字符运算中是一种常用方法.a a向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四4.4.利用向量的数量积可以解决有关平行、利用向量的数量积可以解决有关平行、垂直、夹角、距离、不等式等问题，它是垂直、夹角、距离、不等式等问题，它是一个工具性知识点，具有很强
15、的功能作用一个工具性知识点，具有很强的功能作用.小小 结结向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四作作 业业P.108 P.108 习题习题2.4A2.4A组组1 1，2 2，3 3，6 6，7 7，8.8.固学案相关内容固学案相关内容.向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四2.4.2 2.4.2 平面向量数量积平面向量数量积的坐标表示、模、夹角的坐标表示、模、夹角向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四思思 考考 1.1.向量向量a与与b的数量积的含义是
16、什么？的数量积的含义是什么？ab=|a|b|cos.其中其中为向量为向量a与与b的夹角的夹角向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四思思 考考 2.2.向量的数量积具有哪些运算性质？向量的数量积具有哪些运算性质？（1）abab0(a0，b0)；（2）a2|a|2；（3）abba；（4）(a)b(ab)a(b)；（5）(ab)cacbc；（6）|ab|a|b|.向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四思思 考考3.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形
17、式不同，对其运算的表示方式也会改变示形式不同，对其运算的表示方式也会改变.向量的向量的坐标表示，对向量的加、减、数乘运算带来了很大的坐标表示，对向量的加、减、数乘运算带来了很大的方便方便.若已知向量若已知向量a与与b的坐标，则其数量积是唯一确的坐标，则其数量积是唯一确定的，因此，如何用坐标表示向量的数量积就成为我定的，因此，如何用坐标表示向量的数量积就成为我们需要研究的课题们需要研究的课题.向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究面向量数量积的坐标表示面向量数量积的坐标表示1.设设i、j是分别与是分别与x轴、轴、y轴同向的两个单位向轴同
18、向的两个单位向量，若两个非零向量量，若两个非零向量a(x1，y1),b(x2，y2)，则向量则向量a与与b用用i、j分别如何表示？分别如何表示？ax1iy1j，bx2iy2 j.向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究面向量数量积的坐标表示2.对于上述向量对于上述向量i、j，则，则i2，j2，ij分分别等于什么？别等于什么？i2=1 1，j2=1 1，ij=0.向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究面向量数量积的坐标表示3.根据数量积的运算性质，根据数量积的运算性质，ab等于等
19、于什么？什么？abx1x2y1y2 向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究面向量数量积的坐标表示4.若若a(x1，y1),b(x2，y2),则则abx1x2y1y2，这就是平面向量数量积的坐标表示这就是平面向量数量积的坐标表示.你能用文字你能用文字描述这一结论吗？描述这一结论吗？两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究面向量数量积的坐标表示5.如何利用数量积的坐标表示证明如何利用数量积的坐标表
20、示证明(ab)cacbc？向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究向量的模和夹角的坐标表示向量的模和夹角的坐标表示1.设向量设向量a(x，y)，利用数量积的，利用数量积的坐标表示，坐标表示，|a|等于什么？等于什么？|a|22xy=+向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究向量的模和夹角的坐标表示向量的模和夹角的坐标表示2.如果表示向量如果表示向量a的有向线段的起点和终点的的有向线段的起点和终点的坐标分别为坐标分别为(x1，y1),(x2，y2)，那么向量，那么向量a的坐的坐标如
21、何表示？标如何表示？|a|等于什么？等于什么？a(x2x1，y2y1)；|a|222121()()xxyy向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究向量的模和夹角的坐标表示向量的模和夹角的坐标表示3.设向量设向量a(x1，y1),b(x2，y2)，若若ab，则，则x1，y1，x2，y2之间的关之间的关系如何？反之成立吗？系如何？反之成立吗？ab x1x2y1y20.向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四 探探 究究向量的模和夹角的坐标表示向量的模和夹角的坐标表示4.设设a、b是两个非零向量，
22、其夹角为是两个非零向量，其夹角为，若若a(x1，y1),b(x2，y2)，那么，那么cos如何如何用坐标表示？用坐标表示？121222221122cosx xy ya ba bxyxy向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四例例 题题例例1 1 已知向量已知向量a(4(4，3),3),b(1 1，2),2),求求:(1)(1)ab；(2)(2)(a2b)(ab)；(3)|(3)|a|2 24 4ab.(1)2(1)2；（；（2 2）1717；（；（3 3）3.3.向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四
23、例例 题题例例2 2 已知点已知点A A（1 1，2 2）,B,B（2 2，3 3）,C(C(2 2，5)5)，试判断，试判断ABCABC的形状，的形状，并给出证明并给出证明.ABCABC是直角三角形是直角三角形 向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四例例 题题例例3 已知向量已知向量a(5,7)，b(6,4)，求向量求向量a 与与b的夹角的夹角（精确到（精确到1）.cos0.03，92.向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四例例 题题例例4 已知向量已知向量a(,2)，b(3,5)，若向量，若向量
24、a 与与b的夹角为钝角，求的夹角为钝角，求的取的取值范围值范围.10 66(,)(,)355向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四例例 题题例例5 5 已知已知b(1(1，1)1)，ab3 3，|ab|2 2，求，求|a|.|.2 2向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四小小 结结1.abx1y2 x2y1=0 ab x1x2+y1y2=0 二者有着本质区别二者有着本质区别.2.2.若非零向量若非零向量a 与与b的夹角为锐角（钝角），的夹角为锐角（钝角），则则ab0 0（0 0），反之不成立），反之
25、不成立.向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四小小 结结3.3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几何向量的坐标运算沟通了向量与解析几何的内在联系，解析几何中与角度、距离、的内在联系，解析几何中与角度、距离、平行、垂直有关的问题，可以考虑用向量平行、垂直有关的问题，可以考虑用向量方法来解决方法来解决.向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版12023年6月15日星期四作作 业业P.107P.107练习：练习：1 1，2.2.P.108P.108习题习题2.4A2.4A组：组：9 9，1010，11.11.固学案相关内容固学案相关内容.向量的数量积免费下载人教B版1向量的数量积免费下载人教B版1
