1、 【课标要求】 1.进一步理解组合的定义，熟练掌握组合数公式的应用. 2.能解决含有限制条件的组合问题，掌握常见的类型及解决策 略. 3.体会简单的排列组合综合问题. 自主学习自主学习 基础认识基础认识 |新知预习新知预习| 1排列与组合的联系和区别 排列与组合的共同点都是“从 n 个不同元素中，任取 m 个元 素”，如果交换两个元素的位置对结果产生影响，就是排列问题； 反之， 如果交换两个元素的位置对结果没有影响， 就是组合问题 简 而言之，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关 2解排列组合综合题的思路 解决该问题的一般思路是先选后排，先组合后排列，解题时应 灵活运用分类加法计数原理和分步
2、乘法计数原理分类时，注意各 类中是否分步，分步时注意各步中是否分类 |自我尝试自我尝试| 1某乒乓球队有 9 名队员，其中 2 名是种子选手，现在挑选 5 名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同的选法共有( ) A26 种 B84 种 C35 种 D21 种 解析：从 7 名队员中选出 3 人有 C3 7765 32135 种选法 答案：C 2将 5 本不同的书分给 4 人，每人至少 1 本，不同的分法种 数有( ) A120 种 B5 种 C240 种 D180 种 解析：先从 5 本中选出 2 本，有 C2 5种选法，再与其他三本一起 分给 4 人，有 A4 4种分法，故共有 C 2
3、5 A 4 4240(种)不同分法 答案：C 3甲、乙、丙 3 位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，则不同的选修方案共有( ) A36 种 B48 种 C96 种 D192 种 解析：不同的选修方案共有 C2 4 C 3 4 C 3 496(种) 答案：C 4 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数， 其中比40 000 大的偶数共有( ) A144 个 B120 个 C96 个 D72 个 解析：分两类进行分析：第一类是万位数字为 4，个位数字分 别为 0,2；第二类是万位数字为 5，个位数字分别为 0,2,4. 当万位数字为 4 时，个位数
4、字从 0,2 中任选一个，共有 2A3 4个 偶数； 当万位数字为 5 时， 个位数字从 0,2,4 中任选一个， 共有 C1 3A 3 4 个偶数故符合条件的偶数共有 2A3 4C 1 3A 3 4120(个) 答案：B 5安排 3 名支教教师去 6 所学校任教，每校至多 2 人，则不 同的分配方案共有_种(用数字作答) 解析：每人去一所学校有 A3 6种；两人去一所有 C 2 3 A 2 6种，共有 分配方案 A3 6C 2 3A 2 6210(种) 答案：210 课堂探究 互动讲练 类型一 有限制条件的组合问题 例 1 “抗震救灾，众志成城”，在我国四川“5 12”抗震救 灾中，某医院从
5、 10 名医疗专家中抽调 6 名奔赴赈灾前线，其中这 10 名医疗专家中有 4 名是外科专家问： (1)抽调的 6 名专家中恰有 2 名是外科专家的抽调方法有多少 种？ (2)至少有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？ 【解析】 (1)分步：首先从 4 名外科专家中任选 2 名，有 C2 4种 选法，再从除外科专家外的 6 人中选取 4 人，有 C4 6种选法，所以共 有 C2 4 C 4 690(种)抽调方法 (2)方法一：(直接法)按选取的外科专家的人数分类： 选 2 名外科专家，共有 C2 4 C 4 6种选法； 选 3 名外科专家，共有
6、 C3 4 C 3 6种选法； 选 4 名外科专家，共有 C4 4 C 2 6种选法， 根据分类加法计数原理，共有 C2 4 C 4 6C 3 4 C 3 6C 4 4 C 2 6185(种) 抽调方法 方法二：(间接法)不考虑是否有外科专家，共有 C6 10种选法，考 虑选取 1 名外科专家参加，有 C1 4 C 5 6种选法；没有外科专家参加， 有 C6 6种选法， 所以共有 C6 10C 1 4 C 5 6C 6 6185(种)抽调方法 (3)“至多 2 名”包括“没有”、“有 1 名”、“有 2 名”三种 情况，分类解答 没有外科专家参加，有 C6 6种选法； 有 1 名外科专家参加，
7、有 C1 4 C 5 6种选法； 有 2 名外科专家参加，有 C2 4 C 4 6种选法 所以共有 C6 6C 1 4 C 5 6C 2 4 C 4 6115(种)抽调方法. 方法归纳 (1)含“至多”、“至少”问题的解法 解组合问题时， 常遇到至多、 至少问题， 可用直接法分类求解， 也可用间接法求解以减少运算量，当限制条件较多时要恰当分类， 逐一求解 (2)“都是”、“都不是”与某元素的“含”、“不含”是同类 型的，首先需将给定的总元素分类，才能判断所选取的元素分别来 源于哪一类元素中. 跟踪训练 1 某医院有内科医生 12 名，外科医生 8 名，现要 派 5 名医生参加赈灾医疗队，其中，
8、内科医生甲与外科医生乙要么 都去，要么都不去，有多少种选派方案？ 解析：由于甲和乙要么都去，要么都不去，故可以进行分类： 第 1 类，甲和乙都去，有 C2 2C 3 18816 种选派方案； 第 2 类，甲和乙都不去，有 C5 188 568 种选派方案 由分类加法计数原理知，共有 8168 5689 384 种选派方案. 类型二 组合中的分组、分配问题 例 2 6 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的方法： (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本 【解析】 (1)根据分步乘法计数原理得到 C2 6C 2 4C 2 290 种 (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有 C
9、2 6C 2 4C 2 2种方法，这个过 程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有 x 种方法； 第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 A3 3种方法根据分步 乘法计数原理可得 C2 6C 2 4C 2 2xA 3 3，所以 xC 2 6C 2 4C 2 2 A3 3 15. 因此分为三份，每份两本一共有 15 种方法 方法归纳 (1)解决这类问题的关键是分清分组问题还是分配问题 (2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： 完全均匀分组，每组的元素个数均相等 部分均匀分组，应注意不要重复，有 n 组均匀，最后必须除 以 n！. 完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象 (
10、3)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分 配，也可以分组后再分配. 跟踪训练 2 若本例条件变为分为三份， 一份一本， 一份两本， 一份三本，求有多少分法 解析：分三步：第一步，先拿出一本共有 C1 6种方法 第二步，从剩余 5 本中拿 2 本有 C2 5种方法 第三步，剩余 3 本为一组 故共有 C1 6 C 2 5 C 3 360 种方法. 类型三 几何中的组合问题 例 3 (1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？ (2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？ 【解析】 (1)正方体 8 个顶点可构成 C4 8个四点组，其中共面 的四点组有正方体的 6 个表面
11、和正方体相对棱分别所在 6 个平面的 四个顶点，故可以确定的四面体有 C4 81258 个 (2)由(1)知，正方体共面的四点组有 12 个，以这个四点组构成 的四边形为底面，以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一 个四棱锥，故可以确定四棱锥 12C1 448 个. 方法归纳 (1)几何组合应用题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题 目多是以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组 合这类问题情景新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强 (2)这类题的解答方法与组合应用题的方法基本一样， 也就是把 图形中的隐含条件视为有限制条件的组合应用题计算时可用直接 法，也可用间接法要注意在限制
12、条件较多的情况下，需要分类计 算符合题意的组合数. 跟踪训练 3 平面上有 9 个点，其中有 4 个点共线，除此外无 3 点共线 (1)经过这 9 个点，可确定多少条直线？ (2)以这 9 个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这 9 个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 解析：方法一(直接法)： (1)可确定直线 C4 4C 1 4C 1 5C 2 531(条) (2)可确定三角形 C2 4C 1 5C 1 4C 2 5C 3 580(个) (3)可确定四边形 C2 4C 2 5C 1 4C 3 5C 4 5105(个) 方法二(间接法)： (1)可确定直线 C2 9C 2 4131(条
13、) (2)可确定三角形 C3 9C 3 480(个) (3)可确定四边形 C4 9C 4 4C 3 4C 1 5105(个). 类型四 排列、组合的综合应用 例 4 有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人担任 5 门不同 学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文课代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但 不担任数学课代表 【解析】 (1)先选后排，先选可以是 2 女 3 男，也可以是 1 女 4 男，先选有 C3 5C 2 3C 4 5C 1 3种，后
14、排有 A 5 5种， 共(C3 5C 2 3C 4 5C 1 3) A 5 55 400 种 (2)除去该女生后，先取后排，有 C4 7 A 4 4840 种 (3)先选后排，但先安排该男生，有 C4 7 C 1 4 A 4 43 360 种 (4)先从除去该男生、该女生的 6 人中选 3 人有 C3 6种，再安排 该男生有 C1 3种，其余 3 人全排有 A 3 3种，共 C 3 6 C 1 3 A 3 3360 种. 方法归纳 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则： (1)按事情发生的过程进行分步； (2)按元素的性质进行分类解决时通常从三个途径考虑： 以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要
15、求，再考虑其他元 素； 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位 置； 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要 求的排列或组合数. 跟踪训练 4 现有 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部 放入盒内： (1)共有几种放法？ (2)恰有 1 个空盒，有几种放法？ (3)恰有 2 个盒子不放球，有几种放法？ 解析：(1)44256(种) (2)先从 4 个小球中取 2 个放在一起，有 C2 4种不同的取法，再 把取出的两个小球与另外 2 个小球看作三堆，并分别放入 4 个盒子 中的 3 个盒子里，有 A3 4种不同的放法根据分步乘法计数原理，共 有 C2 4A 3
16、4144(种)不同的放法 (3)恰好有 2 个盒子不放球，也就是把 4 个不同的小球只放入 2 个盒子中，有两类放法：第一类，1 个盒子放 3 个小球，1 个盒子 放 1 个小球，先把小球分组，有 C3 4种，再放到 2 个小盒中有 A 2 4种 放法，共有 C3 4A 2 4种放法； 第二类，2 个盒子中各放 2 个小球有 C2 4C 2 4种放法， 故恰有 2 个盒子不放球的放法共有 C3 4A 2 4C 2 4C 2 484(种) |素养提升素养提升| 1应用组合知识解决实际问题的四个过程 2注意结合知识背景理解“有序”“无序”，是排列问题还 是组合问题，问法的细微变化就可能导致问题性质
17、的变化，解题时 要注意审题 3相同元素分配问题的建模思想 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看 作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一 个“盒”每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方 法，此法称之为隔板法隔板法专门解决相同元素的分配问题 (2)将 n 个相同的元素分给 m 个不同的对象(nm)，有 Cm 1 n1种 方法可描述为 n1 个空中插入 m1 块板 |巩固提升巩固提升| 1编号为 1,2,3,4,5,6,7 的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且 任意两盏亮灯不相邻，则不同的亮灯方案有( ) A60 种 B20 种 C10 种 D8 种
18、解析： 四盏熄灭的灯产生的 5 个空当中放入 3 盏亮灯， 有 C3 5 10(种)方法 答案：C 2从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( ) A140 种 B120 种 C35 种 D34 种 解析：分三种情况：1 男 3 女共有 C1 4C 3 3种选法2 男 2 女 共有 C2 4C 2 3种选法 3 男 1 女共有 C 3 4C 1 3种选法 则共有 C 1 4C 3 3C 2 4C 2 3 C3 4C 1 334 种选法 答案：D 3在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖将 这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_ 种(用数字作答) 解析：不同的获奖情况可分为以下两类： (1)有一个人获得两张有奖奖券， 另外还有一个人获得一张有奖 奖券，有 C2 3A 2 436 种获奖情况 (2)有三个人各获得一张有奖奖券，有 A3 424 种获奖情况 故不同的获奖情况有 362460 种 答案：60
