1、 【课标要求】 1.理解排列、排列数的定义；掌握排列数公式及推导方法. 2.能用列举法、“树形图”表示出一个排列问题的所有的排列. 3.能用排列数公式解决无限制条件的排列问题. 自主学习自主学习 基础认识基础认识 |新知预习新知预习| 1排列的定义 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成 一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 2排列数 排列数定义及表示 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所 有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的排列数，用符号 Am n表示 乘积式 Am nn(n1)(n2)(nm1) 排列数公式 阶乘
2、式 Am n n！ nm！(n，mN *，mn) 排列数的性质 An nn！ ；A 0 n1；0！1 |自我尝试自我尝试| 1 判断下列命题是否正确 (正确的打“”， 错误的打“”) (1)a，b，c 与 b，a，c 是同一个排列( ) (2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现( ) (3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变 化( ) (4)从 4 个不同元素中任取三个元素， 只要元素相同得到的就是 相同的排列( ) 2在 A、B、C、D 四位学生中，选出两人担任正、副班长， 共有选法( ) A4 种 B12 种 C42种 D24种 解析：这是一个排列问题，即从四个不同元素
3、中选出两个元素 的排列数，由公式知 A2 44312，故选 B. 答案：B 3我体操男队共六人参加男团决赛，但在每个项目上，根据 规定， 只需五人出场， 那么在鞍马项目上不同的出场顺序共有( ) A6 种 B30 种 C360 种 DA5 6种 解析：问题为 6 选 5 的排列即 A5 6. 答案：D 4100999889 等于( ) AA10 100 BA 11 100 CA12 100 DA 13 100 解析：最大因数为 100，共有 10089112 个因数相乘，所 以 n100，m12. 100999889A12 100. 答案：C 5下列问题是排列问题的是_ (1)从 1,2,3,
4、4 四个数字中，任选两个做加法，有多少种不同的 结果； (2)从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个做除法，有多少种不同的 结果 解析：(1) (2) 答案：(2) 课堂探究 互动讲练 类型一 有关排列的概念 例 1 下列哪些问题是排列问题： (1)从 10 名学生中抽 2 名学生开会； (2)从 2,3,5,7,11 中任取两个数相乘； (3)以圆上的 10 个点为端点作弦； (4)从 2,3,5,7,9 中任取两数分别作对数的底数和真数， 有多少不 同对数值？ (5)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票； (6)从集合 M1,2， ， 9中， 任取相异的两个元素作为 a， b
5、， 可以得到多少个焦点在 y 轴上的椭圆方程y 2 a2 x2 b21? 【解析】 (1)2 名同学开会没有顺序，不是排列问题； (2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问题； (3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题； (4)显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有 关，是排列问题； (5)飞机票使用时，有起点和终点之分，故飞机票的使用是有顺 序的，是排列问题； (6)焦点在 y 轴上的椭圆，方程中的 a、b 必有 ab，a、b 的大 小一定，不是排列问题 【答案】 (4)，(5) 【规律方法】 判定是不是排列问题， 要抓住排列的本质特征， 第一步取出的元素无重复性，第二步
6、选出的元素必须与顺序有关才 是排列问题元素相同且排列顺序相同才是相同的排列元素有序 还是无序是判定是否是排列的关键 跟踪训练 1 判断下列问题是否为排列问题 (1)选 2 个小组分别去种树和种菜； (2)选 5 个小组分别去种花； (3)选 10 人组成一个学习小组； (4)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员 解析： (1)种树和种菜是不同的， 存在顺序问题， 属于排列问题； (2)，(3)不存在顺序问题，不属于排列问题； (4)中每个人的职务不同，如甲可能当班长，还是当学习委员是 不同的，存在顺序问题，属于排列问题. 类型二 “树形图”解决排列问题 例 2 四个人 A，B，C，D
7、坐成一排照相有多少种坐法？将 它们列举出来 【解析】 先安排 A 有 4 种坐法，安排 B 有 3 种坐法，安排 C 有 2 种坐法，安排 D 有 1 种坐法，由分步乘法计数原理，有 432124 种 画出树形图 由“树形图”可知， 所有坐法为 ABCD， ABDC， ACBD， ACDB， ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA， CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC， DBAC，DBCA，DCAB，DCBA. 方法归纳 “树形图”在解决排列问题个数不多的情况时，是一种比较有 效的表示方式在操作中先将元素按一定
8、顺序排出，然后以先安排 哪个元素为分类标准，进行分类，在每一类中再按余下的元素在前 面元素不变的情况下确定第二位元素， 再按此元素分类， 依次进行， 直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排 列. 跟踪训练 2 将玫瑰花、 月季花、 莲花各一束分别送给甲、 乙、 丙三人，每人一束，共有多少种不同的分法？请将它们列出来 解析：按分步乘法计数原理的步骤： 第一步，分给甲，有 3 种分法； 第二步，分给乙，有 2 种分法； 第三步，分给丙，有 1 种分法 故共有 3216 种不同的分法 列出这 6 种分法，如下： 甲 乙 丙 玫瑰花 月季花 莲花 玫瑰花 莲花 月季花 月季花 玫瑰
9、花 莲花 月季花 莲花 玫瑰花 莲花 玫瑰花 月季花 莲花 月季花 玫瑰花 类型三 排列数公式的应用 例 3 (1)计算 2A3 4A 4 4； (2)计算4A 4 82A 5 8 A8 8A 5 9 ； (3)求 3Ax 84A x1 9 中的 x. 【解析】 (1)2A3 4A 4 42432432172. (2)4A 4 82A 5 8 A8 8A 5 9 4A4 824A 4 8 432A4 89A 4 8 48 249 4 5. (3)原方程 3Ax 84A x1 9 可化为 38！ 8x！ 49！ 10x！， 即 38！ 8x！ 498！ 10x9x8x！，化简， 得 x219x7
10、80，解得 x16，x213. 由题意知 x8， x19， 解得 x8. 所以原方程的解为 x6. 方法归纳 (1)排列数的第一个公式 Am nn(n1)(nm1)适用于具体 计算以及解当 m 较小时的含有排列数的方程和不等式； 在运用该公 式时要注意它的特点 (2)排列数的第二个公式 Am n n！ nm！适用于与排列数有关的 证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式， 再计算， 同时还要注意隐含条件“mn 且 nN*， mN*”的运用. 跟踪训练 3 (1)456(n1)n 等于( ) AA4 n BA n4 n Cn！4! DAn 3 n (2)A6 66A 5 55A
11、 4 4_. 解析： (1)456(n1)n 中共有 n41n3 个因 式，最大数为 n，最小数为 4， 故 456(n1)nAn 3 n . (2)原式A6 6A 6 6A 5 5A 5 554321120. 答案：(1)D (2)120 |素养提升素养提升| 1排列中元素所满足的两个特性 (1)无重复性：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个不同的元素， 否则不是排列问题 (2)有序性：安排这 m 个元素时是有顺序的，有序的就是排列， 无序的不是排列检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看 结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序 特别提醒：要特别关注顺序，每一个排列不仅与选
12、取的元素有 关，而且还与元素的排列顺序有关选取的元素不同或虽元素相同 但元素的排列顺序不同时都是不同的排列，只有当两个排列的元素 完全相同且元素的顺序完全一样时才是相同的排列 2排列数两个公式的选取技巧 (1)排列数的第一个公式 Am nn(n1)(n2)(nm1)(n， mN*，mn)适用于具体计算以及解当 m 较小时的含有排列数的 方程和不等式；在运用该公式时要注意它的特点是：从 n 起连续写 出 m 个自然数的乘积即可 (2)排列数的第二个公式 Am n n！ nm！适用于与排列数有关的 证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，则应注意先提取公因 式再计算，同时还要注意隐含条件“mn 且
13、 n，mN*”的运用 特别提醒：公式中的 n，m 应该满足 n，mN*，mn，当 mn 时不成立 |巩固提升巩固提升| 1将 4 张相同的博物馆的参观票分给 5 名同学，每名同学至 多 1 张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为( ) A54 B45 C5432 D5 解析：由于参观票只有 4 张，而人数为 5 人，且每名同学至多 1 张，故一定有 1 名同学没有票因此从 5 名同学中选出 1 名没有 票的同学， 有 5 种选法 又因为 4 张参观票是相同的， 不加以区分， 所以不同的分法有 5 种 答案：D 2已知 A2 n132，则 n 等于( ) A11 B12 C13 D14 解析：由已知得 n(n1)132，即 n2n1320， n12 或 n11(舍去)，故选 B. 答案：B 3用 1、2、3、4 这四个数字能组成没有重复数字的三位数 _个(用数字表示) 解析：这是一个排列问题由排列数公式可知，可组成 A3 4 43224(个)没有重复数字的三位数 答案：24
